Характеристики электрической релаксации определяются с применением уравнений, описывающих изменения электрических свойств мерзлых пород в зависимости от частоты и температуры.

Выше было показано (см. § 2 и 5 главы II), что коэффициент потерь е" мерзлых пород имеет максимум, соответствующий определенной температуре при фиксированной частоте и определенной частоте при фиксированной температуре. Это следует из

соотношения С учетом этого выражения, зная координату максимума е" по оси частот или температур, которая соответствует значению (со6_Эф~1), нетрудно определить эффективное (наиболее вероятное) время релаксации 0_Эф при отдельных фиксированных температурах. Однако в этом случае характеризуется не весь интервал изучаемых температур, а лишь та его часть, в которой при заданных частотах измерений имеет места максимум е". Например, для мерзлых песков при измерениях на] частотах от 1,5 кГц до 1,5 мГц можно по максимуму е" охарактеризовать зависимость эффективного времени релаксации от температуры лишь в пределах —9—0° С, а для глинистых пород от —40 до 0° С.

Кроме того, при несимметричном распределении времени релаксации степень асимметрии распределения (коэффициент р) существенным образом влияет на сдвиг максимума е" (частоты дисперсионного перехода) в область более высоких частот (рис.45).

Из данных этого рисунка следует, что в случае несимметричного распределения времени релаксации при определении 0_Эф по частоте максимума е" необходимо вводить поправку на сдвиг его по оси частот в зависимости от величины р, по крайней мере при (3^:0,5. Таким образом, для получения данных о 9_Эф при понижении температуры необходимы измерения при все более низких частотах, что технически осуществить не всегда возможно. Поэтому целесообразно рассмотреть другую методику определения температурной зависимости 8_Эф, основанную на применении релаксационного уравнения (11.42). С помощью этого уравнения можно рассчитать значения е, е'(/), е"(0 и 8_Эф(0 во всем интервале температур. Так, для е'(/) и г"(1) справедливы уравнения (11.45) и (11.46), при совместном решении которых относительно х можно получить [94] соотношение, позволяющее по измеренным значениям г' и е".

Рис. 45. Частотные зависимости диэлектрической проницаемости (а) и коэффициента диэлектрических потерь (б) при несимметричном распределении времени релаксации, рассчитанные для значений (3=0,1-7-1

при температуре I рассчитывать значения эффективного времени релаксации 8(0 при той же температуре:

По уравнению (11.49) можно определять эффективное время релаксации, а следовательно, и эффективную частоту релаксации системы кварц — вода — лед при любой температуре по данным измерений, выполненных лишь на одной частоте, Значения ъ'{1) и е"(<), входящие в это уравнение, определяются в результате измерений; значения е_н и а получаются из диаграммы взаимозависимости е'(/) и е"(/).

При более тонкодисперсных мерзлых породах (глинах, суглинках), диэлектрические свойства которых характеризуются двумя температурными интервалами аномальной дисперсии, вышеописанную методику применяют для каждого температурного интервала, определяя е_п и с&2 или е_н и <хь В высокотемпературном интервале дисперсии ввиду малых значений коэффициента р необходимо вводить поправки на сдвиг максимума е" от координаты (о8_Эф=1 (см. рис. 45), поскольку уравнение (11.49) получено при предположении, что такого сдвига нет. Если не учитывать эту поправку, то в результате расчетов получается два кажущихся температурных интервала изменения 8_Эф, переход между которыми не поддается объяснению [98].

Несомненный интерес представляет изучение характера распределения времени релаксации процессов поляризации в мерзлых породах при изменении температуры и состава породы. Рассмотрим на основе имеющихся теоретических предпосылок  методику расчета функции распределения времени релаксации. В зависимости от особенностей механизмов поляризации, частотные изменения комплексной диэлектрической проницаемости в различных материалах описываются уравнениями, справедливыми для следующих типичных случаев:

1. Для одного процесса с временем релаксации 8 — см. уравнение (11.10).

2. Для ряда процессов поляризации с различным временем релаксации, симметрично распределенным относительно наиболее вероятного времени 8_т — см. уравнение (11.20).

В этом случае для описания распределения времени релаксации подходит функция плотности вероятности времени релаксации Фуосса — см. уравнение (11.21).

Однако для дальнейшего анализа физически более наглядным является не плотность вероятности, а распределение самого времени релаксации. Поэтому целесообразно преобразовать

формулу (11.21) для нахождения функции распределения времени релаксации, т. е. вычислить интеграл:

Это функция распределения времени релаксации, которую нетрудно вычислить, задаваясь определенными значениями отношения —— и определяя из диаграммы взаимозависимости е^т и е угловой коэффициент а для конкретных материалов.

С учетом этой функции вероятность нахождения времени релаксации 9 в заданном интервале между 0! и 02 определяется из соотношения

3. Для ряда процессов поляризации с различным временем релаксации, несимметрично распределенным относительно наиболее вероятного времени 0_т — см. уравнение (11.22).

Для описания распределения времени релаксации в этом случае применяют функцию распределения плотности вероятности времени релаксации Коула — Девидсона — см. уравнение (П.25). *

В соответствии с выражением (11.25) функция распределения времени релаксации Р(0) определяется для интервала 8_т>0>О.

 

 

После преобразований интеграла типа (11.50) с учетом уравнения (11.25) можно получить для функции распределения времени релаксации следующее выражение:

Выражение (11.52) представляет гипергеометрический ряд, сходящийся абсолютно, поскольку Вероятность нахождения 0_т в интервале от 0! до 0₂ (при Э_т>8>0) определяется разностью соответствующих вероятностей:

Уравнения (11.49), (11.51) и (11.52) позволяют произвести количественный анализ результатов измерений электрических свойств: определить эффективное (наиболее вероятное) время релаксации и распределение относительно него времени релаксации мерзлых пород различного состава, а также их температурную зависимость.

Расчеты, выполненные по уравнению (11.49) с использованием результатов наших измерений е' и е" мерзлых песчано-глинистых пород и имеющихся данных по пресным льдам при различной частоте и температуре, позволили определить для них температурную зависимость 0_Эф(О- Значения 0_Эф(/), рассчитанные на основании данных г'{I) и е"(/), полученных при различной частоте, имеют хорошую сходимость, что подтверждает надежность и правильность применения формулы (11.49).

Отметим, что среднеарифметические значения 0_Эф(О, полученные по данным измерений на разных частотах звукового диапазона, практически не зависят от общей влажности (льдистос-ти) мерзлой породы. Это еще раз свидетельствует о том, что в мерзлых породах при относительно высокой отрицательной температуре преобладающее влияние на процессы электрической релаксации (поляризуемость) оказывает незамерзшая вода с распределенными в ней ионами и, в частности, подвижность ионов в этом растворе. В первом приближении можно считать, что количество незамерзшей воды и ее состояние определяются степенью дисперсности породы и при каждой фиксированной температуре практически не зависят от льдистости.

На рис. 46 показаны температурные зависимости 0_Эф пресного льда и мерзлых пород — песка, каолина и суглинка. Из рисунка видно, что в процессе охлаждения криогенной породы и вымерзания незамерзшей воды 0_Эф монотонно возрастает.

Рис. 46. Эффективное время электрической релаксации криогенных пород:

/ — песок; 2 — каолин; 3 — суглинок; 4 — лед; 5 — лед из дистиллированной воды

В случае мерзлого песка кривая 9_Эф(1) приближается к соответствующей кривой, полученной для пресного льда при температуре —20° С. Это свидетельствует о том, что система лед — незамерзшая вода в мерзлом кварцевом песке перешла в состояние, аналогичное по протеканию процессов электрической релаксации с состоянием пресного поликристаллического льда. Этот результат хорошо согласуется с линейной экстраполяцией температурной зависимости коэффициента р (см. рис. 27). Для каолина и суглинка такого совпадения кривых 8эф(0 со льдом в пределах температур измерения не получено. Хотя соответствующие кривые при 1^—(60-Ь 4-70°С) близки и параллельны, однако система лед—незамерзшая вода в глинистых породах отличается от пресного поликристаллического льда несколько меньшим временем релаксации, а следовательно, и большей подвижностью молекул. Последнее обусловлено большим содержанием незамерзшей воды в глинистых породах либо большей подвижностью в приконтактных слоях льда. Общий характер графиков 9_Эф(0 для мерзлых пород различного минерального состава и кластической структуры свидетельствует о существенно разном состоянии (подвижности) содержащейся в них незамерзшей воды. Время релаксации мерзлых глинистых пород вблизи 0°С на два-три порядка меньше, чем мерзлого- песка. Значения 8_Эф, полученные для изучаемых пород в талом состоянии путем экстраполяции графиков в область положительной температуры, хорошо согласуются с результатами измерений диэлектрических свойств песчано-глини-стых пород. Так, у песков область дисперсионного перехода находится в интервале частот 104-10⁶ Гц, а у глинистых пород — в интервале 104-10⁹ Гц. Кроме того, характер графиков 0_Эф(О позволяет выделить для каждой криогенной породы ряд температур, при которых имеет место излом кривых. Это означает, что полученные зависимости 0_Эф(*) можно представить в виде ломаных кривых, каждый из отрезков которых характеризует релаксационный процесс со своей энергией активации. По кривым температурной зависимости в координатах 1§0_Эф—10³/Г можно оценить значения энергий активации по наклону соответствующих отрезков, если считать, что выполняется закон Арренниуса:

Как следует из таблицы, в изучаемом диапазоне температур для криогенных пород можно выделить пять дискретных интервалов, характеризуемых различными значениями энергии активации. При этом, несмотря на недостаточность экспериментальных данных, отчетливо выявляется закономерность убывания энергии активации с понижением температуры. Это можно интерпретировать как изменение преобладающих механизмов, обусловливающих процесс поляризуемости криогенной породы в связи с изменением ее фазового состава. Так, при достаточно низкой температуре — (50-г-70)° С, по-видимому, у любых криогенных пород имеет место один — V механизм с энергией активации около 2Ы0^-21 Дж (3 ккал/моль), что можно объяснить [125] миграцией точечных дефектов и примесных ионов во льде. Третий механизм с энергией активации примерна 10 ккал/моль обусловлен, по-видимому, общим влиянием проводимости и поляризации. Механизм IV (№_акт = Б-т-6 ккал/моль) является переходным между III и V. Механизмы I и II с величиной И?акт, равной соответственно 50 и 25 ккал/моль, очевидно, связаны главным образом с влиянием проводимости (в-порах ограниченных размеров) на процесс поляризации. Увеличение энергии активации примерно в 2 раза при переходе от третьего механизма ко второму и от второго к первому можно объяснить существенным увеличением сечения пленок жидкой фазы (токового канала) в поре при повышении температуры мерзлой породы. В этом случае скорость разделения объемного заряда (возникновение макродиполей) за интервал времени 2я около — должна значительно возрасти, что приведет к резкому уменьшению времени релаксации и, следовательно, к увеличению крутизны наклона графика температурной зависимости времени релаксации, а значит и №_акт.

Следует отметить, что приведенные на рис. 46 и в табл. 3 данные температурной зависимости времени релаксации и энергии активации электрической поляризации в мерзлых породах получены нами впервые. Дальнейшее накопление экспериментальных данных позволит уточнить их количественные значения и провести более детальный анализ процессов поляризации. Особенно необходимо выполнение измерений в интервале температур вблизи 0°С при точной фиксации температуры через-0,1-т-0,05°С, а также при низких температурах —(50-4-100)° С. Вполне возможно, что тогда при температуре около 0° С и для мерзлых песков будет получен первый механизм поляризуемости, с №_акт~50 ккал,/|моль.

Однако уже имеющиеся результаты свидетельствуют в пользу сделанного предположения о преобладающем влиянии механизма проводимости на поляризуемость мерзлых пород с приближением отрицательной температуры к 0° С.

Помимо определения эффективного времени релаксации 9 па уравнению (11.52) и значений коэффициента р по диаграммам Коул — Коула при различной температуре измерений было рассчитано распределение времени релаксации. Результаты таких расчетов представлены в виде гистограмм вероятности нахождения 0 в заданном интервале (рис. 47, 48) и графиков функции распределения 0 (рис. 49) для мерзлого песка и суглинка..

Характерной особенностью является значительное сужение области распределения 9 при понижении температуры. Так, если вероятность нахождения 0 в интервале значений от %_ш да 0,1 9_т для песка влажностью 4,5% при температуре 1= —2,2° С составляет 33,6%, то при —9° С она равна 69%. Этот факт можно объяснить следующим образом. Незамерзшая вода с распределенными в ней ионами характеризуется широким набором процессов поляризации с различным временем релаксации. Поэтому при относительно высокой температуре, когда незамерзшая вода содержится в мерзлой породе в достаточно большом количестве, область распределения 0 широкая. Понижение температуры приводит к уменьшению количества незамерзшей воды и к большей однородности ее энергетической структуры, что, естественно, вызывает сужение области распределения. В пределе должна получиться весьма узкая область распределения величины Э, характеризующая релаксационные свойства поликристаллического льда.

 

Рис. 47. Гистограммы вероятности распределения времени релаксации хмерз-лого песка при различной температуре и влажности:

а, б, в— №*_с соответственно равно 4,5; 9,4 и 19% при /= —2,5° С; г, д, е — №_с —то же, при ^= —5° С; ж, з, и — №_с — то же, при 1= —9³ С

Характерно, что распределение времен 0 при достаточно высокой отрицательной температуре зависит от общей влажности (льдистости) грунта. Это подтверждает вывод о том, что релаксационные свойства системы незамерзшая вода — лед определяются в первую очередь поляризуемостью незамерзшей воды, т. е. подвижностью распределенных в ней ионов, диполей, групп частиц и т. п.

На основании изложенного можно сделать следующие выводы:

1. Мерзлые породы характеризуются некоторым распределением времени релаксации Э процессов поляризации. Это распределение несимметрично относительно наиболее вероятного 8_т и удовлетворительно описывается функцией плотности вероятности 9 Коула — Девидсона, которая может быть преобразована в функцию распределения 0 в виде сходящегося гипергеометрического ряда.

Рис. 48. Гистограммы вероятности распределения времени релаксации мерзлого суглинка при разной температуре: в —сводная гистограмма; б — при *= —10° С; в — при /= — 50° С

2. Гистограммы вероятности нахождения времени релаксации 0 в заданном интервале хорошо отражают изменения области распределения 0; при понижении температуры наблюдается значительное сужение области распределения 0. В пределе мерзлые породы должны характеризоваться в зоне

низкочастотного дисперсионного перехода, достаточно узкой областью распределения времени релаксации.

3. Мерзлые породы в отличие от пресного льда имеют иную температурную зависимость эффективного времени электрической релаксации. В связи с этим можно выделить несколько дополнительных релаксационных процессов поляризации с различными значениями энергии активации, соответствующими различному содержанию и состоянию жидкой фазы в криогенной породе.

Рис. 49. Графики функций распределения времени релаксации мерзлых пород при различной температуре: а —песок (№=4,5%); б —суглинок (№=18%)

4. Изучение характеристик релаксации процессов электрической поляризации в криогенных породах позволяет получать информацию об их фазовом составе и кинетике его изменения при их промерзании или оттаивании.