Приближенный способ определения очертаний областей предельного состояния. Существенно важным для выбора расчетной модели и методов расчета является оценка развития областей предельного равновесия грунта. Для этого необходимо определять очертания областей предельного состояния.

Условием предельного состояния, как и ранее, принимаем зависимость Кулона т = сй§ф + с или, что то же самое, 6_тах = <р.

В результате задача определения контуров областей предельного напряженного состояния сводится к отысканию в различных точках среды величины 6_тах и ее сопоставления с ср. Как было показано в § 2.3, величина

Л/~(о„ — о_г)² 4т?.

^{3,-09 1} ‘ (3.29)

^а1 + °2 + 2 ^ас ^ах + °2 + 2

где а_х, а_г, х_хг — суммарные напряжения в грунте от всех действующих внешних нагрузок и объемных сил.

Для этой цели можно применять разбивку грунтового массива сеткой, в узлах которой определяют 6_тах, и по полученным значениям обычной интерполяцией проводят контур в области предельного состояния, на котором 6_тах = ев.

увеличиваются. Характерно, что когда сооружение возводится на поверхности несвязного грунта (к = 0), области предельного состояния получаются открытыми (рис. 3.28, б),а для заглубленного сооружения или связного грунта закрытыми (рис. 3.28, а).

На очертания кривых, ограничивающих области предельного состояния, большое влияние оказывает не только величина приложенной нагрузки, но и соотношение напряжений а_х и а₂ от собственного

 веса грунта и пригрузки у_ГР/г. Чем меньше величина |, тем интенсивнее развиваются области предельного состояния.

Определение условий возникновения областей предельного напряженного состояния. Для получения количественной оценки условий возникновения областей предельного напряженного состояния рассмотрим случай равномерно полосовой нагрузки ^ на основание заглубленного в грунт сооружения, т. е. расчетную схему, приведенную на рис. 3.27, в. Нагрузку, при которой на краях сооружения возникает предельное состояние, будем называть критической краевой нагрузкой <7_кр. При нагрузке ^ > </_Кр образуется область предельного напряженного состояния, распространяющаяся на глубину 2_тах (рис. 3.29). Рассматриваемая задача сводится к нахождению связи интенсивности нагрузки д с координатой 2_гаах.

Для удобства решения вместо декартовой системы координат (х, г) будем использовать систему, в которой координаты любой точки основания (ф, г), где 6 — угол видимости.

Тогда главные напряжения, возникающие от нагрузки ц', используя решение теории упругости, полученное Митчелем, определятся по зависимостям (3.7)

Напряжения от собственного веса грунта у_ГР и равномерно распределенной нагрузки у_ГРк, как и в предыдущем параграфе, будут ст_г =

Напряжения действуют по биссектрисе угла видимости и поэтому кроме осевой линии не совпадают с площадками действия напряжений 0₂. Принимаем допущение, _что | = 1. Для определения критической краевой нагрузки это упрощение не вносит больших погрешностей. В этом случае напряжения от собственного веса и нагрузки у _гР/г по всем площадкам будут одинаковы.

В результате принятия | = 1 суммарные напряжения в основании по главным площадкам будут:

 

а_х = (<?7я) (ф + 51П ф) + Тгр2 + ТгрЛ;

а₃ = (₉'/я) (ф — 51П ф) + Тгр2 + Тгр/г, (3.30)

В точках, лежащих вне области предельного состояния б_тах < Ф, по мере приближения к ограничивающей кривой угол 0_тах приближается к ф, а на самой кривой равен ф. Поэтому все точки ограничивающей кривой должны удовлетворять уравнению

₈₁Пер ₌ (?7*).8тф ₍₃₃₂₎

9'ф/я + 1гр2 + 7гр к +

Таким образом, выражение (3.32) является уравнением кривой, ограничивающей область предельного состояния грунта. В наиболее заглубленной точке А (см. рис. 3.29) этой кривой г = г_тах.

При движении по горизонтальной прямой г = г_тах величина бтах изменяется вследствие изменения угла видимости ф. В точке касания А она достигает максимума, так как в этой точке, принадлежащей границе области предельного состояния 6_тах = ф, а в сколь угодно близких к ней точках справа и слева величина 0_тах < ф. Таким образом, при движении по линии г = 2_тах и изменении ф в точке. А имеем тахб_тах, что соответствует условию: производная от зш0_тах по ф при 2 == 2_тах должна быть равна нулю и из (3.31)

 В результате получена искомая зависимость между интенсивностью внешней нагрузки и глубиной распространения области предельного напряженного состояния.

При развитии областей предельного состояния в глубь основания все точки А (см. рис. 3.29) контуров областей с углом видимости

1. » = я/2 — ф расположены на одной окружности, соответствующей этому углу видимости.

Если в зависимости (3.35) принять 2_тах = 0, то получим формулу Пузыревского — Герсеванова для критической краевой нагрузки

<7кр = (ТгрЛ + <р — *:/2 + ш) + т_Гр/г. (3.36)

В этом случае предельное состояние возникает только в точках под краями фундамента. При нагрузке от сооружения <7 < д_кр в основании нет областей предельного состояния.

Следует еще раз обратить внимание на то, что. принятое в основу зависимости (3.35) распределение напряжений от нагрузки <7' получено, используя решения теории упругости для полосовой нагрузки. Поэтому чем больше размеры области предельного напряженного состояния и, следовательно, больше глубина области г_тах, тем меньше точность и достоверность расчетов по зависимости (3.35). Зависимость же (3.36) для определения критической краевой нагрузки, учитывая, что предельная область при ней превращается в точку, не находится в противоречии с принятой для ее получения моделью линейно деформируемого тела. Кроме того, важно отметить, что и в случае, если нагрузка на основание неравномерная, величина критической краевой нагрузки д_кр остается той же самой, как и для случая равномерно распределенной нагрузки.

Зависимость (3.35) положена в основу современных норм проектирования фундаментов промышленных и гражданских сооружений. При этом допускается развитие области предельного напряженного состояния на глубину г_тах = Ы4, где Ь — ширина фундамента.

Условие (3.40) может производить неправильное впечатление величины, подобной ранее применявшимся в проектной практике допускаемым давлениям, и иногда возникают опасения, что при сг, несколько большем Я, может нарушиться устойчивость основания. На самом деле условие (3.40) является только ограничением применимости для достоверного расчета осадок сооружений модели линейно деформируемой среды, которая положена в основу этих методов расчета. Иными словами, при а, несколько больших Я, нормы не гарантируют правильность определения осадки сооружения, исходя из формул теории упругости и не более того. Принятая (3.38) величина границы соблюдения линейности г_тах = 0,256 никак не обоснована, особенно для песчаных грунтов. В СНиПе она несколько корректируется увеличением для несвязных грунтов коэффициента (до 1,4).

В значительной мере введение величины Я вызвано недостаточным развитием и внедрением в практику проектирования решений смешанной или нелинейных задач механики грунтов. В будущем необходимость в применении любых величин Я отпадет.

Тем не менее зависимость (3.35), несмотря на свою приближенность, отражает все основные факторы, определяющие развитие областей предельного напряженного состояния в основаниях сооружений. Поэтому из ее анализа можно производить оценку мероприятий по уменьшению областей предельного напряженного состояния (областей пластических деформаций) в основаниях сооружений.

В случае получения больших областей пластических деформаций (рис. 3.30, а) для их уменьшения, как следует из (3.35), можно снижать нагрузки на основание (рис. 3.30, б), увеличивать глубину заложения фундамента (рис. 3.30, в), производить замену «слабого» грунта
основания на грунт с большим ср (рис. 3.30, г), уплотнять или закреплять грунт основания (рис. 3.30, д), тем самым повышая его прочностные характеристики ф и с.

Увеличение ширины подошвы фундамента одновременно не только снижает нагрузку на основание, но, что особенно существенно, уменьшает долю областей предельного состояния в общем объеме основания. Последнее можно продемонстрировать на примере узкого и широкого фундаментов (рис. 3.31), загруженных одинаковыми удельными нагрузками Размеры областей пластических деформаций

у них близки, но если в случае узкого фундамента они уже начинают сливаться, то в случае широкого их роль незначительна и основная часть массива грунта далека от предельного состояния. Этим, в частности, определяется недостоверность оценки деформационных расчетных характеристик грунтов для проектирования широких сооружений путем их испытаний штампами малого размера и использования решений теории упругости.

Об определении напряжений на основе смешанной и нелинейных задач. Постановка и решение смешанной задачи, основанной на использовании модели, учитывающей в основании линейно деформируемую среду и области предельного напряженного состояния, рассматривались В. А. Флориным, М. И. Горбуновым-Посадовым,

А. К. Бугровым, Ю. Н. Мурзенко, А. Б. Фадеевым, и др.

В случае смешанной задачи решалась система уравнений равновесия (2.3) для всей рассматриваемой грунтовой среды, уравнения совместности деформации (2.7) для линейно деформируемой части грунтовой среды и уравнения предельного равновесия (2.10) для зоны пластических деформаций. Кроме того, для пластической зоны добавляются уравнения деформации, а на их границе выполняются соответствующие граничные условия. Решение задач в такой постановке стало возможным только с применением ЭВМ и эффективного численного метода конечных элементов (МКЭ). В чисто нелинейной постановке используются полученные из экспериментов нелинейные связи, характеризующие напряженно-деформированное состояние элемента грунта.

В этой основной части курса не представляется возможным остановиться на постановке и тем более методах решения нелинейных задач. Несколько подробнее это будет изложено в гл. 10. Здесь же представляется необходимым остановиться только на некоторых примерах числового расчета. Так, в случае жесткого штампа на песчаном основании (рис. 3.32, А. К. Бугров) решение упругопластической задачи приводит к существенной концентрации напряжений по сравнению с решением теории упругости и удовлетворительному приближению к данным экспериментальных исследований. С увеличением нагрузки на штамп и, как следствие, развитием областей пластических деформаций концентрация напряжений под штампом возрастает, а с увеличением расстояния от штампа они все мень
ше рассеиваются в стороны по сравнению с линейным решением.

Аналогичный характер эпюр напряжений получен М. В. Малышевым (рис. 3.33) в случае нелинейного решения для равномерно распределенной полосовой нагрузки. Нелинейность создает большую концентрацию напряжений непосредственно под нагрузкой.

Приближенный метод определения напряжений от внешних нагрузок в условиях неприменимости решений теории упругости. В случае, когда области предельного напряженного состояния достаточно велики и необходимо хотя бы приближенно оценить напряженное состояние среды, можно воспользоваться способом, применявшимся строителями канала Волга—Москва (несколько измененный способ А. Шей- Дига).

В случае равномерно распределенной полосовой нагрузки д (рис.

3.34, а) предполагается, что нормальные напряжения а_г образуются только в области между двумя прямыми А А' и ВВ', проведенными из краевых точек А и В полосы загружения под углами а. За пределами этой области напряжения а_г от нагрузки <7 считаются равными нулю. Кроме того, из краевых точек А и В проводятся прямые, параллельные А А’ и ВВ', до их пересечения внутри области напряженного состояния в точке С. По любой горизонтали выше точки С эпюра напряжений о_г принимается в виде двух треугольников и прямоугольника между точками аЬ (рис.З. 34). Из условия равновесия площади эпюры внешней нагрузки и эпюры напряжений должны быть равны Р = Р_ь т. е. = 2(0,5-2 ^г^а)-}- + (Ь — 2г1§а)<7₁, откуда <7! = ц. Ниже точки С эпюра напряжений принимается треугольной с вершиной на оси нагрузки. Из условия равновесия Р = Р₂, т. е. цЬ = 0,5 ц₂(Ъ + 2г1§а) или = Ьд/(0,5Ь + + 21§а).

При трапецеидальной форме внешней нагрузки все построения сохраняются (рис. 3.34, б), но выше точки пересечения С на участке аЬ эпюра напряжений принимается также трапецеидальной, ниже точки С принимается треугольной, но несимметричной. Ординаты, а также ордината ц_г и ее расположение легко определяются из условия равновесия (Р = Р₁ = Р₂) и условия, что центры тяжестей всех эпюр (И, 0₄, 0„) находятся на одной вертикали. Также легко можно показать, что при этом вершина треугольника напряжений сдвинута на расстояние Зе от оси полосы. Аналогичным путем можно определить напряжения в случае пространственной задачи.

Величина угла а может приниматься от 60 до 30°, большие величины для прочных грунтов и меньшие для слабых, например илов, глин высокой влажности и др. Чем меньше величина а, тем больше

Рис. 3.33. Эпюры напряжений для нелинейно (—) и линейно деформируемой среды 

концентрация напряжений к оси нагрузки. В результате этот способ приводит в областях основания, близких к месту приложения нагрузки, к большим напряжениям по сравнению с решениями теории упругости. Для примера на рис. 3.34, а пунктиром показаны эпюры напряжений ст₂ по решению теории упругости. Уменьшая угол а, можно приблизить напряжения к получаемым в результате сравнительно сложных решений смешанной задачи.

Таким образом, при достаточно развитых областях предельного напряженного состояния и невозможности получения обоснованных решений, например, смешанной или нелинейных задач применение сугубо приближенного и грубого способа строителей канала Волга— Москва будет давать более близкий к натурным данным результат,

Рис. 3.34. Напряжения сг₂ от действия полосовой равномерно распределенной (а) и трапецеидальной (б) нагрузок

чем применение строгих решений на основе модели, не соответствующей данным условиям работы грунта, например модели теории упругости. Следует еще раз подчеркнуть важность вопроса о правильном и обоснованном выборе расчетной модели грунта в каждом конкретном случае возведения и работы сооружения. Так называемая «точность» решения определяется именно этим, а никак не точностью математического решения задачи. Сугубо приближенное, простое решение может быть значительно более точным, чем строгое и математически сложное, но не соответствующее природе явлений.

Определение напряжений по подошве сооружения

5. Деформируемость сооружения, наоборот, очень велика и его можно считать абсолютно гибким, не оказывающим влияния на деформации основания.

Методы определения реакции основания развивались в основном с использованием двух крайне различных моделей в способе коэффициента постели и в способе линейно деформируемого основания (теории упругости).

Модель коэффициента постели предложена еще в 1801 г. русским академиком И. И. Фуссом, за рубежом в 1867 г. Е. Винклером, использована X. Цнмерманом (1888), а в дальнейшем детально разработана С. П. Тимошенко, К- Хаяси, Н. П. Пузыревским,Н. Крыловым, П. Л. Пастернаком и др.

Модель линейно деформирумого основания для определения реакции по подошве сооружения получила свое развитие начиная с 1935 г. благодаря работам Н. М. Герсеванова, и Л. М. Мачерета, А. Флорина, М. И. Горбунова-Посадова, Б. Н. Жемочкина, А. П. Синицына, П. И. Клубина, И. А. Симвулиди, И. К- Самарина и др.В последние годы получили также развитие решения на основе более сложных или комбинированных моделей, предложенных П. Л. Пастернаком, М. М. Филоненко-Бородичем, Б. Г. Корневым, Г. К. Клейном, И. И. Черкасовым и др. Динамические задачи решались Д. Д. Барканом, О. А. Савиновым, В. А. Ильичевым, В. М. Сеймовым и др.