О моделировании. Очень заманчивым для инженеров, особенно гидротехников, путем решения сложных задач является создание и испытание моделей с последующим переносом полученных данных на натурные сооружения. На относительно малой модели в лаборатории или на полигоне можно воспроизвести сложную конфигурацию сооружения или сложное строение грунтовой среды, а также сравнительно просто можно менять нагрузки и граничные условия, что позволяет исследовать много вариантов. Для гидротехников такой путь решения задачи обычен при исследованиях на моделях, трудно поддающихся расчету сложных природных условий движения водных потоков. Не менее интересны и важны испытания моделей для проверки применяемых методов расчета и в особенности для оценки принятых при этом допущений. Кроме того, при инженерно-геологических изысканиях, в особенности для гражданских и промышленных сооружений, широко применяют испытания грунтов в натурных условиях штампами малого по сравнению с будущим сооружением размера. Таким испытанием в натурных условиях, тем более на грунтах ненарушенной структуры при их оценке нередко придается определяющее значение по сравнению с лабораторными или расчетными данными. Естественно испытание модели, особенно в натурных условиях, представляется инженерам наиболее ценным при выборе проектных решений.

Однако необходимо четко понимать, что постановка таких исследований или испытаний и тем более использование их результатов возможны только при выполнении обоснованных условий моделирования — т. е. правил переноса полученных данных испытаний на натуру. В противном случае результаты испытаний теряют свою ценность, а во многих случаях приводят к крайне необоснованным выводам и грубейшим ошибкам. Во многих случаях выполнить полностью условия моделирования сложно или порой невозможно. Но и в этом случае необходимо знание условий моделирования и оценка влияния их частичного выполнения на результаты эксперимента. Следует подчеркнуть, что проведение опытов без соблюдения условий моделирования или хотя бы понимания влияния их нарушения не только бесполезно, но, как показывает история развития экспериментальной части механики грунтов, может принести большой вред в понимании природы исследуемых явлений.

Условия моделирования получаются из использования методов теории подобия и анализа размерностей. Интересно, что впервые русский механик-самоучка Иван Кулибин в 1773 г. при создании уникальной тридцатиметровой модели предложенного им проекта деревянного арочного моста через Неву пролетом 300 м самостоятельно сформулировал условия подобия ее загружения, а российский академик Леонард Эйлер подтвердил правильность расчетов Кулибина. Еще в прошлом столетии на основе теории упругости В. Л. Кирпичев дал строгую формулировку условий подобия. Современное развитие методов теории подобия и анализа размерностей в значительной мере обязано работам таких крупных ученых в области механики, как Л. И. Седов, А. А. Ильюшин и А. Г. Назаров.

Характерно, что для получения условий моделирования (условий подобия) нет необходимости иметь решение какой-либо моделируемой задачи, а достаточно иметь только систему общих уравнений, описывающих принятую расчетную модель среды, для которой определяются условия подобия — моделирования. Так, условия моделирования для одной из наиболее широких расчетных моделей грунтов—смешанной задачи теории линейно деформируемой среды и теории предельного равновесия — были получены В. А. Флориным (1937) еще задолго до решения каких-либо конкретных задач.

Условия моделирования плоской смешанной задачи. Обычный прием получения методами теории подобия условий моделирования рассмотрим на примере плоской смешанной задачи, т. е. при наличии в грунтовом массиве или основании (рис. 2.18) «упругой» и «пластической» областей. Как следует из § 2.1, в этом случае для натурного сооружения (рис. 2.18, а) должны выполняться уравнения равновесия (2.3) и уравнение совместности (2.7), полагая в них для рассматриваемой задачи X = 0, 2 = у_ГР, а также уравнение предельного равновесия (2.10), т. е. система уравнений

³ (³* + а г) = °о
о_х — а₂ = (з_х + а₂ + 2а_с) 51П <р.

 

 

(1-м)

 

о\ — а'₂ = (а'+ о₂ + 2а^)51П ср. (4-м)

Связь между всеми величинами, входящими в систему уравнений для натуры и в систему уравнений для модели, может быть представлена через масштабные множители: а₁ — масштаб длин, а_н — масштаб напряжений; а-, — масштаб объемных сил собственного веса грунта; а_с — масштаб связности, а_? — масштаб угла внутреннего

трения. В результате размеры модели, нагрузки и напряжения будут

связаны с натурой зависимостями

Ь' = а_гЬ; х' — а/*; г' = а,г\ д' = а_вд; (2.57)

Следует подчеркнуть, что масштабные множители — это числа, показывающие, например, во сколько раз модель меньше сооружения

или во сколько раз удельный вес материала модели больше удельного веса грунта в натуре и т. д.

Подставив соотношения (2.57) и (2.58) в (1-м) (2-м) (3-м) (4-м), получим систему уравнений смешанной задачи для модели в виде

— = (¹'-^м)

аI \ дх дг ]

-тНй-⁺^)^+а’¹»⁼⁰' ⁽²'-^м>

1. У²К + а₂)^0, (З'-м)

^ан(^а1 — ^аг) = [К “ ^аг) ^ан + ^2аЛ1 ^а? 51П ф. (4'-м)

Исходя из теории подобия, в качестве основного положения, определяющего условия моделирования для рассматриваемой смешанной задачи, следует принять, что сравниваемые напряженные состояния для модели и натуры будут подобными при условии тождественного совпадения уравнений для натуры (1-н, 2-н, 3-н и 4-н) с уравнениями для модели (Г-м, 2'-м, З'-м и 4'-м).

В первом уравнении равновесия для модели (Г-м) а_й/а_г никогда не может быть равным нулю, в результате в нем да_х1дх + дт_хх/дг = О, что свидетельствует о тождественном совпадении уравнений (1-н) и (1-м) при любых входящих в них величинах а_н и а_г. Аналогичное положение и с уравнениями совместности (3-м) (З'-м) и (3-н) для «упругой» области грунтового массива. Таким образом, первое уравнение равновесия и уравнение совместности никаких условий на правила моделирования не накладывают.

Тождественное совпадение вторых уравнений равновесия (2-н) и (2'-м), а также уравнений предельного равновесия (4-н) и (4'-м),

как легко можно заметить, возможно только при выполнении следующих зависимостей между масштабными множителями:

(2.59)

 

Выражения (2.59) и являются условиями моделирования смешанной задачи теории линейно деформируемой среды и среды теории предельного равновесия. Таким образом, при выполнении этих условий моделирования распределение напряжений и очертание областей пластических деформаций на модели и в натуре будут подобными. Получив результаты измерений на модели, легко можно перенести их на натуру, пересчитав их по зависимостям (2.57) через принятые из условий моделирования (2.59) масштабные множители.

Для деформаций в линейно деформируемой области грунтовой однородной изотропной среды аналогичным путем можно получить условие а_д = а_й, где а_д— масштаб деформаций.

Следует отметить, что необходимость выполнения условия а_н = = а_га_т вытекает из уравнения равновесия и не зависит от свойств среды как в «упругой», так и «пластической» областях. Следовательно, оно является универсальным — обязательным при любой расчетной модели грунта. Условия же а_к = а_с и а._? = 1 в «пластической» области, вытекающие из условия прочности Кулона, должны выполняться при любых свойствах деформируемости среды в «упругой» области (например, нелинейности, неоднородности, анизотропности). Конечно, при любом другом виде уравнения пластичности аналогичные условия моделирования могут быть легко получены таким же путем.

Описанный выше метод получения условий моделирования напряженного состояния грунтовой среды может применяться для разработки условий моделирования любых других процессов, протекающих в грунтовых массивах, например фильтрации, явлений консолидации, ползучести и др. К системе уравнений напряженного состояния и деформируемости среды добавятся уравнения консолидации, ползучести и др. В результате тем же путем могут быть получены, дополнительные условия моделирования этих процессов. Необходимо четко понимать, что достоверность разработанных правил моделирования полностью определяется обоснованностью применяемой для их получения расчетной модели среды, а область их использования определяется областью применения самой расчетной модели. Чем ближе расчетная модель к действительности, тем «точнее» правила моделирования и достовернее результаты экспериментов.

Переходя к практическому использованию условий моделирования (2.59), рассмотрим реальные возможности их выполнения в несвязных и связных грунтах.

Случай несвязного грунта. Для несвязного грунта (а_с — 0) условия (2.59) принимают вид

При использовании для модели того же несвязного грунта, что и в натуре, и, приводя его в то же состояние по плотности, получается, что а, = 1 и а_? = 1, а условие (2.60) преобразуется в простейшее

а_н=а_;. (2.61

Иными словами, во сколько раз модель меньше сооружения, во столько раз должны быть меньше нагрузки на модель и во столько раз будут меньше напряжения, замеряемые на модели. Таким образом, в случае несвязного (сыпучего) грунта прямое моделирование возможно.

Тем не менее при выполнении этого простого условия моделирования возникает ряд серьезных технических трудностей. Например, при размере сооружения 50 м и средних напряжениях по его подошве 0,2 МПа относительно большой для условий обычных испытаний модельный штамп размером 1м (а/ = 0,02) должен иметь средние напряжения по подошве всего 0,004 МПа (а_н = 0,02). Естественно, что вся измерительная аппаратура, в том числе датчики, должна быть в состоянии уверенно зафиксировать возникающие относительно малые напряжения и деформации, т. е. быть достаточно чувствительными. К сожалению, при этом они становятся также чувствительными и ко всякого рода случайным и трудно учитываемым воздействиям. При таких нагрузках на штамп становятся существенными всякие «мелочи», такие, например, как ровность контакта жесткого штампа с грунтом, наличие в несвязных, особенно в немного влажных, грунтах небольшого сцепления и др. Все это существенно повышает требования к качеству проведения таких тонких экспериментов.

С другой стороны, в практике испытаний грунтов малыми штампами в полевых условиях или лабораториях можно встретить описание результатов их поведения при нагрузках, создающих напряжения, близкие к натурным. Для рассмотренного примера штампа диаметром 1 м нагрузка на него 0,2 МПа соответствует нагрузке на натурное основание шириной 50 м (т. е. при а_н = а; = 0,02) 10 МПа. Совершенно очевидно, что такое загружение не реально, а условия подобия при этом никак не выполняются.

Если в условие (2.60) вместо масштабных множителей подставить характерный размер сооружения Ь, нагрузку ^ и удельный вес грунта у_гр, то получим безразмерное число м=<7/(&Тгр). (2-62)

которое было названо П. Д. Евдокимовым числом моделирования. Легко показать, что при одинаковых Л^_ы для натуры и модели для них выполняется это условие моделирования и их можно сопоставлять, конечно, при условии, что ~ 1. В ряде случаев так делать удобно, особенно учитывая, что чем больше Л^м, тем больше возможные области предельного равновесия, а при одинаковых УУм они подобны (при а_г 1).

Случай связного грунта. Для этого случая должен выполняться весь комплекс условий моделирования (2.59), т. е. а_н = а_с = а_га_т ; а_? = 1. Попытка применить в обычной модели тот же грунт, т. е. а<р = а_с = а_т = 1, приводит к условию а_н = а₁ — 1, т. е. модель должна быть равна натуре, что практически свидетельствует о невозможности простого моделирования со связными грунтами. Поэтому необходимо отметить, что предпринимаемые иногда попытки исследовать простые малые модели глинистых грунтов бессмысленны и недопустимы.

Для выполнения условий моделирования связных грунтов велись поиски в различных направлениях. Наиболее эффективным и интересным является проведение испытаний модели на центрифуге (центро
бежной машине), предложенных в 1932 г. Н. Н. Давиденковым и Г. И. Покровским. Центробежная машина представляет собой (рис. 2.19, а) уравновешенное коромысло (балку) на центральной шарнирной опоре с шарнирно подвешенными на концах двумя каретками — контейнерами, в которых размещаются испытываемые модели (рис. 2.19, б). При вращении коромысла возникают центро

бежные объемные силы, которые при достаточной угловой скорости вращения переводят каретки в горизонтальное положение (на рис.

2.19, а пунктир) и воздействуют на каждый элемент объема модели.

В результате при центробежном моделировании условия (2.59) могут быть выполнены, если принять

а_с — а_И = а^а₁ = 1. (2.63)

Для обеспечения этого действующие

на модель центробежные силы должны во столько раз превышать силу тяжести, во сколько раз модель меньше сооружения. Например, при а_г = 0,01 должно быть а₇ = 100, т. е. центробежная машина должна вращаться с угловой скоростью, обеспечивающей ускорение, действующее на грунт модели, равное 100 §.

Приоритет в создании и применении метода центробежного моделирования полностью принадлежит советским инженерам. За рубежом этот метод стал применяться только в последние десять лет, но надо отметить, что его распространение и развитие идет весьма интенсивно, а на его внедрение и создание крупных центрифуг существенно повлияло развитие космических программ.

В 1929 г. Н. Н. Давиденков предложил для создания при моделировании больших ускорений сбрасывание каретки с высоты и торможение ее на расположенных внизу пружинах (рис. 2.19, в). Этот метод применим для моделирования очень кратковременных процессов, происходящих только в период торможения каретки.

Для моделирования связных грунтов в обычных лотках иногда применяют модельные материалы, позволяющие по своим свойствам обеспечить выполнение условий подобия. Подбор таких материалов — всегда достаточно сложная задача. Так, например, если применить материал с углом внутреннего трения и удельным весом, близким к натурному (а_? = 1, = 1), то выполнение условий

(2.59) возможно при а_с = а_н = , т. е. в модельном материале нужно дополни

тельно создать небольшое сцепление, во столько раз меньшее натурного, во сколько раз модель меньше сооружения. Осуществляют это, например, смешивая песок с вазелином или солидолом. При этом необходимо обеспечить незначительное изменение угла внутреннего трения, а также требуемые деформационные характеристики модельного материала.

В. А. Флориным было показано [34], что при испытании связных грунтов штампами в ряде случаев для достаточно заглубленных сооружений возможно соблюдение условий моделирования подбором соответствующих боковых пригрузок штампов. При этом самым малым пригрузкам или даже отсутствию пригрузок на моделях соответствуют весьма значительные пригрузки на сооружениях больших размеров.

Таковы имеющиеся основные пути решения нелегкой, но важнейшей практической задачи моделирования грунтовых сред. Во многих случаях исследователи идут на неполное выполнение условий моделирования. Однако даже на этапе составления программы лабораторных и тем более полевых модельных исследований, например испытаний штампами, следует оценить степень выполнения при этом простейших условий моделирования (2.59), чтобы ясно понимать достоверность будущих результатов или вовремя отказаться от ненужной затраты сил и средств и тем более от ошибок. Сам факт проведения модельных, в особенности полевых исследований создает иногда неправильное впечатление достоверности и надежности.