Menu

Уравнения равновесия моноопоры

Характерной особенностью расчета сжато-изогнутых стержней, и моноопоры в частности, является то, что пренебрегать перемещениями их оси под действием нагрузок при составлении уравнений равновесия упругой линии в отличие от большинства задач строительной механики и сопротивления материалов здесь нельзя. Только благодаря учету этих перемещений становится возможным определение изгибающего действия от продольных сил, например, сил тяжести буровых механизмов и моноопоры. Указанное делает задачу расчета моноопоры на прочность при любых видах и количестве наложенных на нее связей статически неопределимой.

Рассмотрим статическое равновесие произвольного элемента ds моноопоры, находящейся под действием внешней нагрузки в изогнутом состоянии (рис. 4.3). Элемент ds выбран таким образом, что имеет единичную длину (сила тяжести этого элемента равна q^) и к нему не приложены сосредоточенные силовые факторы. Здесь R1 и R2 - проекции вектора внутренних усилий в моноопоре на оси Ox и Oy соответственно; М - внутренний изгибающий момент; 0 - угол поворота оси сечения моноопоры (угол между касательными к осевой линии моноопоры в нагруженном и ненагруженном состоянии).

Предположим, что расчет моноопоры может быть выполнен в линейной постановке, т.е. перемещения и углы поворота осевой линии моноопоры, возникающие при ее изгибе, настолько малы, что можно считать cos0 = 1; sin0 = 0; 0 << 1. Это позволяет с учетом малости установочного угла наклона ф получить уравнение

[image]

связывающее угол поворота 0 с перемещением у сечения моноопоры вдоль оси Oy, и использовать в дальнейшем решении известное из дифференциальной геометрии и линейной теории изгиба приближенное уравнение упругой линии

[image]

где р - радиус кривизны упругой линии.

В состоянии равновесия сумма всех сил и сумма моментов, приложенных к элементу ds, должны равняться нулю. С учетом предположения о величине линейных и угловых перемещений моноопоры, принимая во внимание, что ф < 0,5°, и пре-

[image]

Рис. 4.3. Схема равновесия элемента ds моноопоры:

Ri и R2 - проекции внутреннего усилия на вертикальную и горизонтальную оси соответственно; М - внутренний изгибающий момент; ф - установочный угол наклона; 6 - угол поворота оси сечения; q - сила тяжести единицы высоты моноопоры пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости по сравнению с остальными, уравнения равновесия сил в проекциях на оси Ox и Oy можно представить, соответственно, в виде

[image]

 

а уравнение равновесия моментов -

[image]

Ввиду малости углов 0 и ф имеем ds « dx. Поэтому во всех уравнениях равновесия дифференцирование по координате s можно заменить дифференцированием по х и вместо приращения ds рассматривать dx. Далее в рассуждениях эта процедура считается выполненной.

Интегрируя (4.6), получаем

[image]

 

где z - вспомогательная переменная интегрирования; R* - константа, определяемая из условий нагружения верхнего конца моноопоры.

При 1 = L имеем R1 = Pcos(0 + ф) - Р1. Технологическая сила Р в это выражение вводится со знаком "+", если направлена вверх (создает напряжения растяжения в моноопоре), и со знаком "-", если она направлена вниз (создает напряжения сжатия в моноопоре). Физический смысл константы R* - внутреннее продольное усилие в моноопоре в сечении у расчетного уровня дна моря. Поэтому с учетом малости углов 0 и ф имеем

[image]

 

При составлении уравнений равновесия не учитывались сосредоточенные силы и моменты, действующие на моноопору. Влияние силовых факторов, приложенных к верхнему концу моноопоры, если они присутствуют, отражается в граничных условиях при 1 = L. Учет равнодействующей сил волнового давления (за которую в статическом расчете принимают ее максимальное значение Q,) произведем следующим образом.

При переходе через точку приложения силы QB, когда 1 = = 1в, скачкообразно на величину Q, меняется сила R2. Математически запись этого скачка удобно выразить, добавив в левую часть выражения (4.7) слагаемое QB6(i - 1,), где 6(1 - - 1,) - функция Дирака с характеристиками: 6(1 - 1,) = 1, если 1 = 1,; 6(1 - 1,) = 0, если 1 * 1,. Тогда выражение (4.7) следует переписать в виде

[image]

В курсах строительной механики и сопротивления материалов показано, что крутизна упругой линии связана с изгибающим моментом отношением 1/р = M/EIi, где E и Ii - модуль

упругости материала и момент инерции сечения г-й ступени моноопоры. Подставив эту зависимость в формулу (4.5), имеем

[image]

Согласно виду выражения (4.11) внутренняя сила R1 в произвольном сечении моноопоры является функцией только ее геометрии, величины продольных сил и координаты 1 сечения. Она не зависит от величин у, 0, M и R2. Поэтому уравнения (4.4), (4.8), (4.12), (4.13) с учетом независимого уравнения (4.11) составляют замкнутую систему 4-х линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно величин у, 0, M и R2:

[image]

 

Для решения системы уравнений (4.14) необходимо определить граничные условия (по два на нижнем и верхнем концах моноопоры). Для всех эксплуатационных схем они одинаковы. На нижнем конце моноопоры у расчетного уровня дна моря при 1 = 0 у = 0 и 0 = 0. На верхнем конце моноопоры граничные условия должны учитывать появление в общем случае дополнительного изгибающего момента Mm и направление технологической силы вдоль осевой линии верхнего сечения моноопоры. Поэтому при 1 = L

[image]

где, как и ранее, технологическая сила Р берется со знаком "+", если направлена вверх, и со знаком "—", если направлена вниз.

Система уравнений (4.14) с выше сформулированными граничными условиями полностью описывает состояние равновесия моноопоры при ее эксплуатации вне плавоснования (см. рис. 4.1, III). Для эксплуатационных схем I и II необходимо учесть, что после достижения моноопорой контакта с плавос- нованием в сечении на уровне палубы на нее начинает действовать реакция плавоснования Сп(у - уп). Кроме того, для схемы II в решении должно быть учтено, что это сечение поворачивается при качке вместе с плавоснованием на угол фк относительно вертикали.

Жесткость Сп контакта плавоснования с моноопорой является функцией характеристик плавоснования и якорной системы, гидрологических условий, перемещений сечений моноопоры и некоторых других факторов. До достижения моноопорой контакта со стенкой проема плавоснования (при у < уп) величина Сп = 0. Начиная с момента контакта, моноопора оказывает давление на плавоснование, стремясь сместить его в направлении движения волн. Реакцию плавоснования Рп = Сп(у - - уп) на это давление можно рассматривать как составную часть внешней нагрузки, действующей на моноопору. Поэтому ее рационально ввести в уравнения равновесия аналогично силе QB. Тогда для схем I и II последнее уравнение системы (4.14) можно представить в виде

[image]

Поскольку заранее величина горизонтального перемещения сечения моноопоры на уровне палубы плавоснования неизвестна, то неизвестными являются и жесткость контакта Сп моноопоры с плавоснованием и реакция Рп.

Величина возможного дрейфа бурового плавоснования в период осуществления технологического цикла нормативно ограничивается. Наихудший вариант напряженного состояния моноопоры будет соответствовать максимальной величине смещения (дрейфа) плавоснования Amax. В этих условиях координата максимального перемещения сечения моноопоры на уровне палубы может быть вычислена по выражению (4.1).

Запрещение дальнейшего перемещения этого сечения, вводимое из-за ограничения величины дрейфа плавоснования, математически эквивалентно введению в решение дополнительного условия: при х = xп у = уп(тах). Таким образом, для определения пяти неизвестных у, 0, M, R2 и Рп имеем четыре граничных условия и одно дополнительное. Это позволяет считать систему разрешающих уравнений полностью определенной.

Учесть в уравнениях равновесия, что для схемы II сечение моноопоры на уровне палубы поворачивается при качке вместе с плавоснованием на угол фк относительно вертикали, можно, введя дополнительно в этом сечении внешний изгибающий момент Мкп. Величина этого момента такова, что его действие совместно с другими силовыми факторами, приложенными к моноопоре, обеспечивает поворот сечения моноопоры на уровне палубы на заданный угол фк качки плавоснования относительно вертикали. Тогда для схемы II третье уравнение системы (4.14) необходимо заменить на следующее:

[image]

Заранее значение момента Мкп, как и реакции Рп, неизвестно. Но для его нахождения также существует дополнительное условие: при x = 1п 0 + ф = ±фк. Поэтому число неизвестных в решении остается равным числу условий, из которых они могут быть определены.

Покажем, как можно свести решение задачи, например, для схемы I, к рассмотрению одного линейного дифференциального уравнения относительно величины у. Дифференцируя третье уравнение в системе (4.14), получаем

[image]

Подставив dR2/d1 из выражения (4.16) в формулу (4.18) и учитывая, что согласно (4.6) dR1/d1 = qi, получаем

[image]

С учетом первых двух уравнений системы (4.14) уравнение (4.19) принимает вид

[image]

Аналогичным образом, оперируя соответствующими выражениями для dM/d1 и dR2/d1, можно получить дифференциальное уравнение равновесия моноопоры 4-го порядка для схем II и III. Решение системы уравнений (4.14) или уравнения (4.20) позволяет определить внутренний изгибающий момент, моноопоре и, следовательно, рассчитать ее напряженное состояние. При со,ременном раз,итии электронно-вычислительной техники для этого наиболее целесообразно пользоваться численными методами интегрирования. Точное аналитическое решение уравнений, подобных (4.20), можно получить , бесселевых функциях.

Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:3045 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:6075 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:3182 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Спостереження за опадами споруд

Спостереження за опадами споруд виконують способами геометричного й тригонометричного нівелювання, гідронівелювання, мікронівелювання, а також фото- і стереофотограмметричним способами. Найбільше широко розповсюджений спосіб геометричного нівелювання. Він володіє рядом достоїнств, що роблять його...

30-05-2011 Просмотров:5034 Інженерна геодезія

Об определении осадок как вертикальных п…

Все описанные выше способы расчета осадок сооружений основаны на использовании решений теории линейно деформируемой среды, либо путем определения напряжений по решениям теории упругости, либо непосредственно оценкой вертикальных пере мещений линейно деформируемого...

25-08-2013 Просмотров:1789 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Расчет масляного насоса

Размеры масляного насоса определяют для режима работы nmах и Nemax. Действительная производительность масляного насоса карбюраторных двигателей , (165) где K = 1,7÷2,5 — коэффициент, учитывающий масло, проходящее помимо подшипников (перепуск масла через...

25-08-2013 Просмотров:3697 Основы конструирования автотракторных двигателей