Характерной особенностью расчета сжато-изогнутых стержней, и моноопоры в частности, является то, что пренебрегать перемещениями их оси под действием нагрузок при составлении уравнений равновесия упругой линии в отличие от большинства задач строительной механики и сопротивления материалов здесь нельзя. Только благодаря учету этих перемещений становится возможным определение изгибающего действия от продольных сил, например, сил тяжести буровых механизмов и моноопоры. Указанное делает задачу расчета моноопоры на прочность при любых видах и количестве наложенных на нее связей статически неопределимой.

Рассмотрим статическое равновесие произвольного элемента ds моноопоры, находящейся под действием внешней нагрузки в изогнутом состоянии (рис. 4.3). Элемент ds выбран таким образом, что имеет единичную длину (сила тяжести этого элемента равна q^) и к нему не приложены сосредоточенные силовые факторы. Здесь R₁ и R₂ - проекции вектора внутренних усилий в моноопоре на оси Ox и Oy соответственно; М - внутренний изгибающий момент; 0 - угол поворота оси сечения моноопоры (угол между касательными к осевой линии моноопоры в нагруженном и ненагруженном состоянии).

Предположим, что расчет моноопоры может быть выполнен в линейной постановке, т.е. перемещения и углы поворота осевой линии моноопоры, возникающие при ее изгибе, настолько малы, что можно считать cos0 = 1; sin0 = 0; 0 << 1. Это позволяет с учетом малости установочного угла наклона ф получить уравнение

связывающее угол поворота 0 с перемещением у сечения моноопоры вдоль оси Oy, и использовать в дальнейшем решении известное из дифференциальной геометрии и линейной теории изгиба приближенное уравнение упругой линии

где р - радиус кривизны упругой линии.

В состоянии равновесия сумма всех сил и сумма моментов, приложенных к элементу ds, должны равняться нулю. С учетом предположения о величине линейных и угловых перемещений моноопоры, принимая во внимание, что ф < 0,5°, и пре-

Рис. 4.3. Схема равновесия элемента ds моноопоры:

Ri и R2 - проекции внутреннего усилия на вертикальную и горизонтальную оси соответственно; М - внутренний изгибающий момент; ф - установочный угол наклона; 6 - угол поворота оси сечения; q - сила тяжести единицы высоты моноопоры пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости по сравнению с остальными, уравнения равновесия сил в проекциях на оси Ox и Oy можно представить, соответственно, в виде

 

а уравнение равновесия моментов -

Ввиду малости углов 0 и ф имеем ds « dx. Поэтому во всех уравнениях равновесия дифференцирование по координате s можно заменить дифференцированием по х и вместо приращения ds рассматривать dx. Далее в рассуждениях эта процедура считается выполненной.

Интегрируя (4.6), получаем

 

где z - вспомогательная переменная интегрирования; R* - константа, определяемая из условий нагружения верхнего конца моноопоры.

При 1 = L имеем R₁ = Pcos(0 + ф) - Р₁. Технологическая сила Р в это выражение вводится со знаком "+", если направлена вверх (создает напряжения растяжения в моноопоре), и со знаком "-", если она направлена вниз (создает напряжения сжатия в моноопоре). Физический смысл константы R* - внутреннее продольное усилие в моноопоре в сечении у расчетного уровня дна моря. Поэтому с учетом малости углов 0 и ф имеем

 

При составлении уравнений равновесия не учитывались сосредоточенные силы и моменты, действующие на моноопору. Влияние силовых факторов, приложенных к верхнему концу моноопоры, если они присутствуют, отражается в граничных условиях при 1 = L. Учет равнодействующей сил волнового давления (за которую в статическом расчете принимают ее максимальное значение Q,) произведем следующим образом.

При переходе через точку приложения силы Q_B, когда 1 = = 1_в, скачкообразно на величину Q, меняется сила R₂. Математически запись этого скачка удобно выразить, добавив в левую часть выражения (4.7) слагаемое Q_B6(i - 1,), где 6(1 - - 1,) - функция Дирака с характеристиками: 6(1 - 1,) = 1, если 1 = 1,; 6(1 - 1,) = 0, если 1 * 1,. Тогда выражение (4.7) следует переписать в виде

В курсах строительной механики и сопротивления материалов показано, что крутизна упругой линии связана с изгибающим моментом отношением 1/р = M/EI_i, где E и I_i - модуль

упругости материала и момент инерции сечения г-й ступени моноопоры. Подставив эту зависимость в формулу (4.5), имеем

Согласно виду выражения (4.11) внутренняя сила R₁ в произвольном сечении моноопоры является функцией только ее геометрии, величины продольных сил и координаты 1 сечения. Она не зависит от величин у, 0, M и R₂. Поэтому уравнения (4.4), (4.8), (4.12), (4.13) с учетом независимого уравнения (4.11) составляют замкнутую систему 4-х линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно величин у, 0, M и R₂:

 

Для решения системы уравнений (4.14) необходимо определить граничные условия (по два на нижнем и верхнем концах моноопоры). Для всех эксплуатационных схем они одинаковы. На нижнем конце моноопоры у расчетного уровня дна моря при 1 = 0 у = 0 и 0 = 0. На верхнем конце моноопоры граничные условия должны учитывать появление в общем случае дополнительного изгибающего момента M_m и направление технологической силы вдоль осевой линии верхнего сечения моноопоры. Поэтому при 1 = L

где, как и ранее, технологическая сила Р берется со знаком "+", если направлена вверх, и со знаком "—", если направлена вниз.

Система уравнений (4.14) с выше сформулированными граничными условиями полностью описывает состояние равновесия моноопоры при ее эксплуатации вне плавоснования (см. рис. 4.1, III). Для эксплуатационных схем I и II необходимо учесть, что после достижения моноопорой контакта с плавос- нованием в сечении на уровне палубы на нее начинает действовать реакция плавоснования С_п(у - у_п). Кроме того, для схемы II в решении должно быть учтено, что это сечение поворачивается при качке вместе с плавоснованием на угол ф_к относительно вертикали.

Жесткость С_п контакта плавоснования с моноопорой является функцией характеристик плавоснования и якорной системы, гидрологических условий, перемещений сечений моноопоры и некоторых других факторов. До достижения моноопорой контакта со стенкой проема плавоснования (при у < у_п) величина С_п = 0. Начиная с момента контакта, моноопора оказывает давление на плавоснование, стремясь сместить его в направлении движения волн. Реакцию плавоснования Р_п = С_п(у - - у_п) на это давление можно рассматривать как составную часть внешней нагрузки, действующей на моноопору. Поэтому ее рационально ввести в уравнения равновесия аналогично силе Q_B. Тогда для схем I и II последнее уравнение системы (4.14) можно представить в виде

Поскольку заранее величина горизонтального перемещения сечения моноопоры на уровне палубы плавоснования неизвестна, то неизвестными являются и жесткость контакта С_п моноопоры с плавоснованием и реакция Р_п.

Величина возможного дрейфа бурового плавоснования в период осуществления технологического цикла нормативно ограничивается. Наихудший вариант напряженного состояния моноопоры будет соответствовать максимальной величине смещения (дрейфа) плавоснования A_max. В этих условиях координата максимального перемещения сечения моноопоры на уровне палубы может быть вычислена по выражению (4.1).

Запрещение дальнейшего перемещения этого сечения, вводимое из-за ограничения величины дрейфа плавоснования, математически эквивалентно введению в решение дополнительного условия: при х = x_п у = у_п(_тах). Таким образом, для определения пяти неизвестных у, 0, M, R₂ и Р_п имеем четыре граничных условия и одно дополнительное. Это позволяет считать систему разрешающих уравнений полностью определенной.

Учесть в уравнениях равновесия, что для схемы II сечение моноопоры на уровне палубы поворачивается при качке вместе с плавоснованием на угол ф_к относительно вертикали, можно, введя дополнительно в этом сечении внешний изгибающий момент М_кп. Величина этого момента такова, что его действие совместно с другими силовыми факторами, приложенными к моноопоре, обеспечивает поворот сечения моноопоры на уровне палубы на заданный угол ф_к качки плавоснования относительно вертикали. Тогда для схемы II третье уравнение системы (4.14) необходимо заменить на следующее:

Заранее значение момента М_кп, как и реакции Р_п, неизвестно. Но для его нахождения также существует дополнительное условие: при x = 1_п 0 + ф = ±ф_к. Поэтому число неизвестных в решении остается равным числу условий, из которых они могут быть определены.

Покажем, как можно свести решение задачи, например, для схемы I, к рассмотрению одного линейного дифференциального уравнения относительно величины у. Дифференцируя третье уравнение в системе (4.14), получаем

Подставив dR₂/d1 из выражения (4.16) в формулу (4.18) и учитывая, что согласно (4.6) dR₁/d1 = q_i, получаем

С учетом первых двух уравнений системы (4.14) уравнение (4.19) принимает вид

Аналогичным образом, оперируя соответствующими выражениями для dM/d1 и dR₂/d1, можно получить дифференциальное уравнение равновесия моноопоры 4-го порядка для схем II и III. Решение системы уравнений (4.14) или уравнения (4.20) позволяет определить внутренний изгибающий момент, моноопоре и, следовательно, рассчитать ее напряженное состояние. При со,ременном раз,итии электронно-вычислительной техники для этого наиболее целесообразно пользоваться численными методами интегрирования. Точное аналитическое решение уравнений, подобных (4.20), можно получить , бесселевых функциях.