Menu

Трансляционные элементы симметрии и пространственные группы.

В разд. 3.3.2 отмечалось, что проявляемая кристаллом внешняя симметрия есть выражение симметрии пространственного расположения атомов в пределах элементарной ячейки. Как мы уже видели, тип решетки, какой бы она ни была — примитивной, объемно- или гранецентрированной, — не может быть определен с помощью внешней симметрии. Существуют такие элементы симметрии, как винтовые оси и плоскости скользящего отражения, которые включают в себя поворот или отражение с последующей трансляцией, но внешне проявляются только как оси поворота или плоскости зеркального отражения.

3.8.1 Винтовые оси

Действие винтовой оси заключается в повороте и последующей трансляции (переносе) параллельно направлению этой оси. Винтовая ось симметрии 21 поворачивает объект на 180° и затем смещает его на половину размера ячейки, повторяя параллельно самому себе. При повторении этой операции предмет возвращается обратно в исходное положение, а поскольку он подвергся смещению, то повторяется на расстоянии размера целой ячейки от начальной точки. Но, по определению, все элементарные ячейки идентичны, так что фактически этот процесс можно рассматривать как возвращение предмета в его исходное положение. Действие двойной оси симметрии и винтовой оси 21 показано на рис. 3.38.

Кроме того, существуют тройные, четверные и шестерные винтовые оси, которые также включают в себя поворот с последующей трансляци-

Рис. 3.38 Операции двойной оси симметрии и винтовой оси 2j.

ей. Однако у симметрии с большим числом поворотов возможно существование нескольких трансляций. Для винтовой оси расстояние, на котором предмет повторяется при смещении, обозначается подстрочным индексом t. Так, например, тройная винтовая ось 31 включает в себя поворот на 120°, за которым следует повторяющееся смещение на 1/3 ячейки, а у тройной винтовой оси 32 имеется поворот на 120° и последующее смещение на 2/3 ячейки. В обоих случаях после полного поворота на 360° предмет возвращается в свое исходное положение, но смещается на расстояние одной или двух элементарных ячеек (рис. 3.39). В действительности, винтовая ось 31 осуществляет поворот вправо, а винтовая ось 32 — влево (см. разд. 3.9). Действие четверной и шестерной винтовых осей аналогично описанному выше, и они также бывают правосторонними (41, 61 и 62), левосторонними (43, 64 и 65) или нейтральными (42 и 63) четверными и шестерными винтовыми осями. С точки зрения внешней морфологии эти винтовые оси проявляются как простые поворотные. Однако при исследовании внутренней симметрии рентгеновскими дифракционными методами (гл. 4) наличие винтовых осей устанавливается по систематическому отсутствию отражений от некоторых плоскостей.

Символы, используемые для обозначения винтовых осей, приведены в табл. 3.4.

3.8.2 Плоскости скользящего отражения

Плоскость скользящего отражения является элементом симметрии, действие которого состоит в отражении предмета с последующим смещением его на половину размера элементарной ячейки. Этот процесс показан на рис. 3.40. Плоскости скользящего отражения обозначаются в соответствии с кристаллографическим направлением, которому параллелен смещающийся компонент. Например, плоскость скользящего отражения а включает в себя отражение с последующим скольжением параллельно а, а плоскости скользящего отражения b осуществляют трансляцию параллельно b, в то время как плоскости скользящего отражения с — параллельно с. Имеются также плоскости скользящего отражения, которые осуществляют трансляции на половину повторяющегося расстояния параллельно двум осям. Такие диагональные плоскости обозначаются как плос-

Таблица 3.4 Операторы симметрии в кристаллографии Обозначения Элемент симметрии Символ

Рис. 3.39 Операции тройной оси симметрии и винтовых осей 3: и 32.

Рис. 3.41 Операции плоскостей скользящего отражения b и n, перпендикулярных a (см. табл. 3.4).

Рис. 3.40 Операции плоскостей зеркального и скользящего отражения.

кости скользящего отражения п. Возможно существование плоскостей скользящего отражения п со смещением а/2 + b/2, а/2 + с/2 или b/2 + с/2 (рис. 3.41). Последняя группа плоскостей представлена алмазными плоскостями скользящего отражения d, которые подобны плоскостям n, но смещение у них составляет четверть повторяющегося расстояния ячейки в двух направлениях, например а/4 + b/4

3.8.3 Действие элементов симметрии

Мы уже видели, как можно графически изобразить элементы внешней симметрии с использованием стереографической проекции, на которую наносятся грани какой-либо простой формы. Морфологическую симметрию кристалла можно также легко установить путем его осмотра или измерения углов между гранями. В пределах кристаллической структуры группы атомов связаны друг с другом элементами симметрии, и при описании структуры кристаллов положения атомов указываются в дробных значениях координат по трем кристаллографическим осям. Например, если координаты атома заданы как 0,324; 0,456; 0,124, то он расположен в точке 0,324a, 0,456b; 0,124с. Мы можем записать эти координаты в общем виде, обозначив их х, у, z, где x—дробная координата вдоль а y вдоль b и z вдоль с. Элементы симметрии определяют положение всех остальных атомов, расположенных относительно исходных симметрически (кристаллографически) эквивалентно в элементарной ячейке.

На рис. 3.42 показано действие ряда элементов симметрии при основном положении x, у, z..

3.8.4 Пространственные группы

Мы видели, как внешнюю симметрию кристаллов можно описать одним из 32 классов симметрии, или точечных групп (разд. 3.7). При описании внутренней симметрии кристаллов выявляется 230 различных комбинаций элементов симметрии и типов решетки, т.е. имеется 230 пространственных групп. Пространственные группы были выведены в 90-х годах XIX в. совершенно независимо тремя учеными: E. С. Федоровым (18531919) в Москве, А.Шенфлисом (1853-1928) в Гет-тингене и У. Барлоу (1845-1934) в Лондоне. Следует отметить также, что хотя пространственные группы симметрии являются фундаментальным понятием при описании кристаллических структур, они были выведены за 20 лет до открытия дифракции рентгеновских лучей.

В этой книге мы не будем подробно описывать пространственные группы симметрии. Однако ниже будут кратко рассмотрены система используемых обозначений и процедура описания кристаллических структур. 230 пространственных групп детально представлены в Международных таблицах по кристаллографии (International Tables for Crystallography).

Пространственные группы подразделяются на семь кристаллографических систем — сингоний и в пределах каждой сингоний — на точечные группы. В символе пространственной группы первым указывается тип решетки: P (примитивная), С (базоцентрированная), I (объемноцентрированная), F (гранецентрированная — все грани центрированы) или R (ромбоэдрическая). Затем в символе обозначаются операторы для групп симметрии, которые указывают ее существенные элементы.

Операторы симметрии представлены следующими элементами:

1 (симметрия отсутствует)

т (плоскость зеркального отражения)

a, b, с, n и d (плоскости скользящего отражения)

2, 3, 4, и 6 (поворотные оси)

3, 4 и 6 (инверсионные оси) 1 (центр симметрии)

21

3 3

4ц 42, 43, (винтовые оси)

62, ^ ^ 65 *

Порядок расположения символов при обозначении пространственных групп аналогичен системе, которая использовалась для обозначения точечных групп. Например, символом C2/c обозначается пространственная группа с базоцентриро-ванной решеткой и осью симметрии, перпендикулярной плоскости скользящего отражения с. Эта пространственная группа принадлежит к моноклинной точечной группе 2/m (плоскость скользящего отражения с эквивалентна зеркальной плоскости). Сама пространственная группа представлена двумя построенными в проекции диаграммами, на которых ось высшей симметрии выходит за пределы страницы. На рис 3.43 представлена моноклинная пространственная группа С2/с. На проекции приведена плоскость xz, а у выходит за пределы страницы. На одной диаграмме (рис. 3.43, а) показаны положения операторов, а на другой (рис. 3.43, б) — воздействие элементов симметрии на атом в общем положении с координатами (x, у, z). Отметим, что у этой простраи ственной группы помимо оси симметрии и плос кости скользящего отражения с имеются дополни тельные элементы симметрии (центры симметрии и винтовые оси 21), которые образуются за счет комбинированного воздействия определенных эле-

Рис. 3.42 Воздействие некоторых простых элементов симметрии на атом, находящийся в положении (x, у, z) (а) зеркальная плоскость перпендикулярна у, (б) плоскость скользящего отражения перпендикулярна у, (в) ось симметрии располагается по z, (г) винтовая ось 2Г располагается по z, (д) четверная ось по z, (e) центр симметрии в начале координат

ментов. В Международных таблицах по кристаллографии перечисляются положения в элементарной ячейке, которые симметрично эквивалентны х, y, z. B ячейке пространственной группы C2/c существуют два узла решетки, один из которых находится в начале координат О, О, О, а другой — в центре грани С (1/2, 1/2, О). Для каждого узла решетки имеется четыре эквивалентных положения, и, следовательно, в ячейке наблюдается восемь эквивалентных положений: (1) х, у, z; (2) -x, у, -z + 1/2; (3) -x, -у, -z; (4) х, -y, z + 1/2; (5) х + 1/2, у + 1/2, z; (6) -х + 1/2, у + 1/2, -z + 1/2; (7) -х +1/2, -у + 1/2, -z; (8) х + 1/2, -у+1/2, z+1/2. Положения узлов (1)-(4) связаны с положениями (5)-(8) через операцию гранецен-трирования, т. е. за счет добавления к координатам 1/2, 1/2, О. Число эквивалентных положений у пространственных групп различается и связано со степенью симметрии и типом решетки.

Формальное описание структуры минерала включает следующие данные:

1. параметры элементарной ячейки;

2. символ пространственной группы;

3. химическую формулу;

4. Z — число атомов в элементарной ячейке, соответствующих химической формуле;

5. дробные атомные координаты каждого входящего в формулу атома.

Помимо этого также обычно приводятся факторы, описывающие тепловое движение атомов (температурный фактор), но здесь они не приводятся.

Теперь в качестве примера рассмотрим структуру диопсида: формула CaMgSi2O6; элементарная ячейка a = 0,971, b = 0,889, c = 0,524 HM, в = 105°50'; пространственная группа С2/с, Z = 4.

х

У

Атом

Параметры атомов

Ca

0

0,694

0,25

Mg

0

0,084

0,25

Si

0,211

0,407

0,236

0(1)

0,375

0,419

0,139

0(2)

0,142

0,253

0,318

0(3)

0,145

0,481

0,000

Используя перечень эквивалентных основных позиций для пространственной группы C2/e, мы можем рассчитать положения всех атомов в эле-

Рис. 3.43 Моноклинная пространственная группа С2/с. На проекции показана плоскость xz, ось у уходит за пределы страницы (а) Положения операторов симметрии Отметим, что у плоскости скользящего отражения и некоторых центров симметрии z = 1/4. (б) Действие элементов симметрии на атом, который находится в основном положении с координатами

(x,y,z)

ментарной ячейке; это показано в таблице 3.5. Теперь позиции катионов можно наложить на план элементарной ячейки, показывающий положения операторов симметрии (рис. 3.44). Отметим, что координаты атомов Ca и Mg одинаковы: х = 0 и z = 1/4. Следовательно, эти катионы находятся на осях симметрии, т. е. они занимают особые положения в элементарной ячейке. Во многих структурах по крайней мере некоторые из атомов оказываются в положениях, совпадающих с операторами симметрии. При этом число эквивалентных позиций, где могут существовать особые положения, всегда меньше, чем число эквивалентных общих позиций.

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:4891 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:8080 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:4927 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Компоновка конструкции из ограниченного …

Компоновка конструкции из ограниченного числа различных сборных элементов Такая задача в проектной практике встречается довольно часто. Применительно к Байтовым покрытиям она решается, например, в таких ситуациях. На вантовую сеть требуется уложить сборные...

20-09-2011 Просмотров:3886 Вантовые покрытия

Блоки, картеры и головки цилиндров

Блок цилиндров и картер у большинства современных автомобильных и тракторных двигателей выполняют в совместной отливке из чугуна или алюминиевого сплава. Совместная отливка блока цилиндров и верхней половины картера дает возможность при...

25-08-2013 Просмотров:4021 Основы конструирования автотракторных двигателей

Принципи геодезичного забезпечення монта…

Виробництво монтажних робіт при зведенні цивільних і промислових споруд, а також установка технологічного встаткування пов'язані з виконанням різноманітних геодезичних вимірів. Різноманіття видів споруд й умов їхнього зведення приводить до необхідності...

30-05-2011 Просмотров:5132 Інженерна геодезія