Комплексная диэлектрическая проницаемость изменяется в зависимости от температуры среды и частоты приложенного электромагнитного поля.

Установлено, что вплоть до высоких частот порядка 10¹⁰— 10^пГц процесс поляризации носит релаксационный характер, причем время релаксации зависит от вещества и механизма поляризации. Для слабополярных сред (одно время релаксации и экспоненциальный закон становления) е определяется по формулам П. Дебая [86, 103]:

где—динамическая диэлектрическая проницае мость, т. е. значение е' при наивысшей частоте (практически при частоте, достаточно большой по сравнению с частотой релаксации вещества

 

— статическая диэлектрическая проницаемость, т. е. значение е' в квазистационарном электромагнитном поле;

• угловая, частота электромагнитного поля;

• время релаксации с учетом действующего

локального электрического поля, причем я = ^(е_с, 8оо) зависит лишь от метода расчета внутреннего поля. Очевидно, для гетерогенных сред, к которым относится большинство горных пород, характеризуемых некоторым набором (распределением) времени релаксации и обладающих сквозной-проводимостью а, формулы Дебая неприменимы. Выражения для е с учетом этих обстоятельств получены К. Беттхе-ром и Г. Фрелихом [86]:

 

 

Рис. 17. Частотная зависимость электрических характеристик несовершенного диэлектрика

где 0(6)—нормированная функция распределения плотности вероятности времени релаксации. Уравнения (НЛО) — (11.18) позволяют оценить частотную зависимость электрических характеристик: с возрастанием частоты приложенного поля г^г должна уменьшаться, сое" (т. е. а') увеличиваться, а, следовательно, р_Эф (Н.9) —уменьшаться, достигая определенных асимптотических значений при со-^0 и а)->-оо.

Наконец е будет иметь экстремум (максимум) при частоте со= —,что обусловливает подобную частотную зависимость и для 1^6, однако максимум оказывается несколько сдвинутым в область более высоких частот, как это следует из (11.14). Характер частотных зависимостей этих параметров приведен на рис. 17.

Различия в распределении времени релаксации не влияют на ход кривых, а лишь приводят к большей или меньшей их крутизне. Частотная зависимость электрических характеристик обусловлена релаксационным характером процессов поляризации.

Пока частота действующего поля со<С— , поляризация успевает установиться, что приводит к возникновению значительного внутреннего поля и, следовательно, к большим значениям е' и р_Эф и малым е". При со — процессы поляризации не успевают получить значительного развития, в этом случае е', р_Эф и е" малы. В окрестностях особой точки (<*>^ —} должны наблюдаться интенсивная частотная зависимость е' и р_Эф и резкое возрастание фактора потерь е" вследствие значительных фазовых сдвигов между внешним и внутренним полем при небольших изменениях частоты.

За пределами области дисперсии (т. е. при достаточно высоких частотах) проводимость и величина р_Эф достигают предельных значений, которые практически определяются омической сквозной проводимостью, так как релаксационные поляризационные и дипольные эффекты уже не проявляются. Следует отметить, что рост диэлектрических потерь почти прекращается, _когда /—V <1, а форма частотной характеристики 1§6 зависит от соотношения потерь на сквозную проводимость и на релаксационные процессы (поляризацию). При большом значении сквозной проводимости максимум 1^6 исчезает. 

 

Рис. 18. Диаграммы взаимозависимости е'(ю) и е"(со) при различном распределении времени релаксации:

а —одно время релаксации в; б — набор времени релаксации, симметрично распреде ленных относительно наиболее вероятного времени релаксации 6_т; в — то же, несимметрично распределенных х

 

Частотные зависимости е' и е" вытекают из преобразования Гильберта, или из формул Крамера—Кронига [103]. Согласно этим формулам частотная зависимость е' определяется частотной зависимостью е" с точностью до постоянного слагаемого, и наоборот, — с точностью до гиперболического слагаемого. В частном случае (уравнение Дебая), взаимозависимость е"((о) от е'(со) имеет вид полуокружности и описывается формулой

 

Центр полуокружности имеет координаты: 0 и радиус ее равен ^8с"~^е°° (рис. 18, а). Это так называемая диаграмма Коул—Коула [103] для веществ с одним временем релаксации. В случае некоторого распределения времени релаксации диаграмма получается в виде дуги окружности, центр которой расположен ниже оси е' (рис. 18,6). Она соответствует выражению

 

а выражение для комплексной диэлектрической проницаемости имеет вид

Определяя из диаграммы рис. 18,6 угол а, можно рассчитать распределение времени релаксации из соотношения, называемого функцией Фуоса [25, 118]:

Однако в более общем случае распределение времени релаксации может быть асимметричным (функция Фуоса симметрична относительно наиболее вероятного времени 0_т), что установлено экспериментальными исследованиями ряда гетерогенных веществ. В некоторых случаях такие асимметричные кривые могут быть аппроксимированы уравнением

Тогда функция распределения плотности вероятности времени релаксации может иметь следующий вид:

Это функция распределения Коула—Девидсона [25, 134]. В соответствии с уравнением (11.22) график на комплексной плоскости стремится к дуге окружности (при ш->0) с центром на оси е' и — к прямой (при со->-оо), образующей с осью абсцисс

угол (рис. 18, в). Для проверки допустимости аппроксима-

ции уравнением (11.22) можно экспериментальные точки нанести на график в координатах, где

и если они расположатся на прямой, то аппроксимация возможна. Прямая пересечет линию 2=1 при частоте со_ш, соответствующей 8_т.

При больших значениях сквозной электропроводности следует выделять обусловленную ею составляющую потерь. Это можно сделать с помощью графика 1&е", который, исходя из равенства (11.17), при малых и больших значениях 0 вырождается в прямую и на этих участках

Тогда исправленные значения

Таким образом, диаграммы Коул — Коула могут служить для контроля надежности экспериментальных данных (экспериментальные точки должны лежать на соответствующей кривой) и по ним можно оценивать характер распределения времени релаксации исследуемого материала и определять предельные значения е_с и 8оо, даже если измерения проведены в ограниченном диапазоне частот. Примеры такого применения диаграмм Коул—Коула при изучении диэлектрических свойств и характеристик электрической релаксации криогенных пород описаны ниже.

На основании вышеизложенного считаем, что потери энергии электрического поля в большинстве материалов, в том числе и

в горных породах, обусловлены как сквозной проводимостью, так и процессами поляризации (диэлектрические свойства). Это означает, что процесс протекания тока в несовершенном диэлектрике значительно усложняется под влиянием различных поляризационных явлений. Взаимодействие этих явлений в общем случае достаточно сложное, имеет свою специфику в зависимости от вида материала. Для твердых веществ в ряде случаев хорошее объяснение экспериментальных данных дает теория межповерхностной поляризации Максвелла—Вагнера, которая, однако, применима только при большой концентрации носителей заряда, т. е. когда объемной поляризацией можно пренебречь, так как в противном случае необходим ее специальный учет. Для жидких сред (электролитов) достаточно хорошее приближение дают представления Дебая — Гюккеля — Фалькенгагена или теория ионной атмосферы.

Для однофазных гетерогенных сред на основе этих теорий получен ряд соотношений, позволяющих вычислять диэлектрические свойства смесей через свойства компонент — это так называемые формулы смешения Максвелла, Лоренца, Релея, Бруггемана, Бетхера, Оделевского и др. [54, 78, 79].

Если смесь можно рассматривать как матричную систему, в которой один из компонентов играет роль вмещающей среды, а второй представлен в виде изолированных включений, используют формулы Максвелла или Релея.

В случае включений в виде шаров любых размеров применяется более общая и более полная формула Релея

Формула Максвелла описывает матричную систему с включениями в виде шаров, имеющих диаметр, гораздо меньший расстояния между шарами:

где е_а и е\—диэлектрическая проницаемость соответственно вмещающей среды и включения; п — объемная концентрация включений.

При расчетах диэлектрической проницаемости системы, представляющей собой неупорядоченную смесь двух компонентов, наилучшую сходимость расчетных и экспериментальных данных дает формула Лихтенекера:

а при значительном различии диэлектрических проницаемостей компонентов смеси — формула Оделевского

где—диэлектрические проницаемости смеси и отдельных компонентов; щ и п₂ — объемные концентрации компонентов (П\ + П₂=\).

А. Г. Тархов (79] предложил следующую формулу для расчета среднего значения диэлектрической проницаемости смеси, состоящей из нескольких компонентов, при отсутствии влаги.

Большую сложность представляет вопрос о природе электрических свойств многофазных гетерогенных сред, к которым относятся содержащие влагу и газы горные породы, в том числе и криогенные породы. В результате применеЬия к таким средам указанных представлений не'было получено удовлетворительного количественного соответствия экспериментам. Это связано с тем, что вышеупомянутые представления постулируют аддитивность электрических свойств многокомпонентных гетерогенных сред без необходимого учета эффектов, обусловленных междуфазовым взаимодействием.

Рассмотрим некоторые особенности ионопроводящих гетерогенных пород по сравнению с однофазными средами. Комплексность и взаимосвязь электрических характеристик таких пород получаются не просто из формального преобразования уравнения Максвелла для полного тока, а вызваны физическими особенностями протекания в них процессов проводимости и поляризации.

Следует отметить, что такое классическое рассмотрение тока проводимости и тока смещения, принятое для идеального проводника и идеального диэлектрика, вряд .ли применимо к ионопроводящим породам, тем более в мерзлом состоянии с криогенной системой пор. В таких сложных гетерогенных средах ток проводимости как направленное поступательное движение носителей заряда и ток смещения как колебательное смещение связанных зарядов должны иметь дополнительные фазовые сдвиги по отношению к напряженности Е внешнего переменного поля, поскольку в по-ровом растворе нет идеально свободных и идеально связанных носителей заряда. Эти носители (ионы, группы и комплексы) скорее можно назвать полусвободными (полусвязанными) в зависимости от энергетической структуры порового раствора.

Ввиду неоднородности этой энергетической структуры, дополнительные фазовые сдвиги тока проводимости и тока смещения должны быть различными при разных частотах внешнего' поля. Отсюда следует, что о и е как электрические характеристики гетерогенных сред должны быть не константами, а сложными функциями частоты а(ш) и е(со). Физически это означает наличие нескольких процессов проводимости и поляризуемости с разным временем релаксации, в зависимости от энергетической структуры порового раствора, а следовательно, и с разным-запаздыванием соответствующего тока по отношению к напряженности внешнего поля.

Наличие дополнительных частотно зависимых фазовых сдвигов тока проводимости и тока смещения приводит к тому, что каждый из них может влиять на синфазную и квадратурную составляющие, т. е. а (со) и е(со) должны представлять собой комплексные величины

 

где действительная часть проводимости в\((х>) и мнимая часть диэлектрической проницаемости 82 (со) определяют синфазную составляющую с приложенным напряжением тока в среде, а мнимая часть проводимости аг(со) и действительная часть проницаемости 81 (со)—квадратурную составляющую.

Подставляя выражения (11.35) в уравнение Максвелла для полного тока вместо (Н.4), получим:

 

Выражения (11.37) характеризуют эффективные значения электропроводности и диэлектрической проницаемости, которые определяют при измерениях в переменных электромагнитных полях.

Таким образом, в зависимости от частоты электрон а гнитнога поля и энергетической структуры материала можно получить значения его эффективных параметров, обусловленные или преимущественно проводимостью, или поляризуемостью. Например, можно считать, что на низких частотах во влагонасы-щенных песчано-глинистых породах преобладают токи проводимости, тогда на основании выражений (11.37) получим:

т. е. оба параметра определяются в основном проводимостью породы, причем значения эффективной диэлектрической проницаемости е'_Эф и ее частотная зависимость будут тем больше, чем сильнее затруднено свободное движение ионов и неоднороднее энергетическая структура порового раствора, чем больше число процессов проводимости с разным временем становления (релаксации). Последнее может быть обусловлено такими факторами, как ионный состав и концентрация порового раствора, температура, геометрия порового пространства и адсорбционная активность поверхности пор, мембранные эффекты и т. п. На высоких частотах, когда преобладают токи смещения, из выражений (11.37) имеем:

т. е. эффективная электропроводность а'_Эф определяется механизмом неидеальной поляризации (диэлектрическими потерями).