Menu

Сведения по теории подобия и размерностей

Сведения по теории подобия и размерностей

Основой физического моделирования является теория подобия, опирающаяся на анализ размерностей.

Модели конструкций или сооружений являются подобными натурным, если в сходственные моменты времени в сходственных точках значения переменных величин, характеризующих состояние модели, пропорциональны соответствующим значениям величин натурных конструкций или сооружений. Из этого следует, что характеристики натурных объектов могут быть получены простым пересчетом характеристик модельных объектов, устанавливаемых экспериментально. Для всех величин данной размерности таким множителем является коэффициент подобия (множитель масштабного преобразования).

Так, материалы конструкции М и модели М' называются механически подобными, если

о' = Ра; Е' = уЕ\ Т' =1\Т; р' = б р, где р, у, г), б — множители подобия соответственно для напряжений, деформаций, времени и плотности.

Для материалов с линейной упругостью:

Е' = ^-Е\ 0' = -&-С; М'=М.

В пределах текучести

Оз = РО5.

В пределах разрушения

/?' = р*.

Все множители подобия Р; у; т]; б должны быть постоянными для сравниваемых материалов М и М' (М — натура, АГ — модель).

Для подобия состояния двух тел А и А' должны выполняться следующие условия:

о0 ~ Ро0, Ео — уЕ$, где о0, Сто и Ео, Е0 — соответственно начальные напряжения и деформации в моменты времени Т0 и Т0 = лТ0;

Я' = сфч,

где <7 и д' — погонные нагрузки, распределенные вдоль сходственных кривых С и С' на поверхностях 2 и 2' кон
струкции А и модели А';

Р' = а2рЯ; М' = а*$М,

где Р, Р' и М, М' — соответственно сосредоточенные силы, и моменты, приложенные к сходственным точкам тел А и Л'.[image]

Если граничные условия для конструкции А заданы в смещениях точек поверхности, то для обеспечения подобного состояния необходимо сообщить сходственным точкам модели А' смещения

= ауО.

Если граничные условия для тела А заданы частично в напряжениях о и частично в смещениях II, то в сходственных точках модели А' должны быть заданы:

 

о' = рог;

 

V’ = ауО.

Деформированные тела А и А' геометрическое подобие в точности сохраняют лишь при условии 7=1.

Поэтому условие подобия при у Ф 1 справедливо лишь при малых перемещениях, когда можно считать, что геометрическое подобие тел не нарушается.

Если предельное состояние тела А достигается при нагрузках, распределенных по поверхности опр или по линиям (/„р. а также при сосредоточенных силах Рпр и моментах М„р, то предельное состояние тела А' соответственно достигается при условиях:

<7пр== Ропр; <7пр = #Р<7пр;

Рпр = а2рЯпр; МпР = а3рМпр.

Если происходит изменение температуры АГ в оригинале, то в модели должно быть обеспечено распределение температуры

АГ' = у—АТ,где ат и ат — коэффициенты линейных температурных удлинений тел А и А'.

Относительные усадочные деформации тел Л и Л' подчиняются условию

^ус = уЕус.

Доказано, что если причина развития трещин — достижение в хрупком теле предела прочности, то при выполнении перечисленных условий подобия трещины в подобных телах располагаются подобно, причем ширина трещины в теле А, отличается от ширины трещины в теле А' в осу раз, то есть

а' = а уа.

Таким образом, для подобных тел при статическом за- гружении можно обеспечить подобие предельных состояний по несущей способности, деформации и трещинообра- зованию. Теории подобия и размерностей применяются одновременно вследствие общности методов и задач. Причем, если теория подобия исследует различные явления, описываемые математически достоверными уравнениями, то теория размерностей исследует одно явление и своей задачей ставит установление вида уравнения, описывающего это явление.

Метод анализа размерностей является основой теории подобия и сочетает теоретические исследования с экспериментальными. В основе теории размерностей лежит известное положение, что все члены уравнений, описывающих физические явления, должны иметь одинаковую размерность. Величина, численное значение которой зависит от принятой системы единиц, называется размерной, если же не зависит, то безразмерной. Размеренность величины определяется произведением степеней множителей, символизирующих основные величины:

[image]

[а] = А^АоАз, .. .

 

где [а] — производная единица; Аг, А 2> А3 — основные единицы; а, р, у...— любые действительные числа. В отличие от производных размерных единиц, безразмерные не меняют своего численного значения при переходе из одной системы в другую.

Анализ различных преобразований размерностей позволяет сделать вывод, что всякое физическое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными. При этом метод анализа размерностей в каждом конкретном примере позволяет проследить влияние каждого из аргументов и всех вместе на конечный результат. Естественно, что для получения конкретного вида функции анализ должен быть дополнен экспериментальными исследованиями.

Рассмотрим, например, моделирование пространствен-
пых и плоских стержневых систем. Для них соблюдение геометрического подобия модели и натуры в осях является необходимым условием, иначе исследованию будет подвергаться сооружение с иной расчетной схемой. Поэтому линейный масштаб длин 1/101/Б0 должен быть одинаковым во всех направлениях и по всем элементам модулируемого сооружения. При этом желательно соблюдать геометрическое подобие поперечных сечений элементов. Так как в стержневых системах существенно влияние нормальных сил, то должно выполняться соотношение

[image]

 

[image]

 

Для обеспечения геометрического подобия модели и натурного сооружения после потери устойчивости необходимо, чтобы ти = 1, то есть чтобы соблюдалось соотношение

[image]

 

При моделировании пластин необходимо выполнять следующие правила. Модель и сооружение должны быть геометрически подобны, причем масштаб нагрузок тр может быть произвольным, но обеспечивающим упругую работу материала модели. Далее необходимо сохранить равенство масштабов моделирования деформаций для плоского напряженного состояния и плоской деформации:

[image]

 

Кроме того, нагрузки в модели должны прикладываться в сходственных точках и иметь подобное распределение, а также условия закрепления должны быть одинаковыми с натурами.

Масштабный множитель для толщины пластинки тн может быть произвольным, однако он должен быть таким, чтобы модель и натура, например, принадлежали к одному и тому же классу тонких пластин. При одинаковых коэффициентах Пуассона материалов модели и сооружения можно пользоваться следующими масштабными множителями

[image]

 

Переход от модели к натуре осуществляется простым умножением результатов эксперимента на соответствующие масштабы. Условия подобия позволяют не только перейти от модели к натуре, но и обобщить результаты единичного эксперимента на всю группу подобных явлений. Если составлены выражения, связывающие масштабы (индикаторы подобия), то обобщение можно применить к результатам любого расчета или натурных испытаний.

Изложенные основные положения теории подобия и размерностей в приложении к экспериментальным исследованиям являются основой для выбора масштаба и материала моделей, их проектирования и последующего перевода данных эксперимента на реальную натурную конструкцию.

 

Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:2747 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:5572 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:2762 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Заключительный этап полевых работ

Увязочные маршруты Во время полевого периода должно быть выделено время на повторные (проверочные или заверочные) и увязочные маршруты. Естественно, что в первой половине полевых работ выявляются основы геологии района, и...

14-10-2010 Просмотров:5514 Геологическое картирование, структурная геология

Прояв в’язкісних властивостей гірських п…

ПРОЯВ В’ЯЗКІСНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ГІРСЬКИХ ПОРІД   В’язкісні (реологічні) властивості гірських порід проявляються на великих глибинах. Особливо відчутно їх прояв у глинистих, галоїдних і сірчанокислих породах. В загальному випадку деформація і швидкість деформування порід...

25-09-2011 Просмотров:3886 Механіка гірських порід

Визначення економічно доцільних термінів

Визначення економічно доцільних термінів проведення планово- попереджувальних ремонтів   Перед тим, як на свердловині другої групи проводити планово-попереджувальний ремонт, необхідно дати оцінку економічної доцільності його проведення. Ремонт економічно доцільним буде тоді, коли...

19-09-2011 Просмотров:3215 Підземний ремонт свердловин