СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ БАЙТОВЫХ ПОКРЫТИЙ

§ 1. Общие положения

Уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние вантовых систем покрытий, являются нелинейными относительно искомых перемещений и, V, ш, поскольку последние входят в уравнения не только в первой, но и второй и третьей степенях.

Следует отметить, что решение нелинейных задач строительной механики вообще является сравнительно трудоемким процессом, требующим индивидуального анализа уравнений для выбора более или менее рационального метода.

Применяющиеся для решения методы являются, как правило, определенной модификацией общих математических методов, пригодных для более широкого круга инженерных задач.

Применительно к уравнениям, описывающим работу вантовых систем, все методы решения можно разделить на следующие: аналитические, применяющиеся главным образом к системам с одним или, в крайнем случае, с двумя нелинейными параметрами; численные, применяющиеся к системам со многими нелинейными параметрами.

Аналитические методы часто дают решения в замкнутой форме путем непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений. Однако, как будет показано ниже, они применимы для некоторых видов вантовых систем: отдельных нитей, вантовых ферм и сетей определенной структуры. Численными методами обычно решаются задачи расчета вантовых сетей произвольных структур.

Все численные методы решения нелинейных уравнений, описывающих работу вантовых систем и получивших большое развитие за последние годы, можно с определенной степенью условности разделить на три вида: итерационные; шаговые и специальные.

Среди итерационных методов, применяющихся к расчету вантовых систем и основанных на последовательном приближении к искомому решению, распространен метод Ньютона и различные его модификации. Идея метода Ньютона состоит в замене графика некоторой нелинейной функции г = / (х) касательной, проведенной в точке х — х₀, и последовательном повторении этого процесса. При этом, естественно, предыдущий результат решения используется для каждого следующего приближения до достижения любой желаемой точности. Иногда пользуются одной из модификаций метода Ньютона, геометрический смысл которой заключается в том, что касательная в некоторой точке графика функции заменяется прямой, проходящей через эту точку и некоторую другую, принадлежащую кривой (метод хорд).

Среди численных методов при расчете вантовых систем находят применение также различного рода релаксационные методы, являющиеся также итерационными. Суть релаксационных методов состоит в последовательном улучшении решения путем приведения в соответствие максимальных невязок и соответствующих значений неизвестных на каждом этапе счета. Физический смысл этих методов заключается в том, что невязки решения можно трактовать как величины внешних сил, обеспечивающие равновесие системы при деформациях. Поскольку невязки с каждым этапом'счета уменьшаются, происходит ослабление действия этих сил, т. е. силы или связи, что одно и то же, релаксируют.

Тесно связан с релаксационными методами метод Зейделя, отличающийся . от предыдущих в основном порядком решения. Этот метод применяется для решения линейных систем уравнений. Если в релаксационных методах порядок решения уравнений определяется, как правило, наибольшими значениями невязок и «поправки» решения начинают с соответствующих уравнений, то в методе Зейделя порядок решения является циклическим и предопределен сразу.

Особый интерес для решения нелинейных уравнений представляют шаговые методы, геометрический смысл которых заключается в замене графика нелинейной функции некоторой ломаной линией с достаточно малым шагом расположения общих точек, принадлежащих кривой и ломаной. Простейшим является метод Эйлера и его модификации. Суть метода Эйлера состоит в прямой замене нелинейной функции некоторой ломаной («ломаной Эйлера»), звенья которой в каждой вершине имеют направление касательной в этой же точке кривой. Решение по методу Эйлера имеет достаточно высокую точность только при малых значениях шага, так как представляет собой по сути на каждом шаге ряд Тейлора с удержанием только первых двух членов. Для получения более точного решения пользуются различного рода модификациями метода Эйлера, применяя направление касательных в средних точках каждого шага, итерационную обработку решения на каждом шаге и другие приемы.

Значительной точностью обладает метод Рунге-Кутта, заключающийся в том, что на каждом отрезке (шаге) решение представляется большим количеством членов ряда Тейлора. Вполне понятно, что метод Рунге-Кутта обеспечивает большую точность решения, однако является более трудоемким, чем метод Эйлера.

Существуют специальные методы решения, основанные на использовании свойств вантовых систем. Учитывая, что в вантовых покрытиях существует тесная связь между внешней нагрузкой и формой системы, специальные методы решения в основном используют именно ее. С этой точки зрения представляет интерес метод расчета вантовых систем на специальные виды нагрузок по линейной теории, позволяющей определить только усилия.

Другой специальный метод решения задач вантовых покрытий заключается в формальных преобразованиях, дающих возможность привести произвольную нагрузку на вантовую сеть к равновесной и тем самым значительно облегчить решение.

Плодотворными оказываются численно-аналитические методы, в частности, метод разложения дифференциального уравнения в степенные ряды с конечным числом членов. Такой подход дает возможность получить решение для прогибов в виде аналитической зависимости от некоторого параметра нагрузки, характеризующего ее количество. Последнее обстоятельство приобретает особую важность при исследовании вопросов определения наихудших сочетаний нагрузок для вантовых систем. Следует заметить, что метод разложения решения в степенные ряды в реализации имеет определенные трудности, для преодоления которых применяют ряд приемов, например представление решения в виде обратно-степенного ряда.

Для правильного применения численных методов решения большое значение приобретает анализ схемы счета или, пользуясь терминологией математиков, анализ «устойчивости вычислительной схемы», не допускающей накопления погрешностей в процессе счета и позволяющей получить результат, достаточно достоверный в пределах точности исходных данных задачи. Однако, учитывая направленность данной работы, авторы сочли возможным не затрагивать некоторых чисто математических вопросов, связанных с решением нелинейных задач: корректность постановки, сходимость приближенных методов, исследование решения, счета и т. д. При дальнейшем изложении математическая строгость и полнота в некоторых вопросах и выкладках будет опущена.