Menu

Статическая и динамическая устойчивость моноопоры

В состав внешней нагрузки, действующей на моноопору в процессе ее эксплуатации, входят продольные силы: тяжести и технологические. Определенные сочетания значений этих сил могут привести к потере устойчивости моноопоры. В большинстве случаев результатом становится разрушение конструкции. Поэтому оценка устойчивости моноопоры - важная процедура на первом этапе ее проектирования.

Особенностью расчетов моноопорных оснований является то обстоятельство, что для них возможны два типа потери устойчивости - статический и динамический. Обусловлено это присутствием в составе нагрузки технологических сил, которые имеют следящий характер.

Под статическим типом потери устойчивости подразумевается, что при некоторых критических значениях внешней продольной нагрузки возможно существование одновременно сразу нескольких форм равновесия. Например, из курса сопротивления материалов известно, что при приложении сжимающей силы величиной п EI/4L к свободному от закрепления концу прямолинейной стойки кроме тривиальной прямолинейной формы равновесия возникает и криволинейная. Причем при такой нагрузке устойчивой формой, т.е. той, которую примет стойка при всегда имеющих место на практике малых возмущениях, является вторая. Скачкообразный переход конструкции в новое равновесное состояние неизбежно приводит к изменению напряженно-деформированного состояния и может стать причиной серьезных аварий.

В конструкциях, подобных моноопоре, работающих в условиях продольно-поперечного изгиба, интенсивное изменение напряженно-деформированного состояния возникает при продольных силах, значения которых меньше, чем те, которые являются критическими с точки зрения статической устойчивости. Например, в разделе 4.4 показано, что если суммарная приведенная к верхнему концу моноопоры сила тяжести Р0 составляет 4/5 от критического значения, то напряжения в моноопоре способны возрастать пропорционально квадрату увеличения этой силы.

Такой же характер зависимости между напряжениями и величиной сил тяжести (но уже в области своих критических значений) отмечается и при эксплуатации моноопоры в проеме плавоснования. В результате на практике напряжения, превосходящие допустимые, возникают в моноопоре еще до потери устойчивости. Поэтому отдельную проверку моноопорного основания на устойчивость при наличии только продольной нагрузки, величина и направление которой не меняются в процессе деформации моноопоры, можно не производить.

Более существенное значение имеет решение вопроса об устойчивости моноопорного основания, находящегося под действием одновременно сил тяжести и технологической сжимающей силы. Технологическая сила является следящей. Ее направление связано с направлением оси верхнего сечения моноопоры, которое при изгибе меняется. Такой характер поведения нагрузки способен привести к особому виду потери устойчивости, когда устойчивое равновесное состояние моноопоры будет отсутствовать вообще. Моноопора в этом случае даже в отсутствие нагрузки, изменяющейся во времени, при любом малом возмущении перейдет от состояния покоя к состоянию движения с возрастающими амплитудами. Такой тип потери устойчивости называется динамическим.

Для установления критического значения комбинации продольных сил, приводящих к потере устойчивости подобного рода, необходимо исследовать движение моноопоры после некоторого начального возмущения, т.е. решить задачу устойчивости в динамической постановке. Если окажется, что возмущенное движение происходит в виде колебаний с возрастающими амплитудами или представляет собой не колебательный уход от состояния равновесия, то такое состояние неустойчиво. Следует отметить, что исследование устойчивости моноопоры в динамической постановке позволяет определить и величину нагрузки, приводящей к потере устойчивости статического типа, если для исследуемой системы такой тип может иметь место.

Для иллюстрации возможности потери устойчивости моноопорой по статическому и динамическому типу рассмотрим частный случай. Предположим, что моноопора установлена

идеально ,ертикально, эксплуатируется ,не пла,осно,ания, нагружена только силами тяжести Р1 центрально устано,лен- ных относительно ее оси буро,ых механизмо, и сжимающей технологической силой Р. Силами собст,енной тяжести моноопоры по сра,нению с силами тяжести буро,ых механизмо, и технологической для простоты изложения пренебрегаем (при малых ,ысотах моноопор такой подход допустим и при ,ыпол- нении практических расчето,).

Расчетная схема для этого случая предста,лена на рис. 4.5, где моноопора изображена , отклоненном состоянии после приложения к ней малого импульсного ,озмущения. Будем считать, что моноопора имеет постоянное по ,ысоте сечение. Тогда после ,озмущения ура,нение ее малых колебаний без учета сил сопроти,ления среды можно записать следующим образом:

[image]

 

 

[image]

Рис. 4.5. Расчетная схема к исследованию устойчивости моноопоры:

m и P1 - масса и сила тяжести платформы с буровыми механизмами; Р - технологическая сила; yL и 0l - перемещение и угол поворота верхнего сечения моноопоры; L - расчетная высота моноопоры; x и y - координаты произвольного сечения моноопоры

 

где yL и 0L - зависящие от времени перемещение и угол поворота верхнего сечения моноопоры соответственно.

Решение уравнения (4.99) будем искать в виде: y(i, t) = = y(x)elpt, yL(t) = yА0е1рЬ, 0L(t) = 0L0elpt, где р константа, подлежащая определению; l -мнимая единица. Если константа р действительна, то, следовательно, моноопора после возмущения будет совершать гармонические колебания с частотой р около прямолинейного начального положения. Так как на практике всегда присутствуют силы сопротивления среды, с течением времени эти колебания затухают. Следовательно, прямолинейное положение моноопоры устойчиво.

Если окажется, что величина р является комплексным числом, причем его мнимая часть отрицательна, то в выражении для y(i, t) в этом случае появляется экспоненциально возрастающий множитель. Это будет соответствовать возникновению колебаний моноопоры с возрастающими с течением времени размахами. В этом случае прямолинейная форма равновесия моноопоры устойчивой не является.

Введем обозначения

22 k = (P1 + P) /EI; n = P/EI. (4.100)

Рассматривая малые колебания моноопоры, можно считать, что ras0L = 1, sin0L = 0L. Тогда с учетом обозначений (4.100) и выбранного выше вида решений после несложных преобразований уравнение (4.99) можно переписать в виде:

d2y(x) +k2y(x) = k2yL0 - n20 L 0(L - x) + m(L - x)yL0p .(4.101) dx2 EI

Решением уравнения (4.101) является y = C1 cos kx + C2 sin kx + yL0 -

- n20L0(L - x) + m(L - x)yL0P2 (4 102)

k2 k2EI ' '

где C1 и C2 неизвестные константы.

Выражение (4.102) должно удовлетворять граничным условиям: при i = 0 у = 0 и dy/dx = 0; при i = L у = yL0 и dy / dx = 0L0. Таким образом для определения четырех заранее неизвестных величин C1, C2, yL0 и 0L0, содержащихся в решении (4.102), существует такое же количество условий. В развернутой форме эти условия имеют вид:

[image]

 

Система уравнений (4.103) является относительно неизвестных Ci, C2, yL0 и 0L0 линейной и однородной. Так как устойчивое прямолинейное состояние равновесия моноопоры нас не интересует, то этот тривиальный случай, которому соответствует решение C1 = C2 = yL0 = 0L0 = 0, из рассмотрения исключаем. Чтобы однородная система линейных алгебраических уравнений имела решение, отличное от тривиального, необходимо, чтобы был равен нулю определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных

[image]

Для выполнения условия (4.104) необходимо, чтобы выполнялось другое условие:

 

 

[image]

 

[image]

менатель m(sin kL - kL cos kL) выражения (4.105) положительны и частота р является вещественным числом. Поэтому, при свободном от нагрузки верхнем конце моноопоры ее колебания представляют собой устойчивый процесс. Исследуем устойчивость монопооры в нагруженном состоянии при различных сочетаниях значений сил Р и Р1.

  1. Если Р = 0 (моноопора нагружена только силой тяжести буровых механизмов Р1), то n2/k2 = 0 и частота р станет чисто мнимым числом при переходе параметра kL через значение я/2. Действительно, при дальнейшем увеличении этого параметра числитель выражения (4.105) становится отрицательным, а знаменатель остается положительным. Принимая во внимание первое из обозначений (4.100), можно заключить, что из условия kL = п/2 следует Р1 = п EI/4L . Таким образом, критическое значение силы тяжести буровых механизмов Р1, найденное при исследовании устойчивости моноопоры в динамической постановке, совпадает с эйлеровой критической нагрузкой для стойки, нагруженной сжимающей силой.

Переход собственной частоты р колебаний моноопоры из вещественной области в мнимую через ноль всегда означает, что потеря устойчивости произошла по статическому типу с переходом в новое равновесное положение. В рассмотренном случае моноопора вместо начальной прямолинейной скачкообразно займет новую криволинейную форму равновесия при выполнении условия kL = п/2.

  1. Если 0 < Р < Р1, то n2/k2 < 0,5 и потеря устойчивости также происходит по эйлеровому статическому типу разветвления форм равновесия при достижении критического значения комбинацией сил Р и Р1. Критическое значение параметра kL в этом случае также определяется из условия равенства нулю числителя выражения (4.105). С учетом обозначений (4.100) это условие можно записать в виде cos kL = -Р/Р1.

Как и следовало ожидать, с увеличением технологической силы критическое значение суммарной нагрузки возрастает, так как сила Р стремится вернуть моноопору к начальному прямолинейному состоянию. Например, при Р/Р1 = 0,5 имеем kL = 2п/3 и, следовательно, критическое значение нагрузки Р + Р1 = 4n2EI/9L , т.е. почти в 1,8 раза больше, чем при отсутствии силы Р.

Выражая силу Р через Р1, можно также сделать вывод, что введение в состав внешней нагрузки сжимающей технологической силы позволяет без потери устойчивости увеличить силу тяжести буровых механизмов. В случае, когда Р = 0,5Р1, имеем 1,5Р1 = 4n2EI/9L2. При этом критическое значение Р1 = = 8п2EI/27L , что на 18,5 % больше, чем для моноопоры, нагруженной только силой тяжести буровых механизмов. Следовательно, технологическая сила, не превышающая некоторого порогового значения, оказывает стабилизирующее действие на моноопору.

3. Если Р > Р1, то переход от вещественных собственных частот к чисто мнимым через значение р = 0 невозможен. Ни при каких значениях параметра kL числитель выражения (4.105) нулю не равен. Однако из этого не следует, что потеря устойчивости в подобном случае невозможна вообще.

С увеличением силы Р собственные частоты моноопоры растут и при выполнении условия

[image]

[image]

обращаются в бесконечность, так как обращается в ноль знаменатель выражения (4.105). При дальнейшем увеличении силы Р частоты становятся чисто мнимыми, так как знаменатель меняет знак. Наименьший корень уравнения (4.106) соответствует переходу от устойчивой прямолинейной формы равновесия к неустойчивой. Это происходит при достижении параметром kL значения 4,493. Поэтому критическое значение суммарной продольной нагрузки, при котором происходит динамическая потеря устойчивости, можно найти из выражения

Решить задачу о критическом значении комбинации сил с P и P1, если первая больше последней, в статической эйлеровой постановке не удается. Обусловлено это тем, что при применении статического метода рассматривают лишь возможные формы равновесия, а то, что исходная форма равновесия может стать неустойчивой, сменившись некоторой формой движения, не учитывается. При достижении суммарной продольной нагрузкой критического значения (4.107) не появляется новых альтернативных форм равновесия. Однако прямолинейная форма перестает быть устойчивой и переход к колебаниям с возрастающими амплитудами и разрушению неизбежен при сколь угодно малых возмущениях.

Отдельного рассмотрения требует случай нагружения моноопоры одновременно силой тяжести Р1 буровых механизмов и растягивающей технологической силой Р. С одной стороны, здесь технологическая сила оказывает благоприятное влияние на устойчивость моноопоры, так как дает положительную проекцию на вертикаль, частично или полностью компенсируя

сжимающее действие силы Р1. С другой стороны, технологическая сила Р способствует отклонению моноопоры от прямолинейного равновесного состояния, т.е. становится дестабилизирующим по отношению к устойчивости фактором, так как дает положительную проекцию и на ось Oy. Проведя рассуждения аналогично приведенным выше при выводе выражения (4.105), для случая растягивающей технологической силы получим:

    1. Если P < P1, то критическое значение нагрузки будет определяться из выражения coskL = Р/Р1, где k = [(Р1 - Р)/Е1] 1/2. Из этого результата следует, что направленная вверх технологическая сила оказывает негативное влияние на устойчивость моноопоры.

Например, при Р/Р1 = 0,5 имеем kL = п/3, откуда критическое значение нагрузки Р1 - Р = п EI/9L . Выражая силу Р через Р1, получаем Р1 = 2п EI/9L . Следовательно, критическое значение силы тяжести Р1 механизмов приблизительно на 11 % меньше, чем для моноопоры, нагруженной только силой тяжести механизмов.

    1. Если P > P1, то критическое значение нагрузки будет определяться из выражения chkL = Р/Р1, где k = = [(Р - Р1)/EI]-1/2. Анализ этого выражения позволяет сделать вывод о негативном влиянии технологической силы и в этом случае. Например, при Р/Р1 = 2 имеем kL « 1,32, откуда критическое значение нагрузки Р - Р1 = 1,74EI/L2. Выражая силу Р через Р1, получаем, что критическое значение силы тяжести Р1 механизмов в этом случае равно 1,74EI/L , что приблизительно на 30 % меньше, чем для моноопоры, нагруженной только силой тяжести механизмов.

Таким образом, если при расчете моноопоры оказывается, что ее частота близка нулю или устремляется в бесконечность, то это свидетельствует о близости режимов эксплуатации, в которых моноопорное основание способно потерять устойчивость. Проектирование моноопор на работу в этих условиях недопустимо.

Технологическая сила, направленная вниз, повышает собственную частоту моноопоры, эксплуатируемой вне плавоснования. Эта сила оказывает стабилизирующее влияние на устойчивость моноопоры. Сжимающая технологическая сила, которая направлена вниз и больше силы тяжести буровых механизмов, может привести к динамической потере устойчивости моноопоры.

Технологическая сила, направленная вверх, понижает собственную частоту моноопоры, эксплуатируемой вне плавоснования. Она всегда, независимо от ее величины, оказывает дестабилизирующее влияние на устойчивость моноопоры.

Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:2747 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:5572 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:2762 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Основные этапы образования и развития зе…

Образование планеты Земля и наиболее ранний «догеологический» этап её развития (4,6-4,0 млрд. лет назад). В настоящее время почти всеми признаётся, что Земля вместе с Солнцем и другими планетами образовалась из...

14-10-2010 Просмотров:20321 Геологическое картирование, структурная геология

Дополнительные формы и энантиоморфизм.

 Некоторые стереограммы, приведенные на рис. 3.37, свидетельствуют о том, что если для исходного полюса грани общей основной формы кристалла выбрать какое-либо иное положение, то оператор симметрии будет образовывать новые геометрические...

13-08-2010 Просмотров:4478 Генетическая минералогия

Способи й точність визначення площ земел…

Визначення площ земельних ділянок є одним з найважливіших видів геодезичних робіт для цілей земельного кадастру. Залежно від господарської значимості земельних ділянок, наявності планово-топографічного матеріалу, топографічних умов місцевості й необхідної точності застосовують...

30-05-2011 Просмотров:17891 Інженерна геодезія