Menu

Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин.

В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z,

u = f (x,y,z…). (5.5)

Продифференцируем функцию (5.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …. погрешностями Du, Dx, Dy, Dz, ….

[image]

Получили выражение случайной погрешности Du в зависимости от случайной комбинации погрешностей Dx, Dy, Dz, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений:

[image] (i = 1, 2, …, n)

Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n:

[image]

[image],

где квадратными скобками обозначены суммы.

Устремим число комбинаций в бесконечность (n ® ¥) и, воспользовавшись выражениями (5.4) и (5.3), получим: [image], [image], [image], [image], [image]. И окончательно

[image] (5.6)

Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности.

Частные случаи.

1. Функция u является суммой переменных x , y, z:

u = x + y + z.

В этом случае [image]=1, [image]=1, [image]=1. Следовательно

[image]=[image]+[image]+[image].

2. Функция u является разностью переменных x и y:

u = x - y.

В этом случае [image]=1, [image]=-1. Следовательно

[image]=[image]+[image].

3. Функция u имеет вид:

u = k× x,

где k – постоянный множитель. Теперь [image]= k, поэтому [image]= k2×[image] и

mu = k× mx.

4. Функция u является линейной функцией от x, y, z, …:

u = k1 x + k2 y + k3 z …,

где ki постоянные множители. Теперь частные производные равны [image]=k1, [image]= k2, [image]= k3. Поэтому

[image].

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения, вычисленного по горизонтальному расстоянию d=124,16 м и углу наклона n=2°16´, если md = 0,06 м, а mn = 1´.

Превышение вычисляют по формуле

h = d tgν.

Продифференцируем формулу по переменным d и n:

[image], [image].

Используя формулу общего вида (5.6) получим

[image]

Подставляя исходные данные, найдем

[image]

где 3438¢ - число минут в радиане. И окончательно mh=0,036 .м.

Пример 2. При геометрическом нивелировании (см. раздел 9.2) превышение вычисляют как разность отчетов по рейкам

h = a - b.

Отчеты берут с точностью ma = mb = 2 мм. Находим среднюю квадратическую погрешность превышения

[image]= 2,8 мм

Пример 3. Выведем формулу допустимой угловой невязки замкнутого теодолитного хода (см. раздел 9.4). Невязку вычисляют по формуле

fb = b1 + b2 + ¼+ bn - 180°(n - 2),

где bi – измеренные углы (i = 1, 2, ¼, n) и n – их число.

Невязка - результат погрешностей в углах bi. Поэтому средняя квадратическая погрешность невязки равна

mf = [image]=[image],

где m1 = m2 = ¼ = mn = m – средняя квадратическая погрешность измерения угла. Примем ее равной m = 0,5¢.

Допуском угловой невязки (fb)доп служит предельная погрешность (fb)пред=2mf. Получаем формулу

(fb)доп = 1¢[image].

Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:3252 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:6287 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:3373 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Талева система

Талева система служить для передавання тягового зусилля з барабана лебiдки на піднімальний гак, на якому пiднiмається вантаж, і призначена для зменшення тягового зусилля на рухомому кiнцi каната, що намотується на...

19-09-2011 Просмотров:7379 Підземний ремонт свердловин

Эколого-географический анализ реки Гува

ЭКОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕКИ ГУВА (ЮЖНЫЙ БЕРЕГ КРЫМА) НА ОСНОВЕ ПРОДОЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОРГАНИЗМОВ МАКРОЗООБЕНТОСА Изучение пространственного распределения биоты имеет большое значение в экологии рек. Знание закономерностей распределения организмов и его зависимости от...

30-05-2011 Просмотров:5424 География Крыма

Влияние мерзлых пород на применение геоф…

Наличие мерзлых пород в геологическом разрезе и большая изменчивость их свойств создает целый ряд характерных затруднений при выполнении геофизических работ (специфические условия заземления электродов, проведения взрывных работ, экранирующее влияние и...

27-09-2011 Просмотров:4332 Электрические и упругие свойства криогенных пород