Основные положения расчета устойчивости по круглоцилиндрическим поверхностям скольжения. Рассмотрим, например, случай плоской задачи для напорного массивного сооружения (рис. 7.7). Сделав естественное предположение, что область выпора начинается у верхового края сооружения, очертим ее радиусом г.

Для учета действия фильтрационных сил внутри выделенного массива грунта применим систему сил I**, приведенную в § 7.3. Поэтому в расчете будем принимать полный вес сооружения С?, удельный вес насыщенного водой грунта у_пас, а по всему контуру сегмента выпора кроме участка подошвы сооружения приложим граничные давления в воде р, у^.

Тогда на выделенный радиусом г массив грунта (рис. 7.7) будут действовать активные силы давления воды со стороны верхнего Е_вв и нижнего Е_вп бьефов, активное давление грунта Е_&ъ, нормальные
напряжения по подошве от действия вертикальных сил на сооружение, собственный вес насыщенного водой грунта Унас ^и граничные давления в воде рг и у1. Напряжения <2* и давления с небольшой погрешностью (при малом Ъ) можно свести к осредненным равномерно распределенным по площадкам Ь и Аз,.

В результате действия системы активных сил по круглоцилиндрической поверхности выпора возникнут реактивные действующие нормальные а и касательные т напряжения.

Все действующие на область выпора активные и реактивные силы должны быть взаимно уравновешены. Отсюда следует, что сумма моментов всех сил относительно центра окружности скольжения О должна быть равна нулю

Полученное выражение (7.20) является основным для определения к_а по круглоцилиндрическим поверхностям скольжения. Все величины, кроме 01, в нем известны, частично заданы (ф_ь с,) или приняты (г), а часть (Л4_акт) сравнительно легко подсчитывается исходя из той или иной схемы сооружения.

Для того чтобы определить ст^Дх;, рассмотрим действующие силы на выделенный вертикальный абсолютно жесткий грунтовой столбик шириной Ъ (рис. 7.8). Исходя из систем сил I (см. § 7.3), для учета действия фильтрационных сил по всей границе, кроме подошвы сооружения, к столбикам прикладывается граничное давление в поровой воде. Давление в воде по вертикальным граням столбика, так же как и по поверхности скольжения, определяется по результатам решения фильтрационной задачи. Равнодействующая давления воды по площадке АзI может быть разложена на горизонтальную и вертикальную составляющие (рис. 7.8), а по вертикальным боковым граням представлена в виде горизонтальных сил и №₂- Учитывая, что по площадке АзI принимается наличие предельного напряженного состояния, связь между т; _пр и ст_г определяется зависимостью Кулона. Силы взаимодействия скелета грунта по вертикальным граням с соседними столбиками могут быть представлены также в виде горизонтальных (Е_г и Е₂) и вертикальных (7\ и Т₂) составляющих их равнодействующих. В результате из всей системы сил, действующих на грунтовый столбик, неизвестными являются сила о^Аз^ и силы 7\, Т₂, Е_г и Е₂. Причем для последних также неизвестны точки их приложения к вертикальным граням элемента.

Вся система сил, действующих на скелет грунта столбика, должна быть взаимно уравновешена. Однако возможных в условиях рассматриваемой плоской задачи трех уравнений равновесия будет недостаточно для определения всех перечисленных выше неизвестных величин. Таким образом, в принятой постановке задача является статически неопределимой. Поэтому приходится вводить дополнительные физические представления о силах взаимодействия элементов (столбиков,) по вертикальным граням, сводящихся по существу к принятию определенных величин напряжений ст^Дз, и закономерности их распределения по поверхности скольжения. Предлагались самые различные схемы сил взаимодействия и использовались разные уравнения равновесия, что привело к многочисленным вариантам окончательного решения задач, т. е. приведения ее к статически определимой схеме. Некоторые из них рассматриваются ниже.

Формула К- Терцаги. Принимается, что грунтовая среда может быть представлена схемой, названной Н. М. Герсевановым гипотетическим грунтом, которая основана на предположении, что по вертикальным поверхностям отдельных столбиков касательные усилия, обусловленные взаимодействием соседних столбиков, отсутствуют, т. е. Т_г = Т₂ = 0. Кроме того, принимается менее существенное допущение, что силы Е_х и Е_г взаимно уравновешиваются.

В отношении сил давления воды можно было бы не принимать никаких допущений, так как они известны и равнодействующие их могут быть найдены по эпюрам давлений воды.

Однако, учитывая принятие весьма грубых допущений для сил взаимодействия элементов в способе К- Терцаги, считается, что силы Ш., и горизонтальная составляющая давления р_г Ах* взаимно уравновешены,

Можно показать, что это равносильно пренебрежению горизонтальными составляющими объемных фильтрационных сил при определении реактивных нормальных напряжений О*.

В результате подстановки (7.21) в (7.20) выражение для к₃, известное при р_ь = 0 как формула К- Терцаги, имеет вид

 

 Формула Г. Крея — В. А. Флорина. В этом случае принимается только основное допущение 7\ = Т₂ = 0 и все силы, действующие на вертикальный столбик (рис. 7.8), проектируются на вертикальную ось, т. е.

 Случай расчета устойчивости откоса. Для случая откоса, например, грунтовой плотины (рис. 7.9) предварительно необходимо произвести фильтрационные расчеты, определяющие положение кривой

депрессии и распределение давлений в поровой воде. Для учета действия фильтрационных сил грунт ниже кривой депрессии принимается с удельным весом у_нас, а по всему контуру призмы обрушения прикладываются граничные давления в воде (/?,), которые со стороны верхнего и нижнего бьефов (рис. 7.9) могут быть представлены в виде эпюр горизонтальных Е_вв и ^_вн и вертикальных давлений воды уЬ.1. Тогда в любой из зависимостей (7.22) или

(

Естественно, что при отсутствии фильтрационных сил ниже горизонта грунтовых вод везде нужно принимать у_взв и не учитывать в зависимостях (7.22), (7.24) и выражениях для М_акт граничные давления в воде (принимать р_и Е_в, уА_г равными нулю).

Случай двустороннего выпора. Этот случай нарушения устойчивости основания наблюдался при авариях морских оградительных сооружений, возведенных на илистых грунтах, а также при возведении насыпей и дамб на слабых основаниях.

В этом случае (рис. 7.10, а) поверхности скольжения принимаются в виде двух круглоцилиндрических кривых, пересекающихся на оси симметрии в точке А. Устойчивость основания может быть оценена по формулам (7.22) или (7.24), рассматривая только одну половину сооружения и его основания. Действие отрезанной половины заменим нормальными напряжениями (рис. 7.10, б), равнодействующие которых обозначим Е_а1, Е_а2, Е_а3. Эти давления можно определить по формуле (6.4) для случая активного давления грунта, например Е_а1 = = (-[взв А1/2)1§²(45° — ф_х/2) и т. д. В формулах (7.22) или (7.24) для схемы на рис. 7.10

В случае, если в основании возникает фильтрация, например» в результате консолидации (см. гл. 8), необходимо переходить на -с_нао и учет граничных давлений в воде.

О выполнении условий равновесия. Для любого статического расчета и, в частности, для рассматриваемых расчетов устойчивости является естественным требование удовлетворения полученной системы сил взаимодействия всем трем уравнениям равновесия. В способе

К- Терцаги для всей призмы в делом выполняется только одно условие равновесия (2/И = 0), а в способе Г. Крея обеспечивается выполнение двух уравнений равновесия (ИМ = 0 и 22 = 0). Это объясняется погрешностями в определении предельных реактивных напряжений О; И Тгпр по поверхности скольжения, вызванными принятыми допущениями о силах взаимодействия между элементарными столбиками .

Оценка вносимых этим обстоятельством ошибок была детально выполнена в работах Р. Р. Чугаева [41]. В качестве эталона было выбрано решение Д. Тейлора для однородного монолитного простейшего по форме отсека обрушения, находящегося только под действием собственного веса грунта и ограниченного круглоцилиндрической поверхностью, по которой возникает предельное напряженное состояние. Решение Д. Тейлора удовлетворяет всем трем уравнениям статики. Затем этот же отсек был разделен (расчленен) на отдельные монолитные столбики и произведены расчеты по формулам К- Терцаги и Г. Крея.

Результаты сопоставительных расчетов показали, что способ Г. Крея для расчлененного отсека дает всегда практически полностью совпадающий результат с методом монолитного отсека обрушения Д. Тейлора. Расчет по способу К- Терцаги дает для пологих откосов (1 : 2 и более пологих) заниженные коэффициенты запаса устойчивости, причем разница может достигать 10...20%. Для крутых откосов и при малых центральных углах поверхности сдвига формула Терцаги приводит к результатам, близким к решению Д. Тейлора и, следовательно, Г. Крея.

В результате сопоставления уравнения К- Терцаги с «точным» решением Д. Тейлора Р. Р. Чугаев предложил применить для пологих откосов способ весового давления Е. Д. Кадомского, который практически сводится к решению задачи по формуле К- Терцаги.

Таким образом, несмотря на некоторую погрешность, связанную с невыполнением всех условий равновесия, расчет по формуле Г. Крея приводит к результатам, совпадающим с более строгими решениями. К тому же расчет по ней обладает значительной простотой, что немаловажно для массовых расчетов, а учет неоднородности грунтов и любой конфигурации сооружения не представляет каких-либо трудностей. Все это объясняется тем, что при проектировании всех сил, действующих на элементарный столбик на вертикальную ось, отпадает необходимость в жестком ограничении сил взаимодействия между столбиками по их боковым поверхностям, характерным, например, для способа К- Терцаги. По этой же причине не вносится каких-либо погрешностей в граничные горизонтальные давления воды на столбик.

Формула К- Терцаги еще проще и многие десятилетия очень широко использовалась в Советском Союзе в проектной практике. К ней привязаны почти все имеющиеся нормируемые коэффициенты запаса,

величина которых является обобщением многолетнего опыта эксплуатации сооружений и их расчетного обоснования. Поэтому следует считать приемлемым для решения инженерных задач использование и формул К. Терцаги.

Поиск наиболее опасной поверхности скольжения. Все изложенное выше относится к определению коэффициента запаса устойчивости; по одной произвольно выбранной, заданной, в данном случае круглоцилиндрической, поверхности скольжения. В задачу полного решения задачи об устойчивости сооружения или откоса входит нахождение наиболее «опасной» поверхности скольжения, по которой коэффициент запаса минимальный. Он и является коэффициентом запаса устойчивости всего сооружения.

Рис. 7.11. Поиск минимального коэффициента устойчивости (а) и линии равных: коэффициентов устойчивости (б)

Для упорядочения поиска поверхности скольжения с наименьшим коэффициентом запаса можно воспользоваться следующим приемом. В окрестности предполагаемого центра искомой окружности проведем горизонтальную прямую а_ха_г (рис. 7.11) и определим коэффициенты запаса для нескольких окружностей с центрами 0_Ь 0₂, О₃, 0₄, расположенными на этой прямой. Отложим в этих центрах перпендикулярно прямой а_ха_х в некотором масштабе величины подсчитанных коэффициентов к₃₁, к₃₂, к_з3, к_з4.

Полученные точки соединим плавной кривой, а проведя к ней касательную, параллельную а_га_ъ получим точку касания, в которой коэффициент запаса достигает на этой прямой наименьшего значения (рис. 7.11, а).

Затем проведем через полученную точку вертикальную прямую Ь₁Ъ₁ и найдем коэффициенты запаса, соответствующие нескольким окружностям, центры которых лежат на этой вертикали. Построим кривую изменения коэффициентов устойчивости по вертикальной прямой Ь₁Ь₁, так же как и для а_га_ъ найдем точку с наименьшим коэффициентом запаса. При дальнейшем уточнении можно вычислить ко-

Наиболее опасную окружность определяют путем оптимизации коэффициента. Это сводится к машинному подбору сочетания этих параметров в неко^торой области грунта таким образом, чтобы функция кз (г, *о> г₀) имела в ней минимальное значение.

Перед началом пояска из общих представлений о возможных слабых областях массива грунта выбирают начальные параметры г(0)_> ^(0^ _г(0) и начальные шаги поиска (Дх₀, А^о я А г). Сначала меняется параметр г₀ с шагом ± Дг₀ при закрепленных хд°* и № Д° ^{тех П0}Р> пока не достигается минимум кз (например, в точке 3 на рис. 7.12)- Затем меняется параметр хд⁰^ с шагом ±Дх₀, пока не достигается минимум (например, в точке 8) ив ней меняется третий параметр г с шагом ±Д г до нахождения минимума (например, кривая 10).

Из этой точки снова двигаются с прежними шагами, меняя по очереди все параметры и делают новые циклы (точки 13, 16, 19), пока не произойдет остановка.

Стремление выполнить в схеме расчлененных отвердевших отсеков более полно все условия равновесия при произвольной форме поверхности сдвига привело к созданию ряда способов (К. Янбу, Н. Р. Моргенштерн и В. Е. Прайс, Л. Л. Можевитинов). Рассмотрим способ А. Л. Можевитинова, как наиболее общий и удобный для практических расчетов.

Как и ранее, рассматривается расчлененный отсек обрушения с недеформи- руемыми элементами—столбиками (рис.

при наличии предельного напряженного состояния по поверхности скольжения. Система сил, действующая на один элемент, принята такая же, как на рис. 7.8, но для удобства дальнейшего изложения часть сил сведена к равнодействующим.

На элемент (рис. 7.13) действуют: гйз — равнодействующая реактивных нормальных напряжений и предельных касательных напряжений за счет только составляющей, определяемой трением <т{§ф; сд.5 — то же, только за счет сцепления; дЛх — равнодействующая сил веса, сил взвешивания, фильтрационных или сейсмических сил и нагрузки на поверхности элемента; Е — сила взаимодействия между элементами и их компоненты Е_х и Е_г. Прочностные характеристики грунта ф и с в общем случае переменные по длине поверхности сдвига. Произвольное очертание поверхности сдвига задано, поэтому ее длина з и угол наклона каждого элементарного участка <1з к горизонту а известные функции абсциссы х.

Упрощенные способы учета действия фильтрационных сил. В ряде случаев предлагается к каждому отсеку обрушения прикладывать непосредственно фильтрационную силу Ф, т. е. вести расчет по схеме I (рис. 7.4). Сила Ф для каждого отсека определится приближенно как Ф = у_вН_ь1, где Ь и Н_ь — ширина и высота водонасыщенной части отсека; / — средний градиент напора на отдельных участках или по всей призме обрушения или выпора. Например, в случае откоса иногда принимают градиент I равным среднему уклону кривой депрессии, а фильтрационные силы имеющими такой наклон к горизонтали.

Приближенный, неполный учет действия фильтрационных сил в откосах иногда производится без непосредственного учета граничных давлений в воде, принимая, например, в способе круглоцилиндрических поверхностей скольжения при определении момента сил сопротивления сдвигу для грунта ниже кривой депрессии у_взв, а при определении момента активных сил для водонасыщенных грунтов выше горизонта воды в нижнем бьефе у_нас (ГНБ на рис. 7.9) и у_взв для ниже расположенных грунтов.

В способе наклонных сил А. Л. Можевитинова для случая плавно изменяющегося фильтрационного потока в откосе можно в ряде случаев допустить, что линии равных напоров вертикальны. При этом распределение давлений в воде по любой вертикали ниже кривой депрессии будет по гидростатическому закону, а фильтрационные силы будут горизонтальны. Тогда учет фильтрационных сил сводится к определению сил С_г, принимая у_взв, а в силы О_х вводится составляющая, равная фильтрационной силе 6_ХВ = ук_вАхАН/А х = у/г_вА Я, где Н_в— средняя для каждого отсека высота насыщенной водой призмы обрушения; АН — снижение кривой депрессии на каждом участке Ах (рис. 7.14)

Единственным преимуществом этих приближенных приемов является отсутствие необходимости в предварительном построении гидродинамической сетки движения воды, для них достаточно иметь только кривую депрессии.

Учет сейсмических сил. Во всех методах, основанных на расчленении призмы обрушения отсеками, учет этих сил производится очень приближенно и заключается в статическом приложении к каждому отсеку обрушения или выпора осредненных сил инерции (5,,), пропорциональных массе отсека и сейсмическому ускорению, т. е. = = а_п дЬ, где дЬ — вес отсека с учетом пригрузок; а_п<С I — коэффициент, определяемый сейсмичностью района и особенностями колеба

ния сооружения [15]. В простейшем случае а_п = г\_Сейсы/§, где 'Псейсм — ускорение сейсмических колебаний; § — ускорение свободного падения. Сейсмические силы могут быть любого направления и поэтому выбирается наиболее невыгодное направление их действия» во многих случаях горизонтальное. При наклоне сейсмической силы к горизонту на угол а_с ее составляющие будут 3_Хц = cos.

Учет пространственной устойчивости. Все описанные выше способы расчета относятся к случаю плоской задачи, т. е. принимается, что по боковым частям единичной по фронту сооружения призмы оползания или выпора не возникает сил сопротивления. В действительности обрушения откосов носят обычно локальный характер и имеют в плане вид замкнутого контура, так называемого «цирка оползания». Учет пространствен- ности оползания для не меняющих по длине (фронту) сооружения условий приводит к увеличению коэффициентов устойчивости и поэтому в этих случаях обычно используют решения плоской задачи, идущие в «запас устойчивости».

В случае ограниченных по фронту сооружений и ярко выраженной невозможности смещений, близких к условиям плоской задачи, например, грунтовых плотин в узких скальных коньонах (рис. 7.15), необходим переход на оценку пространственной устойчивости сооружений, приводящей к повышению коэффициента устойчивости и, как следствие, более экономичным решениям.

Разработке методов оценки пространственной устойчивости посвящены работы Т. В. Матрашилиной (1971), И. М. Васильева (1974),

В. И. Хорькова (1979), В. Н. Бухарцева (1980) и др. При этом предлагаются различные формы поверхности обрушения, например параболоиды вращения (рис. 7.15) или шаровые поверхности. Предлагается учитывать несимметричность парабол в поперечном сечении призмы обрушения (сечение 2—2 на рис. 7.15) и другие приемы, обеспечивающие лучшее вписывание смещаемого объема в контуры коньо- на. Далее, как и в условиях плоской задачи, вся область смещения разделяется на недеформируемые, но уже пространственные отсеки (рис. 7.15) и принимаются допущения о их взаимодействии, подобные рассмотренным выше. Расчетные зависимости несколько усложняются и существенно повышается многодельность расчета, требующая, как правило, даже в простейших случаях использования машинного счета.

В заключение следует подчеркнуть, что, как уже отмечалось выше, основным затруднением в решении задачи является определение напряжений о по предлагаемой поверхности обрушения в состоянии

предельного равновесия. Все принимаемые допущения о силах взаимодействия между отсеками сводятся к принятию той или другой закономерности распределения а. Существенным недостатком всех способов является отсутствие учета деформируемости грунта, которая особенно в случае неоднородных грунтовых массивов может оказывать существенное влияние на распределение напряжений. Например, в плотинах с глинистыми ядрами может наблюдаться их «зависание» на боковых призмах (см. рис. 3.5) и др. Имеются попытки определять а из других расчетных схем (теория упругости, смешанная задача и др.) и использовать их непосредственно в рассмотренных выше способах расчета как заданные и совпадающие с теми, которые возникнут в предельном состоянии. Конечно, это в принципе неверно, но позволяет хотя бы грубо оценить влияние деформационной неоднородности среды на устойчивость массива. Учитывая яркую абстрактность рассмотренных инженерных приемов расчета устойчивости грунтовой среды в виде отдельных недеформируемых «столбов», эти допущения становятся малосущественными.