Menu

Расчет моноопоры, находящейся в проеме плавоснования

Уже отмечалось, что для случаев эксплуатации моноопоры по схемам I и II даже при отсутствии технологической силы подобрать простое выражение, достаточно хорошо описывающее форму изогнутой оси в нагруженном состоянии, как это было сделано в разделе 4.4. для схемы III, не удается. Большого объема вычислений требует для схем I и II и решение задачи, основанное на идее приведения распределенных сил тяжести моноопоры к ее верхнему концу. Кроме того, для этих схем сложно выбрать корректно и обоснованно величину коэффициента приведения а. Поэтому приближенные решения для случаев эксплуатации моноопоры по схемам I и II часто будут иметь либо громоздкий вид, либо неудовлетворительную точность. И в том и в другом случаях ценность таких решений в инженерной практике незначительна.

Для получения результатов, наиболее точно отражающих влияние на напряженное состояние моноопоры технологической силы Р, эксцентриситета расположения механизмов е, установочного угла наклона ф моноопоры и смещения а1 центра масс механизмов в процессе выполнения технологических операций, расчеты моноопор, эксплуатируемых по любым схемам, целесообразно выполнять численно. Численные методы универсальны и в отличие от приближенных не требуют предварительной аппроксимации формы изогнутой оси моноопоры функцией, которая хорошо описывает ее действительную форму, или использования каких либо других специальных приемов. Кроме того, они применимы к моноопорам с поперечным сечением, изменяющимся по ее высоте по любому закону.

Алгоритмы численных методов решения краевых задач (задач с условиями на границах) достаточно широко и полно освещены в литературе. С примерами их использования в области расчетов стержней можно ознакомиться, например, в монографии [23].

Одним из распространенных численных методов является метод начальных параметров. С учетом современного развития электронно-вычислительной техники его можно признать наиболее эффективным инструментом для расчета моноопорных оснований. Покажем, как по этому методу может быть произведен расчет напряженно-деформированного состояния моноопоры, эксплуатирующейся по схеме I.

Статический расчет. Система уравнений равновесия моноопоры, эксплуатирующейся по схеме I, имеет вид

где верхний индекс т - знак транспонирования.

Тогда в матричной форме система уравнений равновесия (4.108) может быть представлена как

[image]

где В1 - матрица (4x4) коэффициентов при элементах вектора состояния; В2 - вектор свободных членов (не зависящих от элементов вектора состояния)

[image]

 

Напомним, что величина R1 для каждого значения координаты 1 может быть найдена из независимого от элементов вектора состояния уравнения (4.11). Поэтому она включена не в вектор состояния, а в матрицу коэффициентов B1 и вектор свободных членов B2.

[image]

Для численных методов удобнее векторное представление системы уравнений. Составим матрицу-столбец (вектор состояния) из неизвестных:

[image]

В элементе 1/EIi(x) матрицы B1 учтено, что моноопора в общем случае может иметь переменное, в том числе ступенчато изменяющееся по высоте, сечение. Для каждой координаты 1 значения 1/EIi(1), R1(1) и матрица В1 в целом могут быть найдены независимо от значений элементов вектора состояния Z(1).

Значения всех четырех элементов вектора состояния Z(i) ни на одном конце опоры заранее не известны. Поэтому непосредственное интегрирование матричного уравнения (4.110) невозможно. Решение системы четырех линейных неоднородных дифференциальных уравнений в общем случае представляет собой сумму четырех линейно независимых решений Zj(x)(j = 1, 2, 3, 4) однородной системы уравнений

[image]

и одного частного решения z0(i) неоднородной системы

(4.110), т. е. имеет вид j[image]

где Cj - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий; j = 1, 2, 3, 4.

Метод начальных параметров позволяет сократить количество вычисляемых решений однородного уравнения. Так как два из граничных условий заданы в начале интервала интегрирования: у = 0 и 0 = 0 при 1 = 0, из четырех постоянных Cj независимыми оказываются лишь две. Решение поэтому можно представить в виде

[image]

где начальные значения векторов решений z1(x), z2(x), z0(x) задают так, чтобы выражение (4.115) удовлетворяло граничным условиям на нижнем конце моноопоры при 1 = 0 при любых значениях постоянных С1 и С2. Например, можно положить: z1(0) = (0, 0, 1, 0)т; z2(0) = (0, 0, 0, 1)т; z0(0) = = (0, 0, 0, 0)т.

Проинтегрировав численно уравнения (4.110) и (4.113) от 1 = 0 до 1 = L при выбранных таким образом начальных векторах, находим значения векторов z0(x), z1(x), z2(x) на верхнем конце моноопоры. Интегрирование проводят любым удобным пользователю методом, например, получившим широкое распространение в инженерных расчетах методом Рунге - Кутта. На каждом шаге интегрирования по 1 векторы z0(x), z1(x), z2(x) запоминаются. Используя граничные условия на верхнем конце, определяем константы С1 и С2. Согласно (4.15) при 1 = L

M = Мт « Р11(0 + ф) + e]; R2 « Р(0 + ф) или в матричной форме

[image]

 

где верхние индексы соот,етст,уют номерам элементов в столбцах вектора Z(x), а величина Р вводится со знаком "+", если технологическая сила направлена вверх, и со знаком "-", если она направлена вниз.

Согласно (4.115) выражение (4.116) можно представить в развернутом виде

[image]

[image]

Поскольку элементы векторов z0(L), zl(L), z2(L) после интегрирования становятся известными, нахождение д,ух постоянных С1 и С2 из системы двух линейных алгебраических уравнений (4.117) не представляет труда. После их определения элементы вектора состояния Z(1) могут быть вычислены по формуле (4.115) , любом сечении по высоте моноопоры, где были запомнены векторы z0(x), zl(x), z2(x).

Кажется, однако, не понятным, как вычислить элементы векторо, z0(L), Zj(L), z2(L). Ведь процесс интегрирования от начальных значений этих векторов требует заранее знать ве личину реакции плавоснования Рп, так как она входит в матрицу В2. Решается эта проблема следующим образом.

Зададимся некоторым произвольным значением Рп, заведомо большим, чем действительная реакция плавоснования. После подстановки Рп , матрицу В2 проводим интегрирование век торного уравнения (4.110) от 1 = 0 до 1 = L. В результате определяем элементы векторов z0(L), zl(L) и z2(L). Используя граничные условия на верхнем конце моноопоры, находим константы Сj и С2. По формуле (4.115) рассчитываем первый элемент вектора состояния при 1 = 1п:

Этот элемент представляет собой перемещение сечения моноопоры на уровне палубы плавоснования.

Очевидно, что выбранная нами завышенная реакция плав-основания приведет к выполнению неравенства Z (1п) < ^п(шах).

Действительная реакция Рп на давление моноопоры при 1 = 1п должна обеспечивать условие у = уп(тах) (см. раздел 4.1). Поэтому уменьшаем значение Рп и повторяем описанные выше операции, пока не достигнем того, чтобы Z (1п) стало больше Уп(тах). Это означает, что при заданной реакции Рп плавоснование под давлением моноопоры перемещается на величину, большую нормативной.

Далее можно начать двигаться в обратную сторону со сколь угодно малым шагом и приблизиться к значению Рп, которое обеспечивает выполнение условия Z (1п) = Уп(тах). Подбор величины Рп, при котором с требуемой точностью выполняется это условие, легко запрограммировать. Если в сечении при 1 = = 1п уже при первом выборе величины Рп в результате решения имеем Z (1п) > Уп(тах), то, следовательно, выбранное значение реакции плавоснования недостаточно и необходимо задаться значением Рп, большим первоначального.

Может оказаться, что при положительных значениях Рп (когда направление реакции противоположно направлению перемещения моноопоры на уровне палубы) невозможно выполнить условие: у = уп(тах) при 1 = 1п. Это означает, что при расчетных гидрологических условиях и технологических силах моноопора заданной геометрии не достигает контакта со стенкой проема плавоснования. В этом случае необходимо перейти к рассмотрению решения задачи по схеме III, т.е. принять Рп = 0.

После нахождения координат опасных сечений в моноопоре расчет статических напряжений выполняется по формуле (4.46). На основе сведений о найденном действительном значении реакции Рп можно сделать вывод о силе давления моноопоры на плавоснование. Эта информация полезна также для оценки эффективности и надежности якорной системы плавоснования, используемой для его позиционирования на точке бурения.

Динамический расчет и проверка устойчивости. Метод начальных параметров позволяет произвести и динамический расчет моноопоры, в частности получить значение первой собственной частоты системы моноопора - буровые механизмы. Оценив значение этой частоты, можно сделать вывод о возможности возникновения резонансных режимов и устойчивости моноопоры. Алгоритм этого решения может быть следующим.

В разделе 4.5 показано, что на величину первой собственной частоты р1 колебаний моноопоры с буровыми механизмами сопротивление со стороны морской среды существенного влия

ния не оказывает. Это позволяет при нахождении значения частоты собственных колебаний исключить силу сопротивления из рассмотрения и считать, что р1 « р, где р - собственная частота моноопоры с буровыми механизмами, рассчитываемая без учета сопротивления среды.

Согласно допущениям, принятым при выводе уравнений собственных колебаний моноопоры, эксплуатируемой в проеме плавоснования, в сечении на уровне его палубы колебательная составляющая перемещения упк = 0. Физически это условие соответствует наличию в сечении при 1 = 1п абсолютно жесткой опоры. Приближенно такую опору можно рассматривать как упругую с большой жесткостью С (большой по сравнению с изгибной жесткостью моноопоры). Поэтому неизвестную колебательную составляющую Рпк реакции плавоснования, входящую в уравнение (4.29) собственных колебаний моноопоры, можно представить в виде Рпк = Спк упк, где Спк - выбираемая нами большая величина.

В результате такого представления, практически не нарушив условия упк = 0, мы исключили из решения неизвестную величину Рпк. Тогда для схемы I система уравнений, описывающих малые свободные колебания моноопоры с буровыми механизмами относительно состояния равновесия, получит вид

[image]

 

Решение системы (4.118) ищется в виде: yK = yK (x)eipt; 0К = = 0K(x)evt; MK = MK(x)eipt; R2k = R2r(x)el1}t, где i - мнимая единица. Подставив эти выражения в соответствующие уравнения (4.118), получаем [image]

[image]

 

Как и для статического расчета составим вектор состояния:

ZK(x) = [yK(x), 9K(x), MK(x), R2K(x)]'. (4.120)

Матрица коэффициенто, В при элементах этого вектора в системе (4.119) имеет вид

[image]

 

Система уравнений (4.119) в отличие от системы уравнений (4.108) не содержит свободных не связанных с элементами вектора состояния членов. Поэтому вектор свободных членов для системы уравнений (4.119) нулевой, и в матричной форме данная система может быть представлена как

[image]

Следуя рассуждениям, приведенным выше при изложении алгоритма метода начальных параметров применительно к статическому расчету, представим

[image]

 

где С и С - постоянные интегрирования; ,екторы z1K(1) и z2K(1) - линейно независимые решения системы однородного матричного уравнения (4.122).

Так как граничные условия на нижнем конце моноопоры для статического и динамического расчетов одинаковы, то за начальные значения векторов решений можно, как и выше, принять:

[image]

Граничные условия на верхнем конце моноопоры для процесса ее свободных колебаний относительно состояния равновесия сформулированы в разделе 4.3. Пренебрегая инерционным моментом платформы с буровыми механизмами, для изгибающего момента и поперечной силы здесь имеем: MK(L) = = Ра10к и R2k(L) = Рс0к - m д2ук/dt2. С учетом вида решения R2k = R2K(x)eipt условие для поперечной силы можем переписать как R2k(L) = Рс0к + mp2ук(L). В матричной форме граничные условия на верхнем конце моноопоры приобретают вид

[image]

Согласно (4.123) в развернутом виде из (4.124) можно получить

 

[image]

Верхние индексы при ZK(1), z1K(1) и z2K(1) в уравнениях

  1. и (4.125), как и для статического расчета соответствуют номерам элементов в столбцах этих векторов.

Чтобы система двух однородных линейных уравнений

  1. имела нетривиальное решение, т.е. чтобы С^ и С2К не были тождественно равны нулю, должен быть равен нулю определитель, т.е.

[image]

Уравнение (4.127) линейно относительно p2, поэтому определить из него собственную частоту колебаний моноопоры несложно. Однако, как и при статическом расчете, возникает проблема определения элементов 21k(L) и 22k(L). Процесс интегрирования от начальных значений этих векторов требует заранее знать величину p2, так как она входит в матрицу В.

Решается эта проблема следующим образом. Зададимся некоторым значением p*, заведомо меньшим, чем действительная первая собственная частота системы моноопора - буровые механизмы. Значения p* можно выбрать, руководствуясь опытом и результатами приближенных решений, или произвольно сколь угодно малой величиной.

После подстановки p* в матрицу В проводим интегрирование векторного уравнения (4.122) от х = 0 до х = L. В результате определяем элементы векторов 21k(L) и 22k(L), которые являются элементами определителя D*. Так как p* не является собственной частотой системы моноопора - буровые механизмы, то этот определитель нулю не равен. Но для решения задачи значение имеет только его знак.

Давая величине p* небольшие приращения и повторяя описанные выше операции, достигнем смены знака определителя D*. Это свидетельствует о том, что значение определителя прошло через ноль, а частота - через свое действительное значение. Последний интервал приращения p * можно пройти с любым сколь угодно малым шагом и получить действительное значение частоты p с необходимой степенью точности. В дальнейшем на основании сравнения этого значения с частотой волновой нагрузки можно оценить возможность возникновения резонансных режимов эксплуатации моноопоры.

Отметим, что поскольку масса моноопоры распределена по ее высоте, то имеется бесконечное число собственных частот колебаний системы моноопора - буровые механизмы. Поэтому, если продолжать описанные выше операции и давать приращения уже найденной частоте р, то можно достичь еще одного изменения знака определителя D*. Это будет соответствовать нахождению второй частоты собственных колебаний системы и т.д. Однако практическое значение для расчетов имеет только величина первой собственной частоты.

Поскольку приведенный алгоритм решения позволяет на выходе получить значения собственной частоты моноопоры, то он может быть использован и для исследования ее устойчивости.

Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:2595 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:5217 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:2475 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Площадные излияния на платформах

Одной из сложнейших задач структурной вулканологии является изучение механизма излияний, охвативших за несколько десятков миллионов лет обширные территории континентов, ныне частично погруженные на дно океанов. Последнее обстоятельство особенно усложняет поставленную...

19-08-2010 Просмотров:5371 Структурная вулканология

Планові геодезичні мережі

Початком єдиного відліку планових координат у РФ служить центр круглого залу Пулковської обсерваторії в Санкт-Петербурзі. Державні планові геодезичні мережі розділяють на чотири класи. Сучасна схема побудови державних планових геодезичних мереж методом...

30-05-2011 Просмотров:4244 Інженерна геодезія

Cтруктуры лавовых потоков и экструзий

Основные структуры лав и экструзий по Ю.Ир. Половинкиной подразделяются на четыре группы. 1. Микролитовые структуры: а) порфировые; б) офировые: ортоофировая, фонолитовая, микропойкилитовая, трахитовая, пилотакситовая, микролитовая, интерсертальная, спилитовая, гиалопилитовая, псевдосферолитовая, вариолитовая. 2. Криптокристаллические...

14-10-2010 Просмотров:4466 Геологическое картирование, структурная геология