Практически ни одно измерение не может быть произведено абсолютно точно; результаты геодезических измерений всегда будут содержать погрешности, т. е. являться приближенными значениями, которые используются как аргументы при вычислениях по соответствующим формулам.

Результат х вычислений есть численное значение некоторой функции

х=Щ(аъ a2, . . . , ап), (7.2)

переменные которой — непосредственно измеренные величины и некоторые математические величины, часто не являющиеся точными значениями. Поэтому переменные величины, содержащие погрешности Ааъ Да2, . . . , Аа„, вносят в результат х некоторую погрешность Ах.

Для определения погрешности функции следует пользоваться формулой

где t = l,2..., я.

При математической обработке результатов натурных измерений необходимо учитывать точность, которая задана в каждом конкретном случае, руководствуясь при этом следующими правилами:

При равенстве частных производных Да, Д а2 А а„

даг да, дап

на погрешность результата х будет большее влияние оказывать тот член, у которого абсолютная погрешность А а наибольшая, а если абсолютные погрешности Ааг = Ла2 = • • • = Да,,, то в этом случае наибольшую погрешность в результат будет вносить тот член функции (формула 7.2), частная производная которого имеет наибольшее значение.

Следовательно, окончательный результат значения функции не может иметь погрешность меньшую, чем ее аргументы, за некоторым исключением. Так, например, средняя арифметическая из нескольких результатов (аргументов) непосредственно измеренных величин будет точнее результата одного такого измерения.

Пользуясь принципом разных влияний, получение результата вычислений с наперед заданной точностью следует производить по формуле

Aax — да2 ^dx ~ = (7 5)

1) в записи приближенного числа с помощью десятичной дроби оставлять только верные знаки;

2) при сложении или вычитании приближенных чисел в результате необходимо сохранять столько десятичных знаков, сколько их дано в компоненте с наименьшим числом этих знаков;

3) при умножении и делении приближенных чисел в результате (произведении или частном) следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет заданное с наименьшим числом значащих цифр;

4) при возведении приближенных чисел в степень в результате необходимо оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени, при этом последняя цифра, особенно при возведении, например в куб, будет все же менее точна, чем последняя цифра основания;

5) при извлечении квадратного или кубического корня из приближенного числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число; при этом последняя цифра квадратного и особенно кубического корня будет более надежной, чем последняя цифра подкоренного числа;

6) вычисление однозначных выражений по логарифмам следует производить по таблицам с числом десятичных знаков на один больше наименьшего числа значащих цифр, содержащихся в приближенном данном; в окончательном результате последнюю значащую цифру следует отбросить;

7) при определении значения угла по таблицам натуральных значений тригонометрических функций следует пользоваться той из них, которая быстрее изменяется при небольшом изменении угла;

8) при интерполировании по таблицам следует сохранять только одну запасную цифру. В этом случае погрешность результата не превысит 0,5 единицы последнего знака числа, данного в таблицах;

9) если для получения искомой величины необходимо выполнить несколько разных действий, то в этом случае во всех промежуточных результатах следует оставлять только на одну цифру больше, чем это указано в правилах 2—4, отбрасывая эту лишнюю цифру только в окончательном результате;

10) если некоторые данные, участвующие в вычислении, имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычислении) или значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень или извлечении корня), чем другие, то их предварительно округляют, сохраняя лишь одну лишнюю цифру против числа, заданного с наименьшим числом значащих цифр;

11) для получения результата с п цифрами исходные данные для вычисления необходимо брать с таким числом цифр, которое дают, согласно правилам 2—5, п + 1 цифр результата.

Для оценки точности результатов многократных непосредственных равноточных измерений одной и той же величины следует пол ьзоваться фор мулами:

V п V [к — 1 V^л

Дпр = 2т, (7.7)

где /п и М — средние квадратические погрешности отдельного результата (/г) измерения и арифметической середины); п— число измерений; А и и— погрешности измерений соответственно истинные и вероятнейшие (v = I — L; L = ^/l "" ^l'² ' ' Апр — предельная погрешность измерения.

Если одна и та же величина, например угол, расстояние или превышение, равноточно измерялась два раза, то для определения средней квадратической погрешности результата следует пользоваться формулами:

т — л / J- или т— /\ ———, (7.8)

V 2га V 2 (га — 1) ^V

где б,: = U—1\, а ы = б, —Аб; /,, h, ... , ln и l[ i2, ... , /'„ — результаты соответственно первых и вторых измерений).

Для вычислении арифметической середины L0 вероятиейшего значения, получаемого из результатов многократных непосредственных иеравпоточных измерений V одной и той же величины, и для оценки ее точности следует пользоваться формулами

и = (7.9)

Vip]

где р и М о — средние квадратические погрешности соответственно единицы веса и вероятиейшего значения; здесь вес результата ие-

ц² , 1

равноточных измерении р — ~—, а при а = 1 веср = —.

гаг² гаг-⁵

Для определения средних квадратических погрешностей результатов, являющихся функциями измеренных величин [формула (7.2)], следует пользоваться формулами, приведенными в табл. 7.1.

При решении треугольников, прямой и обратной геодезических задач на плоскости следует руководствоваться примерами, приведенными в табл. 7.2—7.4, порядок действий в которых указан в скобках.