О расчетных моделях. При разработке методов расчета грунтовой среды, а следовательно, математического описания наблюдаемых в ней процессов приходится прибегать к схематизации рассматриваемых явлений и свойств грунтов. При этом в зависимости от поставленной задачи выделяют наиболее важные для нее факторы, а все другие не учитывают. В результате создается расчетная модель или расчетная схема грунта, частично отражающая действительную природу рассматриваемого процесса в грунте. По мере развития экспериментальных исследований процессов, происходящих в грунтах, возникают новые расчетные модели, более полно учитывающие особенности описываемых явлений и, как правило, в математическом и расчетном отношении более сложные. Однако более простые, более «грубые» или менее полные модели не теряют практического смысла, но происходит неизбежное сужение области их практического использования. Область применимости каждой модели оценивается на основании практического опыта и особенно экспериментов.

Создание и развитие расчетных моделей грунта может служить примером, конечно, очень частным, для иллюстрации основного положения теории познания: «0/п живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности-».

Модели дискретной среды и модель сплошной среды. Грунт является дискретной средой, состоящей из отдельных частиц, и поэтому весьма близкой к действительности является модель, описывающая
взаимодействие отдельных частиц с учетом связей между ними. В общем виде такая модель настолько сложна, что практически не может быть реализована и применяются значительные упрощения. Простейшим примером модели дискретной среды может быть система взаимодействующих шаров или цилиндров (плоская задача) (рис. 2.1). Учитывая многообразие частиц по размерам, форме и взаимному расположению, для такой среды могут применяться положения теории вероятности и математической статистики. Первые шаги в этом направлении были сделаны в 1934 г.

Г. И. Покровским, а наиболее пол*

ные исследования ряда дискретных («зернистых») моделей выполнены И. И. Кандауровым [12]. В ряде случаев эти модели применялись к крупнообломочным грунтам, например, при рассмотрении напряженного состояния каменно-набросных плотин.

Основой современной механики грунтов является модель сплошной среды. В ней не рассматривается поведение отдельной частицы, а принимается, что составляющие грунта заполняют рассматриваемую часть пространства непрерывно. Непрерывность (континуум) строения такого идеализированного тела сохраняется в процессе его деформирования.

Такая концепция сплошности вещества является основным постулатом механики сплошной среды и обеспечивает единый подход к изучению поведения твердых тел, жидкостей и газов. Применение модели сплошной среды к грунтам позволило широко использовать имеющиеся решения теории упругости, теории пластичности, гидромеханики и других разделов механики сплошных сред.

Применяя к грунтовой среде концепцию сплошности, необходимо выполнять требование, чтобы принимаемые в качестве малых элементы

среды имели размеры много меньше наименьших характерных размеров исследуемого грунтового массива, т. е.

У Д17"«/г, Ь,..., (2.1)

где А У — элементарный, бесконечно малый объем грунта; /г — высота откоса; Ь — ширина подошвы сооружения и др. В то же время для исключения влияния особенностей отдельной конкретной частицы грунта необходимо обеспечить условие

Т^АУ'» 4_пах, (2.2)

где с1_тах — диаметр максимальной по крупности частицы грунта.

Во всех случаях реальных сооружений, песчаных, а тем более глинистых грунтов, условия (2.2) и особенно (2.1) бесспорно выполняются. Достаточно заметить, что в 1 см³ среднезернистого песка содержится несколько тысяч частиц. Определенную осторожность в использовании модели сплошной среды следует проявлять в случае крупнообломочных грунтов, например каменной наброски, и малых по своим характерным размерам сооружениях.

Модели двух- и трехкомпонентной грунтовой сред. При полном заполнении пор водой или относительно малом содержании газа

применяют расчетную модель сплошного двухкомпонентного грунта, состоящего из твердых частиц и заполняющей его поры воды.

Более общей моделью является расчетная модель трехкомпонентной среды, учитывающая влияние защемленного газа.

В многокомпонентных моделях каждой фазе (компоненте) придают свои расчетные свойства и обязательно учитывают взаимодействие -фаз, например силу взвешивания (архимедову силу) или при движении воды фильтрационные силы и др.

При этом не должно возникать впечатления об учете дискретности среды, наоборот, в этом случае все фазы (компоненты) рассматривают непрерывным образом «размазанными» по среде. Такая идеализация грунта позволяет в настоящее время успешно решать сложные задачи для описания поведения многокомпонентной грунтовой среды.

Расчетная модель линейно деформируемой среды (модель среды теории упругости). В основу модели среды теории упругости положен закон Гука — линейная зависимость между напряжениями и деформациями и, что весьма существенно, представления об идеальной упругости материала — полное восстановление деформаций при снятии нагрузки, т. е. в условиях одноосного простого сжатия или растяжения (рис. 2.2, а) а = Ее, где е — осевая деформация, Е — модуль упругости. Для грунтов, наоборот, характерно наличие преимущественно остаточных деформаций. Поэтому модель среды теории упругости может применяться только на этапе однократного загружения грунтовой среды без последующей разгрузки, что для большинства практических строительных случаев статических нагрузок и происходит в действительности. Учитывая, что из закона Гука в этом случае используется только линейность зависимости между напряжениями и деформациями, Н. М. Герсеванов предложил для грунтов вместо

термина «среда теории упругости» применять более корректный в этом случае термин линейно деформируемая среда. Следует отметить, что эта рекомендация на практике не всегда выполняется и для линейно деформируемой области грунтовой среды часто в литературе и особенно докладах применяется термин «область среды теории упругости» или для удобства и сокращения «упругая» область, хотя упругость среды при этом не рассматривается. Учитывая это, в дальнейшем будем применять и ту, и другую терминологию.

Рис. 2.3. Элементы среды (а) внутри (б) и на Рис. 2.4. Грани элемен- внешних границах (в) та до и после деформа

ций среды

 

При использовании модели линейно деформируемой среды любая -задача сводится к решению системы уравнений, в состав которой, как известно из курса теории упругости, входят статические уравнения, геометрические соотношения и физические уравнения.

В случае плоской задачи уравнения равновесия (статические уравнения) бесконечно малого элемента (рис. 2.3, б) среды (рис. 2.3, а) имеют вид

(2.3)

где о_х, ст_г, х_хг, х_гх — нормальные и касательные напряжения по граням йх, йг элемента среды; X и 7. — составляющие объемных сил (например, собственного веса грунта).

Геометрические уравнения (соотношения), связывающие линейные (е) и угловые (у) деформации со смещениями ((У, (рис. 2.4), в общем случае являются нелинейными, например:
и т. д., а геометрические соотношения для плоской задачи принять в виде

ои д\у ви . д№ _т ..

г_х = — ; = — ; Тх_г = 1 • (2.4)

дх дг дг дх

Физические уравнения характеризуют зависимости между напряжениями и деформациями и принимаются в виде соотношения обобщенного закона Гука:

^Е* = (1 — ^²) ~ V (1 + V) о₂ | ;

(1 ^,'²) ^аг V (1 + V) а_х ]; ^_хг=Ш±±^_хх, (2.5)

где V — коэффициент Пуассона.

Таким образом, в общем случае для плоской задачи из восьми уравнений (2.3) — (2.5) определяются неизвестные три компоненты напряжений (сг_ж, а_г, 1_хг), три компоненты деформаций (е_х, е_г, у_хг) и две компоненты перемещений (V, №). Для условий пространственной задачи таких уравнений и неизвестных будет 15.

Помимо перечисленных имеются еще уравнения совместности (неразрывности) деформации, которые используют вместо геометрических уравнений (2.4), либо привлекают в роли контрольных соотношений проверки условия, что среда после ее нагружения остается сплошной. Иначе говоря, деформации элементарных прямоугольников, на которые до приложения нагрузки можно мысленно разделить среду (см. рис. 2.3), должны быть после приложения нагрузки совместными (см. рис. 2.4), т. е. такими, при которых не нарушается сплошность среды (не образуется щелей между гранями элементов).

Уравнения неразрывности для плоской задачи имеют вид

д²*х | д~^гг _ д² Тдгг 12 0\

дг² дх² дхдг ' '

Используя физические уравнения (2.5), уравнение (2.6) может быть записано через напряжения в виде уравнения совместности Бельт- рами—Митчеля:

д^г д²

где у² — оператор Лапласа у² 1 .

дх² дг²

Само решение задачи теории упругости производится тремя основными методами: напряжений (сил), перемещений и смешанным. В частности, при решении плоской задачи методом сил система уравнений линейно деформируемого тела состоит из двух уравнений равновесия (2.3) и уравнения совместности (2.7) с тремя неизвестными (ст*,

<^2> Т-жг)-

Помимо уравнений равновесия и совместности напряжения и перемещения среды должны удовлетворять соответствующим для каждого частного случая граничным условиям, т. е. принимать на границе среды

_ д*<р , _п .

(2-8)

где Р), 0₂ — главные напряжения; а_с = с/1§ф; с — сцепление; — угол внутреннего трения.

Если первые два уравнения являются, как и ранее, уравнениями равновесия среды, то третье (2. 10) уравнение предельного равновесия определяет все особенности модели. Уравнение (2.10), как будет подробнее показано далее в § 2.3, является одной из форм уравнения Кулона х = ст!§ср -[- с, выраженного через главные напряжения. Кроме того, конечно, ставятся соответствующие принятой модели и

конкретными условиями задачи граничные условия (см. гл. 9).

В модели среды теории предельного равновесия принимается положение, что во всех точках земляной среды возникает начало состояния предельного равновесия, начало развития пластических деформаций, сдвига или нарушения прочности скелета грунта. Особенность модели можно проиллюстрировать соответствующим ей графиком на рис. 2.2, б одноосного напряженно деформированного состояния, где о_Пр —предельное, разрушающее напряжение. Следует отметить, что в модели среды теории предельного равновесия рассматривается только достижение в любой точке предельного состояния (например, <у_1пр на рис. 2.2, б) без каких-либо предварительных деформаций и без рассмотрения последующего возможного течения среды и ее деформаций, т. е. можно сказать, что эта модель бездеформа- ционная.

Расчетная модель упругопластической среды (смешанная модель теории линейно деформируемой среды и среды теории предельного равновесия). Эта расчетная модель является синтезом двух ранее рассмотренных и предполагает наличие в грунтовой среде как области среды теории линейно деформируемого тела, так и области состояния предельного равновесия (рис. 2.5). Определение напряженного состояния грунтовой среды в таких условиях относится к области так называемых смешанных задач теории упругости и теории предельного равновесия, а система уравнений, описывающих напряженное состояние такой среды, объединяя предыдущие (2.3), (2.7) и (2.10), имеет вид:

Уравнения равновесия (2.3) должны выполняться по всей грунтовой среде, уравнения совместности (2.7) — только в упругой области, а

уравнения (2.10)—только в области предельного равновесия. На границе двух сред и на внешних границах должны удовлетворяться соответствующие граничные условия. Такая, безусловно, более широкая модель грунтовой среды может быть также проиллюстрирована на примере одноосного сжатия (см. рис. 2.2, г). В этом случае после начального этапа линейных деформаций образец грунта переходит при (т_ПР в предельное состояние.

Добавляя уравнения, характеризующие деформации среды в пластической области, получим модель идеально упругопластической среды, примером которой может быть тот же случай одноосного сжатия, но с характером деформаций, показанным на рис. 2.2, д.

Если упругие деформации не учитываются, имеем случай модели жесткопластического тела, одноосное сжатие которого характеризуется графиком на рис. 2.2, в.

Выбор основных расчетных моделей и некоторые другие модели. Описанные выше модели грунтовой среды можно назвать основными в механике грунтов и наиболее широко применяемыми при решении прикладных инженерных задач.

Расчетные модели линейно деформируемой среды и среды теории предельного равновесия являются предельными, отражающими крайние возможные состояния грунтовой среды, так как одна из них основана на допущении, что ни в одной точке грунтовой среды нет предельного напряженного состояния, а другая, наоборот, на предположении, что оно имеет место во всех точках грунтовой среды.

Предельность этих двух крайне противоположных моделей можно проиллюстрировать на примере оценки по этим моделям осадки сооружения (рис. 2.6). В случае модели линейно деформируемой среды можно получить только прямую (1) при любых нагрузках (д), а в модели теории предельного равновесия практически только величину предельной нагрузки (т. е. точку <7_ПР на оси нагрузок д).

Однако решения конкретных задач на основе этих моделей разработаны и наиболее широко применяются в проектной практике, являются основой современных строительных норм и правил проектирования сооружений (СНиП). К тому же решения сравнительно просты, а благодаря наличию многочисленных таблиц или графиков доступны любому проектировщику. Поэтому весьма важно оценить область применимости каждой из этих крайне противоположных моделей и возможность их использования.

В общем случае можно уверенно утверждать, что чем меньше области предельного напряженного состояния, тем более обоснованно применение решений теории линейно деформируемой среды (решения теории упругости). В случае, например, основания (см. рис. 2.5) это
тем увереннее, чем меньше нагрузка на сооружение <7, больше его ширина Ъ и глубина заложения фундамента к, выше характеристики, прочности грунта ср и с. Некоторые численные критерии применимости решений теории упругости разработаны и приводятся ниже в § 3.4.

Здесь следует отмстить, что в истории развития механики грунтов был важный период, когда в основном работами Н. П. Пузыревского и Н. М. Герсеванова, а затем В. А. Флорина в острых дискуссиях была показана допустимость применения к грунтам решений теории упругости, и, что особенно существенно, обоснованы границы применения к грунтам этой расчетной модели. Все это вызвало последующее широкое использование для грунтов уже имевшегося мощного расчетного аппарата механики сплошных сред.

Хотя постановка смешанной задачи теории упругости и теории пластичности известна сравнительно давно, ее практическое использование и внедрение в проектную практику наблюдается только в последние годы. Это вызвано появлением более мощных ЭВМ и использованием в механике грунтов весьма эффективных способов численного решения задач механики сплошных сред — метода конечных разностей и метода конечных элементов (МКЭ). Модель упругопластического тела позволяет получить решения для любого случая развития областей предельного равновесия, с постепенным переходом от чисто «упругого» решения к предельному состоянию. Например, для сооружения (см. рис. 2.6) можно получить практически всю кривую связи осадка—нагрузка (2), естественно обобщающую обе предельные модели. В результате эта модель в значительно большей мере отражает физическую природу явлений и приближает данные расчета к результатам наблюдений и экспериментов.

В связи с развитием решений смешанной задачи может возникнуть мысль отказаться от применения предельных моделей, которые являются ее частными случаями. Для инженерной практики это будет нерационально и неэкономично. Везде, где это обоснованно и может считаться допустимым с достаточным для практических целей приближением, следует использовать предельные модели как более простые, доступные и, как следствие, требующие меньших затрат расчетного труда и квалификации проектировщиков.

Следует подчеркнуть, что нет «плохих» моделей, а есть «плохое» — неправильное их использование за пределами границ их применимости. Более общие и сложные модели позволяют обоснованно оценивать эти границы и даже в некоторых случаях их расширить. Так, например, анализ расчетных данных об осадках сооружений на песчаных грунтах по модели смешанной задачи теории упругости и теории предельного равновесия показал, что границы применимости решений, основанных на теории линейно деформируемой среды, значительно шире, чем это представлялось ранее и предусмотрено СНиПом (см. § 5.6). в?-'

В последние десятилетия идет интенсивная разработка других моделей грунта, отражающих ряд важных физических и даже физикохимических процессов, протекающих в грунтах. Одним из путей приближения к действительности является использование моделей не-
ляется развитие моделей, учитывающих изменение напряженного состояния и раз- витие деформаций в грунте во времени (реологические модели грунта), в частности процессы ползучести скелета грунта и релаксации напряжений.

линейно-упругой среды (см. рис. 2.2, е). Следует, однако, отметить, что при небольшом диапазоне изменения напряжений, являющегося характерным для массового строительства, результаты их использования близки к расчетам по модели линейно деформируемой среды, а при больших нагрузках сближаются с решениями упругопласти- ческих задач. При необходимости возможен учет неоднородности строения природной грунтовой среды и анизотропии свойств грунтов. Не менее существенным яв-

В описанных моделях, как линейно, так и нелинейно деформируемых тел предполагается идеальная упругость среды, т. е. полная обратимость деформаций при восстановлении ранее действовавших напряжений.

Для возможности учета наблюдаемой во многих практических случаях переменности нагрузок и сложного нагружения среды в последние годы интенсивно развиваются модели грунта, учитывающие его ярко выраженные остаточные деформации. Предполагаются как линейные, так и нелинейные закономерности деформируемости грунта на участках его разгрузки (рис. 2.7), не совпадающих с участками нагружения.

Для слабых сильно сжимаемых, например, илистых или лёссовых просадочных замачиваемых грунтов становится иногда неоправданной принимаемая в модели сплошных сред гипотеза малых деформаций

1. . В этом случае возникает необходимость в рассмотрении модели не только физически нелинейно деформируемой, но и геометрически нелинейной среды. Решения задач при этом чрезвычайно осложняются.

Для современного и особенно будущего развития механики грунтов характерно, что основные проблемы возникают не в части математического решения сложных задач, что в принципе доступно даже современным ЭВМ, не в разработке моделей, которых предложено много и весьма сложных, учитывающих многочисленные факторы, а в выборе этих моделей и достоверном определении входящих в них расчетных характеристик грунта, что достижимо только при полном и весьма критическом понимании современных возможностей расчетной модели, производственного лабораторного эксперимента и полевых исследований.