Изгибаемые фундаментные части сооружений широко применяют в гидротехнике, промышленном и гражданском строительстве (рис. 4.2).

Рассмотрим случай плоской задачи (рис. 4.3), т. е. вырезанный участок — полосу шириной Ь или 6=1, полагая, что деформации в направлении оси у равны нулю.

В основу большинства решений принимают два существенных допущения:

• 

  При деформации основания и сооружения (полосы) нет отрыва полосы от основания, т. е. не образуется щели между полосой и основанием. Тогда по всей длине полосы

где УР Лх) — прогиб полосы; УР₀(х) — осадка (прогиб) основания.

• Допустима гипотеза плоских сечений, т. е. высота сечения полосы Н настолько мала по сравнению с ее длиной 2а (рис. 4.3), что при изгибе полосы ее сечения везде остаются плоскими.

Тогда, как известно, уравнение оси изогнутой полосы можно представить с учетом (4.1) как 0№"(х) — М(х), либо, учитывая, что

——- = —- = <7 (х) = / (х — <р (х), ах ах

в виде

 где Б — цилиндрическая жесткость; /(х) — интенсивность внешней заданной нагрузки; ф(х) — интенсивность реакции основания, все на единицу длины.

Напомним, что О = Е_а]_п1( 1 — м„), где Е_а — модуль упругости материала полосы, ^_п — момент инерции поперечного сечения полосы; V_п — коэффициент Пуассона.

Как можно заметить, неизвестными величинами в уравнении (4.2) являются две IV(х) и ф(х), т. е. прогиб и реакция по подошве полосы. Таким образом, уравнение (4.2), в котором учтено условие (4.1), недостаточно для решения задачи. Необходимое введение дополнительных физических представлений, которые в зависимости от их характера и приводят к рассмотренным ниже двум принципиально противоположным способам.

Способ коэффициента постели. Для получения недостающей зависимости принимается существенное допущение: осадка XV(х) прямо пропорционально величине приложенной силе или, точнее, интенсивности нагрузки ср(х) в этой точке. Иными словами, осадка происходит только в месте приложения силы, а в соседних сколь угодно близко отстоящих точках поверхности основания равна нулю (рис. 4.4, а). Иногда такое основание представляют механической моделью в виде отдельных пружин (рис. 4.4, б).

Это допущение может быть записано в виде

<? (х) = ЪкЧР (х), (4.3)

где Ъ — ширина полосы; к — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом постели.

Если принять Ь = 1 и прогиб Щх) = 1, то ф(х) = к, т. е. коэффициент постели численно равен напряжению, которое следует приложить к основанию, чтобы получить осадку, равную единице. Из выражения (4.3) коэффициент постели имеет размерность МПа/см.

Совместно решая систему уравнений (4.2) и(4.3), получим уравнение изогнутой оси полосы на основании, соответствующем модели коэффициента постели в виде

^у (х) + ЬШ (х) = / (х) или №^1у (х) + 4а⁴№ (х) = Р (х), (4.4)

где а = и Р (х) = ~ / (х).

Величина а имеет размерность 1/см или 1/м. Ширина полосы Ъ обычно принимается равной 1.

Таким образом, решение задачи сводится к отысканию решения линейного неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющего соответствующим каждому частному случаю заданным граничным условиям.

Таким образом, жесткость или гибкость полосы определяется не только собственной жесткостью, характеризуемой Е_П, ч_п, /, ^_п или к, а в значительной мере соотношением характеристик деформируемости основания и балочной плиты, в основном отношением Е₀ к Е_п.

В качестве примера на рис. 4.9 приведены функции распределения нормальных контактных напряжений ср(С) от равномерно распределенной нагрузки на балки с различными показателями жесткости к_ж. Для перехода к напряжениям все ординаты эпюр должны быть умножены на д. Как можно заметить, с увеличением гибкости балки (увеличением к_т) эпюра контактных напряжений выравнивается, приближаясь к ф(С) = 1 или <7(&_ж^>-оо). Характерным для решений на основе модели линейно деформируемого тела (теории упругости) является существенное развитие краевых напряжений, причем тем большее, чем меньше к_ж (увеличение жесткости балки).

Существенное изменение характера эпюр контактных напряжений также может вызывать наличие жесткого подстилающего слоя. Случай абсолютно жесткого подстилающего слоя, т. е. когда его можно принять несжимаемым по отношению к сжимаемости вышележащих
грунтов, рассмотрен в работах О. Я. Шехтер, С. С. Давыдова, Н. К. Самарина, Г. В. Крашенинниковой и др. Имеются таблицы для расчета балок на упругом основании конечной толщины [16]. Влияние уменьшения мощности сжимаемого слоя на распределение контактных напряжений аналогично влиянию увеличения гибкости балки, показанному на рис. 4.9, т. е. с приближением абсолютно несжимаемого подстилающего слоя к подошве полосы, загруженной равномерно распределенной нагрузкой. Это приводит к существенному снижению моментов, в особенности по середине полосы, и, как следствие, к более экономичному конструктивному решению.

В заключение следует отметить, что задача определения контактных напряжений в принципе не является отдельной, а входит в состав общей задачи об определении напряжений в грунтах при различного рода нагрузках и граничных условиях, в частности на контакте с сооружением, фундаментная часть которого также может рассматриваться как деформируемый или недеформируемый элемент основания. В результате может быть получена общая картина напряженно-деформированного состояния системы фундамент — основание и, даже больше того, системы: надземная часть сооружения—фундамент-—основание. Тогда из полученных в результате решения задачи напряжений для всех областей при необходимости могут быть отдельно выделены только контактные напряжения, но при таком «сквозном» решении задачи особой необходимости в этом не будет. Сами по себе контактные напряжения интереса не представляют, в настоящее время они необходимы для последующей отдельной оценки прочности и деформируемости либо основания, либо самого сооружения. При единой оценке напряженно-деформированного состояния всей системы сооружение — основание это будет выполняться в результате решения самой задачи. Однако такой постепенно развивающийся в последние годы подход еще далек от широкого практического использования в проектной практике, но за ним будущее.

Области применения решений способами коэффициента постели и теории упругости. Область применимости этих двух крайне противоположных способов решения задач о контактных напряжениях можно оценить из соответствия натурным условиям принятых в них допущений.

Общее допущение о применимости гипотезы плоских сечений вполне приемлемо при высоте балки, меньшей */₄ или ¹/₅ длины балки. К тому же при большей высоте балка становится настолько жесткой по сравнению с деформируемостью основания, что ее уже следует рассматривать как абсолютно жесткую. Это соответствует случаям, когда при расчете способом коэффициента постели приведенная длина балки а/ С 0,8, а в случае применения решений теории упругости параметр жесткости балки к_ж < 1 или к_ж < 0,25.

Допущение о равенстве прогибов балки осадкам основания, т. е. что отсутствует отрыв — отставание балки от основания, не всегда соответствует действительности. Например, в случае гибкой длинной балки загрузка ее сосредоточенной силой может вызвать отрыв от основания ее концов. Так как в расчетных схемах принимается, что такой отрыв невозможен, то при решении в соответствующих местах основания получаются растягивающие напряжения, как, например, в рассмотренном ранее случае бесконечно длинной балки на рис. 4.5. Это противоречит действительности, так как даже связанные грунты не могут воспринимать существенные растягивающие напряжения. Однако в области, примыкающей к точке приложения силы, это не вносит существенных искажений в величины прогибов изгибающих моментов и перерезывающих сил. В обычных достаточно жестких конструкциях расчетные зоны растяжения отсутствуют или очень малы и поэтому ими можно пренебречь.

Основным, определяющим область применимости, допущением является принятый крайне противоположный характер деформаций основания. По способу коэффициента постели осадка возникает только в месте приложения силы (см. рис. 4.4), а при использовании решений теории упругости распространение осадки происходит на бесконечно большое расстояние от места приложения силы. Так, например, в случае равномерно распределенной нагрузки на основание в виде модели среды коэффициента постели осадка основания будет полностью подобна нагрузке (рис. 4.10, а), а в случае модели линейно деформируемой среды прогиб основания получается наибольшим в середине площади нагружения и бесконечно далеко распространяется в стороны (рис. 4.10, б).

В общем случае как первое, так и второе допущения не соответствуют данным натурных наблюдений. Осадки поверхности грунта в достаточно плотных и особенно глинистых грунтах, обладающих связностью, распространяются в стороны от сооружения, но конечно, не так интенсивно, как в случае применения модели теории упругости. По способу коэффициента постели получается, что возведение соседних близко расположенных сооружений никак не влияет на рассчитываемое способом коэффициента постели сооружение, не вызывает у него никаких дополнительных напряжений и осадок. Также получается, что засыпка пазух камеры шлюза (см. рис. 4.2, б) может быть учтена в расчете балки только в виде горизонтальной составляющей,
действующей на стенки камеры, а вертикальная составляющая никак не влияет на напряжения по подошве днища, рассчитанного способом коэффициента постели. Наоборот, в случае применения формул теории упругости влияние этих сил существенно преувеличивается.

Гипотеза коэффициента постели идеально соответствует случаям, когда в качестве основания используется вода. Действительно, в случае понтонного моста (рис. 4.11, а) давление воды на днище каждого понтона будет, как это следует из закона Архимеда, пропорционально

Рис. 4.10. Характер осадки основания при расчете по способу коэффициента постели (а) и методом теории упругости (б)

нагрузке, передающейся на каждый понтон, и его погружению (осадке) в воду. Этим же будет определяться давление в какой-либо точке нижней поверхности плавающего ледяного поля (рис. 4.11, б). Знаменитая «Дорога жизни», проложенная во время блокады Ленинграда по льду Ладожского озера, рассчитывалась на нагрузки от грузовиков и танков способом коэффициента постели.

Таким образом, способ коэффициента постели тем лучше соответствует действительности, чем больше свойства грунтов основания приближаются к свойствам воды, т. е. чем меньше сопротивление грунта сдвигу. Характер деформаций основания по способу коэффициента постели тем ближе к действительному, чем больше области предельного напряженного состояния, образующиеся под краями сооружения. Следовательно, применение способа коэффициента постели имеет тем больше оснований, чем «слабее» грунт — меньше его угол внутреннего трения и особенно связность, меньше глубина заложения и ширина сооружения, больше нагрузка на основание. Область применимости способа коэффициента постели — обратная условиям применимости к грунтам решений теории упругости. Важно отметить, что нельзя противопоставлять эти два крайне противоположных по физике явлений метода. Каждый из них имеет свою область применения и там, где применим один, никак не допустим другой.

В последние годы интенсивно развиваются методы расчета балок и плит, основанные на модели смешанной задачи теорий упругости и пластичности, а также на применении нелинейных законов связей напряжений и деформаций грунта. Такие модели уже обладают зна
чительно большей гибкостью по сравнению с рассмотренными двумя крайними предельными моделями. Кроме того, весьма существен учет жесткости верхнего строения сооружения, связей между колоннами и нелинейности работы самого материала конструкции. Они перераспределяют внешние нагрузки и, взаимодействуя с фундаментной плитой или балкой, приводят к существенному изменению в плите или балке моментов и перерезывающих сил, обычно уменьшая их и приводя к более экономичному решению. Таким образом, только начинают развиваться методы расчета (В. И. Соломин) всей сложной пространственной системы сооружение — основание в нелинейной или упруго пластической постановке, как для материала сооружения, так и для грунтов основания, а в ряде случаев с учетом реологических свойств материалов и процессов консолидации грунтов (А. Л. Голь- дин). Конечно, такой путь является очень сложным, возможным только с применением наиболее мощных ЭВМ и при достоверном определении многочисленных в этом случае расчетных характеристик грунта и материала сооружения. Практически подобные решения в ближайшие годы будут использоваться только для весьма ответственных и уникальных сооружений, но значение этих исследований очень важно для оценки границ применимости и возможных погрешностей более простых моделей и расчетных схем, в частности и описанных в этой главе.