Menu

Определение напряжений от внешних заданных нагрузок на основе модели линейно деформируемого тела

В тех случаях, когда области предельного напряженного состояния невелики по сравнению с размерами сооружения, допустимо, как указывалось выше (см. §2.1), применять для определения напряженного состояния основания соответствующие решения теории упругости (модели линейно деформируемого тела). Изложение методов получения этих решений входит в задачу курса теории упругости. Поэтому ниже приводится в основном перечень наиболее широко применяемых решений и только в отдельных случаях конечные результаты решений.

2Р х22 2Р г3 2Р хг2

0Х = —; аг = — ; хт2 = — . (3.4)

 

Плоская задача. Случай вертикальной сосредоточенной силы Р в условиях плоской задачи соответствует схема ряда сил Р, приложенных по направлению оси у (рис. 3.6) и распространяющихся в бесконечность. Решение для этого случая однородной, изотропной, среды было получено в 1892 г. Фламаном (задача Фламана). Как показано в курсах теории упругости, принимая для рассматриваемого случая функцию напряжений ф в виде

Р X

Ф = — х агс!§ —,

получаем из выражений (2.9) без учета действия объемных сил

Выражения для вертикальных перемещений точек поверхности (г = 0) имеют вид

где V — коэффициент Пуассона; Е — модуль деформации; С — произвольная постоянная. Следует отметить особенность этого решения

И7(Д)0) = -^-Ц^-Р1п \х\+С, (3.5)

тс Е

[image][image]

ТС г

теории упругости, что при х-*~ 0 вертикальные перемещения Щл:, 0)->-оо.

Наиболее часто встречающийся в расчетной практике случай равномерно распределенной полосовой нагрузки д (рис. 3.7) решается путем представления распределенной нагрузки элементарными сосредоточенными силами, равными дй?, и замены х на х—? в выражениях (3.4). Тогда напряжения в точке (х, г) от полосовой нагрузки на участке (—а, +а) будут равны (Г. В. Колосов):

Рис. 3.6. Сосредоточенная сила в условиях плоской задачи (задача Фламана)

[image][image]

На рис. 3.8, а—в показаны линии равных напряжений сгг, ах и тжг. Характерно для решений теории упругости, что все линии равных напряжений сходятся в краевых точках эпюры нагрузки ц. На рис. 3.9 даны эпюры напряжений ст* в различных вертикальных и горизонтальных сечениях основания. Как вытекает из принятых граничных условий, все напряжения равны нулю на свободной поверхности и в бесконечности, что приводит по решениям теории упругости к значительному распространению ощутимых напряжений в массиве основания.

6)

Рис. 3.8. Линии равных напряжений в случае распределенной полосовой нагрузки

 

Рис. 3.7. Распределенная полосовая нагрузка

[image]

Величины главных напряжений в точке (х, г) были получены $

торым из точки (х, г) видна вся ширина полосы загружения. Биссектриса угла видимости является главной площадкой, по направлению которой действует а4. На рис. 3.10 для иллюстрации характера напряженного состояния показаны эллипсы нормальных напряжений.

Аналогично приведенному случаю равномерно распределенной полосовой нагрузки (рис. 3.11,6) получены решения для треугольной нагрузки (рис. 3.11, в) (Д. Е. Польшин, 1933 г.). Учитывая линейность задачи, решение для трапецеидальной нагрузки (рис. 3.11, д) можно получить, суммируя решения для прямоугольной и треугольной полосовых нагрузок (рис. 3.11, г).

Так же как для случая вертикальной сосредоточенной силы (рис. 3,11, а), получены напряжения для горизонтальной сосредоточенной силы, приложенной к поверхности основания (рис. 3.11, е),

и, как следствие, решения для равномерно распределенной горизонтальной нагрузки (рис. 3.11, яс), треугольной горизонтальной нагрузки (рис. 3.11, з) и распределенной по трапецеидальному закону (рис. 3.11, и). Раскладывая на вертикальную и горизонтальную составляющие и суммируя напряжения, решается задача в случае такого же распределения наклонных сил (рис. 3.11, к). Используя принципы наложения, можно составить любую необходимую комбинацию из этих нагрузок, собранных на рис. 3.11.[image][image][image]

Как можно заметить, все решения теории упругости для определения напряжений в условиях плоской задачи не зависят от свойств грунтов основания, являются функцией только координат точки, ширины полосы и пропорциональны интенсивности нагрузки. Поэтому они легко табулируются, определяя напряжения от нагрузки <7 = 1 для безразмерных координат х!а и г/а или х/Ь и г/Ъ, где ширина полосы Ь = 2а. В результате получают таблицы напряжений <УХ, аг и хх1 от нагрузок, равных 1, которые иногда обозначают Кх, К2, Кхг. Тогда напряжения от действующих нагрузки <7 определяются как <зх = КхЯ\ = КхЯ и тхг = ~КХгЯ- Для равномерно распределенной полосовой нагрузки величины напряжений Кх, Кхх от <7 = 1

в безразмерных координатах приведены в табл. 3.1. Таблицы для других видов нагрузок, приведенных на рис. 3.11, можно найти в справочниках по гидротехнике или основаниям и фундаментам, книгах [34, 361 и СНиПах.

В случае любого более сложного закона распределения напряжений по ширине полосы ее можно заменить простейшими треугольниками и прямоугольниками, либо разделить на отдельные вертикальные полоски, заменив их затем соответствующими сосредоточенными силами Ри Р2, ..., Рг (рис. 3.12). Определяя в точке А напряжения от каждой силы Р в отдельности по формулам (3.4) или соответствующим им таблицам и затем суммируя их, получим напряжения в точке А от всей нагрузки. Например, учитывая, что в зависимости (3.4) Р = Vх2 + г2, суммарные напряжения аг,А = 0,64 г^Рг/Р*.

Аналогичным путем определяют напряжения и при любом распределении по полосе горизонтальной нагрузки.

Пространственная задача. Напряжения от сосредоточенной силы, приложенной к поверхности однородного изотропного полупространства в виде

(3.8)

[image]

хуг = (- ЗР/2*) (*/г25); т„ = (- ЗР/2*) (хг26),

где 7?2 = х2 + у2 + г2.[image]

Сумма главных напряжений в любой точке основания равна

(3.9)

0 = ог + ау + а2 = — (1 — V) -5-

ТС /<•*

а выражение для вертикальных перемещений имеет вид

[image]

(3.10)

Как можно заметить, особенностью решений пространственной задачи является то, что в формулы (3.8) входит коэффициент Пуассона (V), т. е. напряжения ах, ау, хху зависят от соотношения между продольными и поперечными деформациями для данного грунта. Вертикальные сжимающие напряжения о2, также как и в задаче Фламана, не зависят от расчетных характеристик и одинаковы для всех линейно деформируемых тел.

Для точек полупространства (задача Буссннеска), расположенных вдоль оси г, формула (3.8) для определения аг приобретает вид

[image]

 

(3.11)

т. е. в условиях пространственной задачи напряжения естественно рассеиваются значительно более интенсивно, чем в условиях плоской задачи.

Случай загрузки прямоугольной площади поверхности основания равномерно распределенной нагрузкой был рассмотрен А. Лявом (1929 г., только сг2) и В. Г. Короткиным (1938). Напряжения получены из решения для сосредоточенной силы (3.8), заменяя в нем силу Р на и интегрируя в пределах от —а до +а и от —/ до +/

(рис. 3.14). Например, интеграл для определения напряжений ог имеет вид

+а +1

[image]

 

 

В частности, в результате интегрирования наряжения сг для точек, расположенных на глубине г на прямой, проходящей через одну из угловых точек, определяют по формуле

[image]

(3.12)

 Рис. 3.14. Равномерно распределенная нагрузка по площади прямоугольника

Напряжения для точек, расположенных на вертикали, проходящей через центр площади загружения о^, получаются равными учетве-

[image]

Рис. 3.15. Схема определения напряжений способом угловой точки

 [image]

ренным значениям напряжений ст* в соответствующих точках, расположенных на удвоенной глубине на вертикалях, проходящих через углы площади загружения, т. е.

о«/2 = 4аУ. (3.13)

Формулу для напряжений а2 в любой точке основания приводить не будем из-за ее громоздкости, она занимает по сравнению с формулой (3.12) в четыре раза больше строчек, хотя общий вид их одинаковый. Для напряжений ох, ау, хух, также записываемых в виде громоздких формул, характерно наличие множителя (1—2V), т. е. влияние деформационных свойств среды.

Для удобства составления вспомогательных таблиц, обозначая п = На и т = г/2 а, формулу (3.12) можно представить в виде

[image]

.(3.14)

 

В табл. 3.2 приведены значения напряжений о* при <7=1, обозначенные К1 для различных значений т и п. Напряжения а2 от нагрузки <7! в угловой точке на глубине г — 2ат будут аг = К1 <71.

В результате составления таблиц для а* или сг$, имеющихся во всех учебниках, справочниках и СНиПах, вместо того, чтобы вычислять напряжения сгг по общим формулам задачи, удобно в практических расчетах применять способ угловых точек.

Если необходимо определить напряжения в точке на прямой, не проходящей через одну из угловых точек, то, как показано на рис. 3.15, а, необходимо разделить прямоугольную площадь загру- жения аЪсй на четыре прямоугольника: окат, отЬе, окйп и оесп. Затем определить напряжения в точке о (х, у, г) от загрузки каждого прямоугольника в отдельности по табл. 3.2 или ей подобным и полученный результат сложить, т. е.

 

Рис. 3.16. Схема разбивки на прямоугольники площади основания при определении напряжений по вертикали О (построенное сооружение) от площадей загружения с нагрузками <72 и ^з (проектируемые сооружения)

 

аг (о) = ог (окат) + аг (отЬе) + о2 (окйп) + о2 (оесп).

Если вертикаль, на которой находится точка, не пересекает площади загружения аЬсй, то в соответствии с рис. 3.15, б напряжения в этой точке определятся как алгебраическая сумма напряжений от загрузки прямоугольников:

ог (о) = а2 (окат) — а2 (оеЬт) —

  1. а2 (окйп) + сг2 (оесп).

Нетрудно показать, что способ угловых точек может быть с успехом применен и в тех случаях, когда нагрузки от сооружений различные и более сложные формы в плане.

Например, применяют этот способ для определения напряжений на вертикали О (рис.

3.16) под ранее построенным сооружением от трех проектируемых фундаментов с нагрузками <7Ь и ^з■ Схема разбивки на грузовые прямоугольники, для которых точка О всегда угловая, показана на рис. 3.16 пунктиром.

В. Г. Коротанным (1938), также получено решение для случая прямоугольной площади поверхности основания с нагрузкой, распределенной по закону треугольника (рис. 3.17). В результате, суммируя решения для равномерно распределенной и треугольной нагрузок, получаем случай трапецеидальной нагрузки на площади прямоугольника. Имеются также решения и таблицы для случая равномерно распределенной нагрузки по круговой площади или кольцу.

Получены решения для случая горизонтальной нагрузки, приложенной к поверхности в виде сосредоточенной силы и равномерно распределенной нагрузки по площади прямоугольника (см. рис. 3.17). Кроме того, имеются решения для сосредоточенной силы внутри полупространства (Р. Миндлин, 1960 г.) (см. рис. 3.17).

При составлении вспомогательных графиков или таблиц напряжений в условиях пространственной задачи для составляющих напряжений, содержащих в формулах коэффициент Пуассона, приходится принимать для него какое-либо числовое значение. Чаще всего принимают V = 0,5...0,4. Следует отметить, что изменение величины V не существенно влияет на величины напряжений.

В случае любой конфигурации площади загружения и распределения нагрузки ее приближенно заменяют рядом сосредоточенных сил. Например, в случае ряда вертикальных сосредоточенных сил

Ри Р,, Р3, ..., РI напряжения сг2 от всей нагрузки, учитывая зависимость (3.8), определятся как

 

аг = 0,48г3 2 Р./К*,

 

Рис. 3.18. Влияние ширины полосы загружения на глубину распространения напряжений аг

где — расстояния от точек приложения сил Р* на поверхности полупространства до точки, находящейся внутри массива, в которой определяется напряжение оу, г — глубина расположения точки, в ко-

[image]

Рис. 3.17. Схемы нагрузок в полупространстве, для которых имеются расчетные зависимости и таблицы

 

торой определяются напряжения (т. е. по схеме, аналогичной рис. 3.12, но только в условиях полупространства).

В заключение следует подчеркнуть, что решение на основе модели линейно деформируемого тела (теории упругости) численными методами с помощью ЭВМ задач о распределении напряжений в полупространстве и тем более полуплоскости при любом виде нагрузки и любой конфигурации площади загружения никаких принципиальных трудностей не вызывает и общедоступно. При сложной форме поверхности (не плоской) грунта для численного решения задач может использоваться метод конечных разностей или метод конечных элементов (МК.Э).

Влияние размеров площади загружения, неоднородности и анизотропии основания. При одной и той же интенсивности нагрузки на основание с увеличением площади загружения область передачи напряжений и, в частности, глубина распространения одинаковых напряжений увеличиваются. Как показано на рис. 3.18, при одинаковой интенсивности нагрузки 9) при широком фундаменте (а) сжимаемый глинистый прослоек может существенно повлиять на осадку сооружения, а при узкой полосе загружения (б) роль его может быть несущественной.

В случае, если сжимаемый слой расположен на совершенно жестком по сравнению с ним (например, скальном) основании, то распределение напряжений в верхнем деформируемом слое зависит в основном от соотношения размеров площади загружения и толщины сжимаемого
слоя. Наличие жесткого подстилающего слоя всегда вызывает увеличение (концентрацию) нормальных напряжений ог по оси приложенной нагрузки, которое по величине тем больше, чем меньше толщина верхнего слоя по сравнению с размерами площади загружения (рис. 3.19).

Анализ решений для двухслойных оснований, полученный К- Е. Егоровым, К- Маргером, О. Я. Шехтер, Р. М. Раппопорт и др., показывает, что учет неоднородности основания следует производить

[image]

только в тех случаях, когда различие в деформационных характеристиках достаточно велико. Например, неоднородность следует учитывать, когда песчаные или глинистые грунты подстилаются скальными, либо когда мало деформируемый слой полускального грунта или плотной глины подстилается весьма слабым грунтом, например илистым или глинистым грунтом высокой влажности. При этом необходимо учитывать касательные напряжения на контакте двух слоев.

Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:3039 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:6071 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:3177 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Расчет потребности в ремонтных рабочих п…

Для определения необходимого числа дворников пользуются «Типовыми нормами обслуживания для рабочих, занятых на работах по санитарному содержанию домовладений», разд. 1 (М., ЦБНТИ при НИИтруда, 1982). Нормы на ручную уборку территорий домовладений...

13-02-2010 Просмотров:9264 Эксплуатация жилых зданий

Методы капиллярной дефектоскопии

Разработанные и широко используемые в машиностроении методы капиллярной дефектоскопии в настоящее время начинают применяться в строительстве. Они основаны на капиллярном проникновении индикаторных жидкостей в полости дефектов и фиксации этого явления...

19-03-2013 Просмотров:3564 Обследование и испытание сооружений

Основные пути экономии тепловой энергии …

Для экономии тепловой и электрической энергии, топлива и воды необходимо применять средства автоматического регулирования и контроля за работой инженерных систем, сетей и коммуникаций; поддерживать в инженерных системах необходимые параметры температуры...

01-04-2010 Просмотров:13424 Эксплуатация жилых зданий