Влияние различных факторов на исследуемый процесс наиболее наглядно можно проследить на примерах простейших задач, в частности одномерных.

Решение простейшей задачи консолидации слоя полностью водонасыщенного грунта. В этом случае, при отсутствии защемленного газа (5 = 0), в предположении мгновенной деформируемости скелета грунта (^,у₁->оо) и мгновенном загружении грунта (0* = сопз!) уравнение консолидации (8.49) или (8.51) приобретает вид

^дН - С ^д*^Н Г8 7П

“г"⁶!?"’ ⁽⁸*⁷¹⁾

где С = (1 + е)к/(уа) — коэффициент консолидации. Выражение (8.71) называют уравнением Фурье или уравнением теплопроводности, так как оно описывает многие другие процессы, в частности процессы теплопередачи.

Рассмотрим случай уплотнения слоя грунта равномерно распределенной нагрузкой <7 (рис. 8.7), мгновенно приложенной в момент времени I = 0. Граничные поверхности слоя при 2 = 0 и г = к будем считать полностью водопроницаемыми.

Под термином «мгновенно приложенная нагрузка» будем понимать такую скорость статического приложения нагрузки, при которой можно считать, что в грунте не успевает произойти какого-либо оттока

воды из пор грунта. В результате при пренебрежении сжимаемостью воды и тем более минеральных частиц грунта его пористость или коэффициент пористости в начальный момент приложения нагрузки I = 0 не изменяется.

Принимая зависимость коэффициента пористости от напряжений в скелете грунта в виде компрессионной зависимости е = е₀—ао и учитывая, что при ^ = 0 е — е₀ = 0 получаем в начальный момент а = сг₀ = 0. Так как в рассматриваемом случае уравнение равновесия для любого момента времени имеет вид, то из условия а = сг₀ = 0 р₀ = д. Откуда дополнительные избыточные напоры в воде в начальный момент времени (I = 0) будут

#₀ = А>/7 = 9/У-

Эта же зависимость получается из условия (8.58).

Таким образом, решение рассматриваемой задачи сводится к отысканию решения уравнения (8.71) при следующих краевых условиях: при

(8.73)

Так как левая часть уравнения (8.76) не зависит от г, а правая не зависит от I, то они могут быть равны друг другу при любых значениях г и I только в том

случае, если они обе равны некоторой постоянной величине, которую удобно для дальнейшего принять равной —а². Тогда (8.76) распадается на два уравнения

Интегрируя первое из уравнений, находим, что 1пТ(() откуда Т(1) = Лехр(—С«²/), где А — произвольная постоянная.

Второе уравнение (8.77) интегрируем, используя подстановку Эйлера, т. е. ищем его решение в виде 1(г) =ехр(Рг) и, как следствие, получаем 2"(г)=Р² ехр ((Зг). Подставив 2(г) и 2"(г) в уравнение (8.77), получим (Р²+а²)ехр (Рг) = 0. Так как ехрфг) является решением и поэтому не равно нулю, то получим характеристическое уравнение (З² + а² = 0, откуда Р = ± га.

Учитывая выражения для р, находим два частных интеграла:

2\(г) = ехр(+гаг) и 2г(г) = ехр(—гаг).

Так как уравнение (8.77) линейное, то любая алгебраическая операция с частными решениями дает новое частное решение. Тогда 2х(г) = 1/2[ехр (-{-гаг -(- ехр(—г'аг)] = созаг и 7о(г) = 1/(2г)[ехр(-|-гаг) — ехр( —г'аг)] = зшаг, а их сумма будет общим интегралом второго уравнения (8.77) и может быть представлена в виде 2(г) = Всо&аг + Озшаг, где В и Э — две произвольные постоянные.

В результате, подставляя полученные выражения для Т(1) и 2{г) в уравнение (8.75), имеем уравнение

Н = (Всозаг + Д зш аг) ехр (— Са²/), (8.78)

з котором постоянная А опущена вследствие произвольности В и О.

Произвольные постоянные аВ и О ищем, используя граничные и начальные условия задачи. Учитывая граничные условия (8.74) из (8.78), находим, что В = 0 и Озшай = 0. Однако Б ф 0, так как в противном случае Н = 0 при любых значениях г п I. Поэтому зша/г = 0, откуда ак = гя или а = гя/к, где г — любое целое число. В результате получаем частное решение уравнения (8.71)

Н = Б зш ехр (— СРт.-1/к").

Тогда, учитывая, что в левой части отличным от нуля будет только то слагаемое, для которого г становится равным /г, можно представить выражение (8.81) в виде Д*й/2 == 2^/гуя или = 4<7/игу, где ( = 1, 3, 5, ..., так как (соз/гл — 1) при четных к равен нулю, а при нечетных к равен —2.

В результате решением уравнения (8.71), удовлетворяющим начальным (8.73) и граничным (8.74) условиям задачи, будет выражение

Характер эпюр избыточных давлений в воде р = уН и напряжений в скелете грунта сг = ц — р, подсчитанных для различных моментов времени или в соответствии с зависимостью (8.82), показан на рис. 8.7.

Зная напряжения в скелете грунта для любого момента времени

или, учитывая, что конечная осадка слоя 5 мость (8.84) можно представить в виде

(S) = 5*р, (8.85)

где р. — выражение в квадратных скобках в зависимости (8.84), называемое обычно степенью консолидации. Величина р. меняется от О при I = 0 до 1 при 1-> о.

Таким образом, при отсутствии защемленного газа (5 = 0) и в условиях несжимаемости поровой воды и минеральных частиц и мгновенной деформируемости скелета (у^оо) развитие осадки мгновенно загруженного слоя будет определяться только процессом отжатия
воды из пор грунта и падением избыточных^г_давлений или напоров в поровой воде во времени. Для этих условий характерно отсутствие осадки поверхности слоя в начальный момент времени (I = 0) приложения нагрузки (рис. 8.8).

Плоскость 2 = Н12 (см. рис. 8.7) является плоскостью симметрии для всех эпюр избыточных давлений в поровой воде и границей раздела потоков отжимаемой

из пор воды вверх и вниз.

Учитывая линейность уравнения (8.71), можно рассматривать совместное действие всех указанных выше уплотняющих сил (<7, у_взв, Ф) раздельно, складывая затем полученные решения. Как следствие этого, имеются решения простейших одномерных задач для случая возрастания нагрузки <7 по линейному закону [34], а также для случая равномерного роста слоя грунта, уплотняющегося под действием собственного веса [34]. Следует отметить, что для большинства практических задач достаточно в выражения (8.82) — (8.87) и им подобным вычислять один или максимум два-три члена ряда.

Учет влияния наличия защемленного газа. Существенная сжимаемость защемленных газовых пузырьков, а также процесс их растворения в поровой воде при повышении давления или процесс газо- выделения при снижении давления влияют на процесс консолидации и в уравнении консолидации (8.47) учитываются величиной со, определяемой по выражению (8.48), зависящему от соотношения коэффициента сжимаемости газовых пузырьков р и коэффициента уплотнения скелета грунта а. Чем больше сжимаемость газовых пузырьков и меньше сжимаемость скелета грунта, тем величина со > 1

Таким образом, с увеличением содержания газа 5 увеличивается р, коэффициент «в становится все больше единицы и уменьшаются давления в поровой воде (см. рис. 8.8). Как следствие, увеличиваются напряжения в скелете грунта и, что особенно существенно, при наличии защемленного газа возникают мгновенные начальные деформации скелета грунта, приводящие, например, в случае приложения равномерно распределенной нагрузки <7 к начальной мгновенной осадке слоя, равной 5₀ = а₀а₀к/(1 + е) = а(а_г — р₀)к/( 1 + е) = = сщ( 1 — 1/(й)к!(1 + е). Чем выше содержание защемленного газа, т. е. больше величина <д, тем больше 5₀. Развитие осадки во времени по аналогии с (8.85) определится как 5* = 5₀ + (5* — 5₀)(г.

При получении уравнения консолидации (8.46) принималось допущение, что давление внутри газовых пузырьков равно давлению в окружающей поровой жидкости, т. е. р_Г = р_в = р. Однако, как уже отмечалось в § 1.1, при неплоской границе раздела газ—вода давление внутри пузырька р_г вследствие поверхностного натяжения, в соответствии с зависимостью Лапласа (1.6) будет больше давления в воде р_в, окружающей пузырек, на величину 2а'/г

Рс = Рв + 2*7 г = Рх + Р + 2а'/г,

где а — поверхностное натяжение воды; г — радиус газового пузырька, р! — существовавшее до процесса консолидации давление в воде, включая атмосферное; р — избыточное давление в воде в процессе консолидации грунта. В процессе консолидации избыточные давления в поровой воде р вначале увеличиваются, а затем постепенно уменьшаются. Это приводит к изменению размеров (г) газовых пузырьков и, как следствие, к увеличению или уменьшению давления внутри них, что, в свою очередь, вызывает дополнительное газорастворение или газовыделение и соответствующее изменение размеров газовых пузырьков.

где г₀ — начальный радиус пузырька защемленного газа; 7_В — объем поровой воды в элементе грунта. Количество газовых пузырьков в уравнении (8.89) определится как

отверстию в поршне, скорость деформации пружины, наоборот, будет определяться в основном сопротивлением отжатию воды, а роль сопротивлений комков битума, т. е. явлений ползучести скелета, будет невелика.

В случае одномерной задачи уравнение консолидации полностью водонасыщенного грунта с учетом ползучести его скелета (8.50) и отсутствии мгновенной деформируемости скелета (а₀ — 0) приобретает вид

д*Н , дЧ/

 

где С₀ = (1 + е)к/уу1й1.

Для рассмотренной выше простейшей задачи консолидации слоя при мгновенном приложении нагрузки <7 начальное условие (8.61) с учетом (8.43) приобретает вид

<7 , _тт о' д²Н

 

 

В результате эпюры начальных избыточных давлений в поровой воде имеют криволинейное очертание (рис. 8.11) и тем меньше их величина,чем больше к/а₁у₁ или меньше у₄. Развитие процесса осадки слоя (рис. 8.12) с уменьшением скорости нарастания деформаций ползучести, т. е. с уменьшением у₁, существенно замедляется и происходит при очень малых давлениях в поровой воде.

Таким образом, учет ползучести приводит в начальный период времени после приложения нагрузки к уменьшению давлений в поровой воде (рис. 8.12) и увеличению напряжений в скелете грунта. Весьма существенно, что, как это следует из зависимости (8.94), с увеличением толщины к уплотняющегося слоя давления в воде значительно повышаются и решение задачи приближается к обычному случаю отсутствия учета явлений ползучести скелета грунта.

Следует отметить, что совместный учет явлений ползучести и наличия защемленного газа [37, 11] приводит даже при мгновенном приложении нагрузки д к постепенному нарастанию порового давления во времени до максимума с последующим его уменьшением до нуля (рис. 8.13).

В случае простейшей задачи консолидации слоя двухкомпонентного грунта под постоянной нагрузкой д начальное распределение напоров и его граничные значения будут, как и прежде, т. е. при I = = 0 #₀ = д/у, а при I Ф 0 и 2 = 0 или г — к Н — О (рис. 8.14).

Для того чтобы оценить влияние начального градиента напора будем его характеризовать углом наклона ф эпюры напоров, т. е. величиной = г₀. Тогда, проводя в направлении водопроницаемых границ прямые под углами ф, получим контуры предельно возможных эпюр напоров (на рис. 8.14 заштрихованы), после достижения
которых прекращается движение воды в порах грунта, т. е. возникает условие дН!дг = /₀ = 1§<1>. При пересечении предельных прямых, проведенных под углом ф, с эпюрой начальных напоров (рис. 8.14, б, в) получаются зоны г_тах, в пределах которых постепенно развивается процесс консолидации грунта, и зона Н₀, в которой в любой момент времени нет движения поровой воды и, следовательно, уплотнения грунта.

Рис. 8.13. Изменение давлений в поровой воде и осадка слоя трехфазного грунта при учете (1) и без учета (2) ползучести его скелета

В результате решение простейшей задачи консолидации с учетом начального градиента напора отличается тем, что в процессе консолидации возникает смещающаяся во времени граница (рис. 8.14, а) раздела уплотняющегося и неуплотняющегося грунта, на которой выполняется условие дН/дг = г₀ = 1§ф. В процессе употнения эта граница перемещается в глубь слоя и в случае достижения г_тах остается зона неуплотняющегося грунта Н₀, в которой вся нагрузка воспринимается связной с минеральными частицами водой, т. е. передается на скелет грунта (рис. 8.14, б). Даже в случае отсутствия границы

Гтах (рис. 8.14, а) часть нагрузки (заштрихованная часть эпюры) остается воспринимаемой связанной водой — скелетом грунта.

Таким образом, при значительных г₀ существенно уменьшается зона уплотнения грунта (гтах) И его уплотнение в пределах

„ „ г, этой зоны, т. е. уменьша-

Рис. 8.14. Распределение напоров в воде ’ ^у

слоя грунта при наличии начального гра- ется осадка всего СЛОЯ диента напора грунта. В результате этого

существенно сокращается время консолидации всего слоя грунта.

В случае водонепроницаемого основания (рис. 8.14, в) развитие зоны г до г_тах определяет активную глубину сжатия грунта #_а — = Гшах = <7/7*0• Например, при г₀ = 10 и <7 = 0,2 МГ1а величина максимальной зоны уплотнения грунта будет всего 2 м. К тому же при постоянном коэффициенте уплотнения, как это следует из соотношения заштрихованной и незаштрихованной частей эпюры напоров, сжатие этого слоя в два раза меньше, чем такого же слоя без учета Таково существенное влияние начального градиента напора.

Конечно, при отсутствии ярко выраженного начального градиента напора г₀ и наличии только существенной нелинейности зависимости скорости фильтрации от градиента напора на участке, близком к /₀ (см. рис. 1.51), предположения, что в зоне нет уплотнения и возможно неограниченно длительное сохранение передачи нагрузки на связанную воду, становятся необоснованными. Тогда следует считать, что этим зонам и частям эпюр напоров в воде также соответствует процесс консолидации, но со значительно более замедленным отжатием вязких пленок связанной воды из пор грунта. В простейшем случае можно представить зависимость и(1) в виде двух линейных участков (см. рис. 1.51), а консолидацию слоя из наложения двух одновременно протекающих фильтрационных процессов: сравнительно быстрого при дН/дг > г₀ и очень медленного при дН/дг < г„. Величина конечной осадки при этом не уменьшится и будет соответствовать случаю г₀ = 0, но существенно увеличится время ее развития.

Об учете структурной прочности. Ряд весьма рыхлосложенных грунтов обладает достаточно ярко выраженной структурной прочностью а_стр, при достижении которой возникает разрушение цементационных связей между частицами и интенсивное уплотнение грунта (см. рис. 1.28). Особенностью процесса консолидации таких грунтов является возникновение смещающейся во*времени границы, на которой выполняется условие а = о_стр и, как] можно заметить из рис. 1.28 и, особенно на рис. 8.15, б происходит наибольшее изменение коэффициента пористости А е или пористости грунта.

Так, например, в простейшем случае, приведенном на рис. 8.15, а, граница г разрушения структуры (о = а_стр) возникает у поверхности слоя и по мере уплотнения грунта постепенно перемещается вглубь слоя, разделяя слой (рис. 8.15, а) на зону интенсивной консолидации 1(г С г) и зону II (г > г) еще сохранившихся структурных
связей, в пределах которой грунт обладает малой сжимаемостью и в ряде случаев даже может приниматься неуплотняющимся. В общем случае во всех зонах идет процесс консолидации, описываемый уравнением (8.71), но в каждой зоне со своим коэффициентом С_иI или С_аи, причем естественно С_ац значительно меньше С₀ь На границе зон (г = г) в пределах элементарного слоя толщиной дг должно выполняться условие баланса воды, т. е. условие, что разность расходов воды через граничные поверхности слоя дг должна быть равна изменению водосодержания в этом слое за тот же промежуток времени й1, которое можно представить в виде

(8.97)

где к\, &ц, Н[ и Ни — коэффициенты фильтрации и напоры в областях I я II (см. рис. 8.15, а); Ап— изменение пористости грунта при о = сг_стр (рис. 8.15, б).

Уравнения консолидации (8.71) для каждой зоны и условие (8.97) при соответствующих граничных условиях позволяют получить ряд решений простейших задач консолидации слоя грунта, обладающего структурной прочностью [34].

В заключение этого параграфа следует подчеркнуть, что решения одномерной задачи консолидации двухфазного грунта без учета ползучести его скелета и при мгновенном приложении уплотняющих нагрузок приводят к наибольшим возможным давлениям в поровой воде в начальный период развития процесса консолидации грунта. Учет пространственной фильтрации, постепенности, приложения уплотняющей нагрузки, ползучести скелета грунта и наличия защемленного газа уменьшают величину порового давления, особенно в начальный период консолидации, что свидетельствует о большей передаче сжимающих — уплотняющих воздействий на скелет грунта и, как правило, приводит к более благоприятным заключениям о прочности и устойчивости рассчитываемых методами теории консолидации сооружений и их оснований.