Menu

Общие положения планирования экспериментов

При экспериментальных исследованиях как моделей, так и натурных конструкций связи между входными и выходными параметрами системы описываются полиномом, коэффициенты которого получают на основе статистического материала, характеризующего состояния системы в процессе функционирования. Причем эта информация может быть получена либо на основе пассивного наблюдения за системой (пассивного эксперимента), либо путем активного вмешательства в функционирование системы и постановки опытов в определенных точках. Такой активный эксперимент заранее математически планируется, то есть выбираются числа и условия постановки экспериментов, необходимых и достаточных для решения задачи с требуемой точностью.

В планировании эксперимента сам эксперимент рассматривается как объект исследования и оптимизации, в результате изучения которого в зависимости от получаемой информации стратегия оптимизируется на каждом данном этапе. В результате исключается слепой поиск, значительно сокращается число опытов, затраты на сроки проведения экспериментов.

Входные параметры-факторы могут принимать в опыте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует точка в многомерном пространстве факторов, называемом факторным пространством. Между уровнями факторов и реакций (откликом) системы существует определенная связь, характеризуемая выражением:

[image]

Функция у( называется функцией отклика, а геометрический образ, ей соответствующий — поверхностью отклика.

Исследователь не знает заранее вид функции ус и получает по данным экспериментов приближенные уравнения. Задача состоит в том, чтобы при минимальном количестве опытов, варьируя независимые переменные по специально сформулированным правилам, построить математическую модель системы и найти оптимальные значения ее свойств. Причем цель исследований должна быть четко сформулирована и иметь количественное выражение. Характеристику цели, заданную количественно, называют параметром оптимизации (целевой функцией).

Параметр оптимизации может быть экономическим (прибыль, себестоимость, рентабельность, затраты на эксперимент), технико-экономическим (долговечность, надежность и т. п.), технико-технологическим (выход продукта, физико-химические характеристики, механические характеристики и т. д.), статистическим, психологическим, эстетическим и т. п.

Исследование и оптимизация сложных систем методами планирования эксперимента проводится в несколько этапов. Вначале необходимо создать условия, способствующие выявлению влияний факторов, связанных с искомой характеристикой. Выбирая условия испытаний, необходимо:

  • отобрать факторы Х{, влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость характеристики от этих факторов;
  • установить диапазон изменения факторов х,-тах — 1;т1П; определить координаты точек факторного пространства {хх, х2, ..., хк), в которых следует проводить эксперименты;
  • оценить необходимое количество и порядок реализации; экспериментов.

В ряде случаев зависимость функций отклика от независимых переменных слишком сложна и трудно поддается простому аналитическому описанию. Можно использовать, аппроксимацию зависимой переменной в виде полинома1. Например, полином второго порядка (для однофакторной модели) имеет вид

[image]

Более сложные объекты можно описать полиномиальной моделью с большим порядком полинома. Так, модель второго порядка с учетом зависимости от к факторов имеет вид

[image]

При ортогональных факторных планах каждый фактор варьируют симметрично относительно начала координат на двух уровнях. Этого достигают, принимая верхний уровень + 1, а нижний —1. При таком нормировании факторов обеспечиваются упрощения последующих вычислений. При этом число различных экспериментов Ы, определяемое числом всех неповторяющихся комбинаций, которые можно составить из к рассматриваемых независимых переменных, имеющих по два уровня, будет N = 2к. Таким образом, если осуществить все 2* возможных и неповторяющихся комбинаций, получим полный факторный эксперимент. Так, например, в эксперименте с двумя факторами, варьируемыми на двух уровнях, число различных опытов N = 4, что можно представить в виде табл. 1.10.

Опыт

х.

х,

 

ХА

У

1

+ 1

—1

—1

+ 1

Ух

2

+ 1

+ 1

—1

—1

У*

3

+ 1

—1

+ 1

—1

Уз

4

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

У 4

 Пример 1. Предположим, что исследуется процесс, определяемый двумя факторами. Основной уровень и интервалы варьирования факторов приведены в табл. 11.

В результате опыта определена точка А с координатами Хг = 2;

= 4. Требуется определить по каждому из факторов верхний и нижний уровень, а также кодированные значения (то есть в новой системе координат) основного, верхнего и нижнего уровней, а также точки А.

Решение. Выбор нулевого уровня и интервала варьирования позволяет получить решение (табл. 1.12).

1 С ростом числа факторов в ортогональных планах быстро растет число экспериментов. В целях их сокращения используют матрицу планирования, содержащую лишь часть полного факторного эксперимента, то есть реализуют дробный факторный эксперимент. Уменьшенные факторные планы называются полурепликами, четверть-репликами и т. д.

Планирование эксперимента начинают с выбора уровней факторов и интервалов их варьирования. Затем рассчитывают коэффициенты. При рассмотрении линейной модели с к факторами расчет коэффициентов уравнения регрессии Ь/ выполняется по формуле

[image]

Пример 2. Изучим процесс разделения некоторой смеси растворами кислоты при следующих факторах: Хг — концентрация входного раствора; Х2— концентрация кислоты.

Оптимизируемый параметр У представляет собой содержание определенного элемента в выходном растворе.

Задача исследования — получить такое сочетание факторов, при котором У = 99... 100 %.

Исходная информация приведена в табл. 1.13.

Решение. Матрица планирования эксперимента и результаты параллельных опытов приведены в табл. 1.14.

В таком случае полиномиальная модель имеет вид [image]

[image]

 

где / = п — р, здесь р — число параметров уравнения регрессии; У — значение параметра оптимизации, рассчитанное по уравнению регрессии.

При заданном уровне значимости а и степенях свободы ку = [ и к2 = п (т — 1), где т — параллельность опытов, определяют табличное значение параметра статистики РТябл. Если рассчитанное значение Р < Ртабл, модель можно считать адекватной исследуемому процессу.

Пример 3. Проверим возможность описания изучаемого процесса в примере 2 полученной моделью. С этой целью необходимо рассчитать дисперсию адекватности 8%д при известных значениях дисперсии параметра оптимизации 5^ = 0,625 и уровне значимости а = 0,005, причем параллельность опытов равна 2.

Решение. Теоретическое значение выходной функции

Тогда[image] где 4 — количество различных опытов; 3 — число оцениваемых параметров (Ь0, Ьх, Ь2).

Определяем [image] Учитывая значения а = 0,05, кх = / = 1, к2 = п (ш — 1) = 4, получаем по таблице /^-распределения (имеется в литературе по математической статистике) — Ртабл = 7,71. Так как 1,57 < 7,71 — модель можно считать адекватной. Затем проверяют значимость адекватных коэффициентов Ь/. Погрешности в определении каждого из коэффициентов [image]

где — средняя дисперсия воспроизводимости.

Значимость коэффициентов проверяют по 1-критерию Стьюдента, для чего сначала определяют статистический критерий 1=16/1 /8Ь/-, а затем значимость сравнивают с табличным значением 1хадл, взятым из таблицы 1-распределения Стьюдента по вероятности проверяемой гипотезы р и количеству степеней свободы, с которым определялось 5^ . Если для каждого коэффициента I > 1табл, то они все значимы. Затем определяют доверительные интервалы для каждого из коэффициентов по формуле[image]

Пример 4. Проверим значимость коэффициентов уравнения (то есть модели процесса) У = 88 — 2Хх — 4,5Х2 при Р = 0,95, 5^ = 0,625, причем число степеней свободы 5^ к = 4.

Решение. Так как = 0,625, то 5^ = 0,625/4; =

= / 0,625/4 = 1/д.

Следовательно, [image]

[image]

Так как рассчитанные значения коэффициентов I больше табличных, то все коэффициенты уравнения У — 88 — 2хх — 4,52 значимы.

Для определения доверительных интервалов для каждого коэффициента уравнения находим значение величины

Определяем доверительные интервалы:

[image]

После интерпретации модели экспериментатор принимает решение о проведении дальнейших исследований. Для этого вначале устанавливают, в какой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации У. Знак плюс при коэффициенте свидетельствует, что с увеличением значения фактора растет У, при знаке минус — увеличение значения фактора приводит к уменьшению параметра оптимизации У.

Если линейная модель адекватна, а все коэффициенты незначимы (кроме Ь0) (чаще всего это происходит вследствие большой ошибки эксперимента или узких интервалов варьирования), то необходимо увеличить точность эксперимента, расширить интервалы варьирования. Если линейная модель неадекватна, это значит, что не удается аппроксимировать поверхность отклика плоскостью. В этом случае изменяют интервалы варьирования, выбирают другую точку в качестве нулевого уровня, либо используют нелинейную модель и весь цикл повторяют.

    Оставьте свой комментарий

    Оставить комментарий от имени гостя

    0
    • Комментарии не найдены

    Последние материалы

    Заключение (Грунты)

    При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

    25-08-2013 Просмотров:3422 Грунты и основания гидротехнических сооружений

    Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

    На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

    25-08-2013 Просмотров:6484 Грунты и основания гидротехнических сооружений

    Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

    Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

    25-08-2013 Просмотров:3564 Грунты и основания гидротехнических сооружений

    Еще материалы

    Водні рідини глушіння з твердою фазою

    До рідин глушіння на водній основі з твердими частинками відносяться глинисті розчини невисокої густини та обважнені (з додаванням обважнювачів), розчини мінеральних солей з додатками твердих частинок – кольматантів та обважнювачів...

    19-09-2011 Просмотров:3968 Підземний ремонт свердловин

    Радиальные системы

    Сеть Байтового покрытия радиальной системы обладает той особенностью, что все нити ее имеют общий центральный узел. В том случае, когда этот узел каким-либо способом закреплен от горизонтальных смещений, расчет покрытия...

    20-09-2011 Просмотров:4322 Вантовые покрытия

    Гидроизоляционные и антикоррозионные мат…

      Гидроизоляционные материалы по виду и назначению подразделяются: на гидрофобные, стабилизирующие и уплотняющие добавки; покровные и склеивающие составы; листовые и рулонные материалы; набивочные и прокладочные материалы. ДЭЗы (ЖЭО) при приемке техдокументации...

    11-05-2010 Просмотров:5854 Эксплуатация жилых зданий