Menu

Непологие вантовые системы произвольного вида

Стержень произвольной шарнирно-стержневой Байтовой системы в положении устойчивого равновесия задан векторомв

декартовой системе координат*[image]

[image]

В деформированном состоянии стержень представлен вектором

Обозначим далее:[image]

ха и л:р — радиусы-векторы;

иа и щ, — векторы смещений узлов конца и начала стержня; 1'а.р и 4ф — конечная и начальная длины стержня.

[image]

Из геометрических соотношений следует, что

где 6(У- — единичный тензор. Обозначим

[image]

 

После подстановки и преобразования получим

[image]

Вектор разности смещений узлов стержня Аиар представим в виде суммы двух взаимно ортогональных векторов Дтар и Дпар:

где[image]

[image]

После подстановки получим

[image]

Разложим выражение еар в ряд Тейлора, удерживая только первые члены. Величиной (Лтар)2 можно пренебречь по сравнению с (/ар, Атар), если учесть, что условия прочности реальных стержней допускают лишь малые удлинения вдоль оси

[image]

 

Деформация стержня в первом приближении зависит линейно от

удлинения вдоль оси и нелинейно от перекоса оси стержня.

Введем еще ряд обозначений:

Ра$ — площадь поперечного сечения стержня;

5ар — усилие в стержне;

о оар — начальное напряжение;

Сар — дополнительное напряжение, вызванное деформацией стержня.

Вектор усилия в стержне определится через

[image]

 

[image]

[image]

полная работа

[image]

или, формально обозначив

[image]

Рассмотрим переход от декартовой системы координат к криволинейным координатам. Криволинейные координаты будут введены, если задать дифференцируемую однозначно определенную векторную функцию от аффинных координат % = % {х1, х2, х3), для которой существует обратная однозначная векторная функция х = — X (ЭС\ %2, %3). В таком случае переменные у}, %2, %3—криволинейные координаты. Векторы локального репера обозначим через ЛГ/.

Переход от аффинного репера к локальному и обратно осуществляется по формулам:

где[image]

Из условия обратимости следует, что[image]— символ Кронекера).

Обозначим через[image]соответственно ковариантные и контрвариантные составляющие вектора смещения узла а в криволинейных координатах.

Выразим векторы[image]через криволинейные координаты:

[image]

Фактически криволинейные координаты можно задать различными способами: векторной функцией от трех параметров

[image]

двухвалентным тензором как аналитической функцией точки М (х1, х2, х3) в декартовой системе координат х\ (М); локальным репером дискретно в каждом узле системы

Если обозначить[image] тогда[image][image]

Деформация стержня в криволинейных координатах будет иметь вид

[image]

Потенциальная энергия упругих сил шарнирно-стержневой системы

[image]

Здесь и в дальнейшем а, |3 = 1, 2, ..., т (т — число узлов в системе). Потенциальная энергия внешних сил

[image]

[image]

 

Полная потенциальная энергия системы

[image]

После подстановки значения е„р и некоторых преобразований можно получить следующее выражение для потенциальной энергии:

[image]


Для перехода в пространство конфигураций произведем перенумерацию, поставив каждой паре индексов в выражении для потенциальной энергии в соответствие один индекс:


[image]

Наличие в этом выражении отличного от нуля члена а$ противоречит условию равновесия системы в ненагруженном состоянии. Для удовлетворения этого требования необходимо, чтобы величины начальных напряжений и координаты узлов удовлетворяли уравнение ау = 0 или

[image]

Так как рассматриваются именно такие системы, то выражение для потенциальной энергии окончательно примет вид

[image]

Поскольку решение задачи статики эквивалентно определению координат ^ стационарной точки для потенциальной энергии в пространстве конфигураций, уравнения статики примут вид:

[image]

Рассмотрим имеющий большое распространение частный случай шарнирно-стержневой системы, когда узлы расположены на координатной поверхности.

Векторы [image]выразим в координатах локального репера:

[image]

Найдем скалярный квадрат вектора Дяа(5:

[image]

Предположим, что п1а -> 0, па -> 0, т« -> 0. Это значит, что вектор Апа мало отличается от нормали к плоскости векторов х1 и х2, а вектор та почти лежит в этой плоскости. Произведя преобразования и пренебрегая па и Па по сравнению с па, получим:

[image]

Деформация зависит нелинейно только от компонент смещений, нормальных к поверхности, на которой расположены узлы. Дальнейшие выкладки аналогичны вышеприведенным.

Рассмотрим мгновенно-жесткие системы первого ранга изменяемости и один раз статически неопределимые. Число независимых связей меньше числа переменных <С п); ранг якобиевой матрицы г = щ— 1. К таким системам относятся, например, прямые нити, двухпоясные безраскосные фермы, неплоские Байтовые сети, состоящие из двух семейств нитей. Потенциальная энергия таких систем может быть представлена как

[image]

 

где Саа — жесткость стержня на растяжение — сжатие; еа — деформация преднапряжения; Р( — внешние силы. Упругая деформация стержня

[image]

 

Введем обобщенные стержни с помощью преобразования

[image]

 

Здесь Ур — тензор в пространстве с метрикой 0°™ (1/аСаа, ]/$, = = 6Р ) такой, что

[image]

В результате получим:

[image]

[image]

Введем новые переменные с( — У)и>, где V) — матрица такая, что после необходимой перенумерации переменных удовлетворяется соотношение

[image]

После преобразования получим:

[image]

Следует обратить внимание на то, что в квадратичных формах члены, содержащие переменные дп, приравнены к нулю. Это допущение

не является достаточно строгим и должно рассматриваться как первое приближение, хотя для его обоснования можно сослаться на результаты кинематического анализа.

Таким образом, переменные разделены и выражение для потенциальной энергии имеет следующий вид:

[image]

где <2С = УР.

Одновременно с разделением переменных произошло и разделение внешних сил. Физический смысл такого преобразования заключается в разделении внешней нагрузки на равновесную и неравновесную.

Равновесная нагрузка может быть воспринята без существенного изменения начальной конфигурации узлов системы. Восприятие неравновесной нагрузки сопряжено с сущетвениыми изменениями начальной конфигурации.

При решении задачи статики в первом приближении примем, что вторые члены в выражениях для Еа\ равны нулю. Тогда потенциальная энергия

[image]

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:4891 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:8080 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:4927 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Расчет максимального значения волновой н…

Используя рекомендуемые выше значения коэффициентов и констант, для большинства случаев можно значительно облегчить вычисления значений равнодействующей волнового давления на моноопору и координаты точки ее приложения к ней. Волновое давление на глубоких...

12-01-2011 Просмотров:5440 Морские буровые моноопорные основания

Техника безопасности при усилении строит…

Технологические процессы по усилению конструкций, выполняемые на территории действующего предприятия и в действующих цехах, относятся к работам повышенной опасности и должны...

31-07-2009 Просмотров:8247 Реконструкция промышленных предприятий.

Кольцевые структуры континентов

Разновидности кольцевых структур Округлые структуры в земной коре установлены достаточно давно. И генезис большинства из них был выяснен. Это – положительные структуры округлой формы (вулканические постройки, интрузивные штоки и купола, соляные...

14-10-2010 Просмотров:7917 Геологическое картирование, структурная геология