Изучение связи механических, в том числе и упругих свойств твердых тел, их строения и состава является одним из важнейших направлений физики твердого тела. В последние 10—15 лет теоретическому и экспериментальному исследованию подверглись такие свойства кристаллических тел, как дислокация и дефекты, что позволяет устанавливать более глубокие связи между свойствами твердых тел и их строением.

Остановимся кратко на некоторых основных положениях механики сплошных сред и молекулярной физики, уделив основное внимание анализу экспериментальных данных о характеристиках упругости криогенных образований.

В общем случае криогенные образования представляют собой анизотропные среды и при условии малости величин деформаций для них справедлив обобщенный закон Гука:

где ацм — тензор упругости анизотропной среды, а его компоненты — модули упругости.

Из общего вида уравнения (II 1.1) следует, что тензор упругости, как тензор четвертого ранга, содержит 81 компоненту. Однако ввиду того, что тензоры напряжения оц и деформаций ем симметричны, т. е. каждый из них содержит только шесть различных элементов, а^ы состоит максимум из 36 независимых компонент. Фактически их бывает гораздо меньше. Например, для монокристаллов, вследствие их симметрии число независимых а^ и гки а следовательно, и ацьи существенно сокращается. Так, в случае гексагональных кристаллов, типичных для льда, оказывается достаточным пять независимых модулей упругости, а для кубических кристаллов — всего три. Для изотропного тела остаются только два независимых компонента ацы и уравнение (III. 1) принимает вид

где б^- — единичный тензор, или символ Кронекера. При * = / 8^=1, а при [ф\ 8^ = 0. Коэффициенты \х и К в уравнении (III.2) —константы упругости Ламе. Из сравнения уравнений (III. 1) и (Ш.2) получим

Константа Ламе \1—модуль сдвига и первый член в уравнении (Ш.2) характеризуют сдвиговые деформации. Од(нако физический смысл второго члена и константы X недостаточно ясен. Поэтому можно переписать уравнение (Ш.2), выделив чисто объемную деформацию (дилатацию) и чистый сдвиг. Выражение

представляет собой относительное увеличение объема при деформации, где I — вектор смещения точек среды. Из уравнения (Ш.З) получаем, что объемная часть деформации

а сдвиговая часть деформации

Уравнение (Ш.2) с учетом выражений (1Н.4) и (III.5)
примет вид: 

где —модуль всестороннего сжатия (расширения),

а —сжимаемость, или коэффициент объемного расширения.

При одностороннем растяжении (сжатии), например вдоль оси, решение уравнения (III. 6)

имеет вид:

а так как—модуль Юнга и —от-'

ношение модуля упругости к коэффициенту Пуассона можем записать следующие соотношения между константами Ламе и модулями Е и -у:

Если криогенные породы не обладают макроанизотропией, обусловленной структурно-текстурными особенностями, их можно считать в среднем изотропными в пределах не очень малых объемов. Обычно это справедливо для поликристаллического льда и мерзлых пород с массивной текстурой.

В зависимости от условий и скорости деформирования криогенных пород и их тепловых свойств, процесс деформации может приближаться к изотермическому или к адиабатическому процессам. Поэтому выделяют изотермические и адиабатические модули упругости. Естественно, что-первые не зависят от температуры, а вторые приближенна определяются выражениями

Т — температура тела во время деформирования; а — коэффициент теплового расширения; с_р — удельная теплоемкость тела при постоянном давлении.

Лед и мерзлые породы имеют слабое различие адиабатических и изотермических модулей [11], по крайней мере, в пределах частот звукового и ультразвукового диапазона. В дальнейшем эти различия мы не будем учитывать.

Таким образом, для характеристики упругости поликристаллической криогенной породы с массивной текстурой можно пользоваться любой парой модулей (Ш.7) или (111.8). Нередко удобней и легче определить модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона -у- Часто это делается с помощью динамических методов по регистрации частоты собственных колебаний образца

вибрационным (резонансным) методом или по скорости распространения различных типов упругих волн (сейсмический, ультразвуковой методы).

Уравнение движения элементарного объема сплошной среды &У при малых деформациях в проекциях на координатные оси можно записать следующим образом:

где р — плотность среды; \ — смещение;

(1=1, 2, 3)—компоненты силы вдоль осей координат.

Подставляя уравнение (1112) или (Ш.6) в уравнение движения (ШЛО), получим уравнение Навье—Стокса для векторного поля смещения

Так как векторное поле можно представить через скалярный (безвихревое движение) и векторный (сдвиговые деформации) потенциалы в виде суммы двух векторов:

уравнение (111.11) распадается на два независимых волновых уравнения — для продольных

и для поперечных волн

(III. 13)

скорость распространения поперечных волн (5-волн).

Из этих уравнений следует, что скорость распространения в безграничной среде определяется квадратными корнями из коэффициентов при лаплассиане. С учетом уравнения (Ш.8) имеем: скорость распространения продольных волн (Р-волн)

В изотропных телах ограниченных размеров, например, в стержнях, пластинах волновое уравнение для продольных волн имеет обычно ту же форму, что и уравнение (111.12), но скорости распространения волн получаются несколько иные. Так, скорость распространения Р-волн в плоскопараллельной пластине определяется из выражения

Скорость распространения поперечных волн V₈ не зависит от размеров тела и во всех случаях определяется выражением {111.15). Для многих сред у₅« (0,64-0,7) Vр_^.

Кроме объемных продольных и поперечных волн, вблизи поверхностей раздела сред с различными свойствами возникают поверхностные волны разного типа. Наиболее часто встречаются смешанные продольно-поперечные поверхностные волны Релея, представляющие собой эллиптически поляризованную упругую волну. Скорость распространения волн Релея

Обычно у_к= (0,9^-0,95) о₈.

Для упругих сред характерно также явление, которое определяет скорость распространения упругих импульсов. Это волновая дисперсия скорости, т. е. зависимость фазовой скорости Vф распространения упругих волн в среде от длины волны. Кроме того, если измерения производятся в телах ограниченных размеров (например, на образцах), то наблюдается зависимость скорости Vр от соотношения длины волны и размеров образца. Так, при цилиндрических образцах измеренная скорость будет хорошо соответствовать Vр_л лишь при отношении радиуса цилиндра к длине волны ^0,1. Это так называемая геометрическая дисперсия упругих волн.

При распространении упругого импульса в несовершенной упруго-вязкой криогенной породе его скорость характеризуется некоторой групповой скоростью, которая зависит от наличия неоднородности и несовершенства упругости среды:

Изменение групповой скорости особенно ощутимо в неоднородных средах из-за волновой дисперсии и разной степени затухания упругих волн различной длины. При этом в результате более интенсивного затухания высокочастотных колебаний происходит перераспределение энергии между высокочастотными и низкочастотными составляющими импульса, т. е. изменяется спектр импульса. Изучение изменения спектра упругого импульса при прохождении его через криогенную породу представляет собой один из способов исследования физико-механических и структурных особенностей твердых тел. Этот способ является перспективным при изучении неоднородных поликристаллических, пористых и дисперсных сред, к которым относятся и криогенные породы. В них можно ожидать значительного изменения спектра импульса.

Наконец, в кристаллах могут распространяться волны не с двумя, а с тремя различными скоростями, которые в общем случае не будут ни чисто продольными, ни чисто поперечными. В случае анизотропных кристаллов в уравнение движения (ШЛО) подставим уравнение (III.1), после ^его получим волновое уравнение [45]

В результате решения этого уравнения получается система

трех однородных уравнений для компонент вектора |, которые в общем случае дают три значения скорости распространения упругой волны, соответствующие трем типам волн. При этом оказывается, что направления векторов смещения этих волн взаимно перпендикулярны, причем все волны относятся к смешанному (продольно-поперечному) типу. Скорости этих волн 14, ^2 и V₃ выражаются через модули упругости и определяются по формулам, содержащим зависимость от угла между направлением волнового вектора и оптической осью кристалла. При распространении упругой волны в плоскости, перпендикулярной оптической оси кристалла (базисной плоскости), скорости этих волн не зависят от этого угла. Следует отметить, что в силу анизотропии кристаллов направление групповой скорости в них, т. е. направление распространения энергии не совпадает с волновым вектором. Это необходимо учитывать при выполнении экспериментов. Такое несовпадение приводит к тому, что распространение упругой волны от вибратора ограниченных размеров, прижатого к грани кристалла, происходит не по нормали к этой грани, а под некоторым углом а=т^90°. В кристаллах различной симметрии всегда существуют особые направления, вдоль которых распространяются только «чистые» волны — две поперечные и продольная.

Реальные среды характеризуются обычно необратимыми переходами работы внешних сил, вызывающих деформации. Это приводит к поглощению энергии упругой волны средой, причем механизмы такого поглощения достаточно многообразны. Поглощение энергии происходит вследствие различных процессов, приводящих к частичному необратимому преобразованию энергии упругой волны в другие формы энергии (тепловую, электрическую, расход энергии на необратимую деформацию и др.)-

В зернистых упруго-вязко-эластичных телах основными из этих процессов являются: упругое последействие и внутреннее трение. Упругое последействие связано с упруго-эластичными свойствами сред, с запаздыванием деформаций по отношению ко времени действия, что приводит к возникновению упругого гистерезиса. Этот процесс вызывает аномальную дисперсию скорости и линейную зависимость коэффициента поглощения от частоты. Механизм внутреннего трения обусловлен трением между частицами среды при деформациях и связан с вязкостью среды, что приводит к нормальной дисперсии скорости и квадратичной зависимости поглощения от частоты. В неоднородных зернистых средах механизм поглощения энергии упругих волн может быть в значительной степени обусловлен теплопроводностью. При зернах (кристаллах) разной формы и размеров звуковое давление упругой волны будет вызывать неоднородные деформации и как следствие этого — неоднородное распределение температуры в окрестности каждого кристалла.

Если размеры кристаллов меньше длины волны, то в результате явления теплопроводности может возникнуть интенсивное перераспределение плотности энергии в объеме кристалла, что приведет к необратимой потере энергии упругой волны. В определенных пределах эти потери не зависят от частоты. Однако-при достаточно низкой частоте, т. е. когда деформация и напряжения изменяются медленнее, чем происходит передача тепла между участками с разной температурой, тепловые потери отсутствуют.

При высоких частотах, когда напряжения меняются очень быстро, тепловые потери незначительны, так как теплопередача не успевает произойти и условия изменения объема зерна при упругих деформациях приближаются к адиабатическому процессу.

Чтобы учесть с достаточной степенью точности затухание упругих волн, возникающее в результате поглощения их энергии, следует в выражение для определения амплитуды колебаний ввести экспоненциальный множитель е^-""⁰^, где а — коэффициент поглощения, г—расстояние от источника. Тогда для плоской волны будем иметь

(111.21)

где Л₀ — амплитуда колебаний в точке г=0, т. е. в источнике.

По известным значениям амплитуды колебаний А^ и Л₂ в двух точках, расстояние между которыми Дг, находим

Размерность коэффициента а-обратные единицы длины,

т. е. — , определяет длину отрезка, на котором амплитуда ос

колебаний/уменьшается в е раз.

Часто затухание измеряют в неперах или децибеллах: 1 непер«8,68 Дб«2,7 раза.

Итак, классическая теория сплошных сред рассматривает только диссипативные процессы, обусловленные вязкостью и теплопроводностью. На самом деле в поликристаллических криогенных породах поглощение энергии упругих колебаний может быть вызвано рядом механизмов, в том числе дислокационной неупругостью, «вязкостью» граничных межзерновых зон, тепловой и диффузионной межзерновой релаксацией и т. д.

Для учета несовершенной упругости при распространении волн в решение волнового уравнения вводится комплексное волновое число

а следовательно, и комплексный модуль упругости

где Е₀— равновесный модуль; г\ — некоторая эффективная вязкость, т* = ——время запаздывания. В общем случае, когда

имеется произвольное число (набор) времени релаксации, выражение для комплексного модуля принимает вид: .

где т]оо — нерелаксирующая вязкость

соответственно вязкость, модули упругости и время релаксации различных релаксационных механизмов; Е (со)—динамический модуль; г] (о)—динамическая вязкость.

На основании (111.23) и (111.25) для скорости и коэффициента поглощения продольных упругих волн (например, в стержне) получим:

Отсюда, определив из эксперимента скорость V и коэффициент затухания а, можно найти реальную и мнимую части комплексного модуля (111.25):

Приближенные равенства относятся к случаю, когда аХ<Ся, т. е. поглощение не слишком велико. При достаточно низких частотах это условие всегда выполняется. В остальных случаях

оно соблюдается причто обычно имеет место когда затухание не очень велико, а упругая волна может распространяться по крайней мере на расстояние, равное нескольким длинам волн.

Следует отметить, что динамическая вязкость г]((о) представляет собой характеристику среды, отражающую физические свойства более полно, чем коэффициент -поглощения а. Это важно иметь в виду особенно при исследовании свойств среды в зависимости от давления, температуры, химического и фазового состава. Хотя скорость звука зависит от этих факторов в меньшей степени, кривые поглощения могут существенно отличаться от кривых динамической вязкости, так как скорость распространения входит в третьей степени в формулу (111.27). Без учета этого обстоятельства можно прийти к ложным заключениям относительно вязких свойств среды.

Для поликристаллических криогенных пород затухание упругих волн связано прежде всего с потерями энергии на границах зерен (кристаллитов) и другими особенностями структуры. От тех же факторов зависит и монолитность пространственной криогенной структуры, а следовательно, и модуль упругости. Поэтому между декрементом затухания и модулем упругости возможны корреляционные зависимости. Исследования позволили установить, что такая зависимость в случае кристаллических магматических горных пород имеет вид уравнения гиперболы второго порядка [54].