Menu

Математические модели прямой аналогии

Как уже отмечалось, под таким моделированием понимают имитирование исследуемого процесса или объекта созданием специальной модели (аналога), явления в которой описываются теми же уравнениями, что и явления в оригинале, но имеют иную физическую природу.

[image]

Исследование процессов теплопроводности, распределение напряжений и деформаций в строительных сооружениях и конструкциях, распределение пластовых давлений, дебита жидкостей и газов называют исследованием физических полей. Эти задачи сводятся к решению уравнений в частных производных:

О (уравнение Лапласа);

г дИ (уравнение теплопровод- ^ д1 ности Фурье);

дЮ дЮ дЮ

+ ~д^ + ~д^~ = Т У’ (уравнение Пуассона).

Уравнением Лапласа описываются ламинарные движения идеальной, несжимаемой жидкости, стационарной диффузии, стационарные тепловые поля. Движение грунтовых вод, нестационарная фильтрация, нестационарные режимы теплопроводности, движение сжимаемой жидкости описывается уравнением Фурье. Правая часть уравнения Пуассона характеризует наличие источников или стоков внутри исследуемой области.

Решение этих уравнений совместно с заданными краевыми и начальными условиями затруднительно. Значительно легче изготовить электрическую модель, процессы в которой описываются теми же дифференциальными уравнениями, что и в оригинале.

Устройство электрических моделей основано на методах сплошных сред и электрических сеток. При первом методе моделью служит поле электрического тока в сплошной проводящей среде. При втором — используют электрические цепи с сосредоточенными параметрами; модель получается в виде электрической сетки, основанной на дискретном представлении элементарных объемов моделируемой области с помощью схем замещения. Для моделирования в сплошной среде применяют различные электропроводящие материалы, из которых наиболее распространены электролиты и электропроводящая бумага. При моделировании физических полей используют электролиты, проводимость которых можно изменять в широких пределах, изменяя концентрацию раствора. Такой метод моделирования полей называют методом электролитической ванны.

Предположим, необходимо определить тепловые потери трубопроводов, зависящие от качества изоляции, количества труб и от их взаимного размещения в траншее, так как при этом тепловые потери уменьшаются за счет экранировки одного трубопровода другим, то есть за счет взаимного подогрева. Пусть, например, необходимо определить тепловые потери трубопровода протяженностью 5 км, состоящего из трех труб диаметром с1х = 100 мм каждая, проложенных на расстоянии т1 = 150 мм на глубине Нх = = 80 см в почве с удельной теплопроводностью у. Моделью трубопроводов служат металлические трубки, помещенные в электролит так, чтобы их взаимное расположение и уровень электролита были геометрически подобны размещению трубопроводов в траншее. Измеряя напряжение на трубке и ток, протекающий по ее рабочей части, определяют электрическое сопротивление растеканию тока Я 2 = I///.

Сопротивление, которое почва оказывает растеканию теплового потока, вычисляется по формуле

#1 = К2тя,

где т% — масштаб сопротивлений.

Электрическое удельное сопротивление выражается в [Ом • см], то есть масштаб сопротивлений

тя = теА,

 

где К — масштаб линейных размеров; та — отношение удельной проводимости электролита к удельной теплопроводности почвы.

Если известна разность температур теплопровода и грунта, легко вычислить тепловые потери. В нашем случае примем диаметр трубок модели й2 = 10 мм, следовательно, масштаб линейных размеров К — 10. В электролит с удельной проводимостью § трубки следует погружать на глубину ^2 = 8 см при расстоянии между ними т2 = 15 мм. Если принять длину трубок модели /2 = 50 см, то, следовательно, моделируется участок трубопровода длиной 1г — = 5 м, и тепловые потери определяются для этого участка. Для определения тепловых потерь на 5 км, полученные результаты следует увеличить в 103 раз.[image]

Коэффициент экранировки определяется на модели из соотношения

R — где — сопротивление растеканию электрического тока одной трубы; Кп — то же, для трубы, находящейся в пучке труб.

Наряду с методом электролитической ванны, применяется метод твердых моделей с применением электропроводящей бумаги. При проектировании строительных конструкций зданий приходится изучать работу различных элементов, находящихся в плоском напряженном состоянии. Вместо исследования распределения суммы главных напряжений в плоской модели, достаточно исследовать распределение потенциала в модели, изготовленной из электропроводящего материала при соблюдении соответствующих граничных условий. Таким материалом могут служить электропроводящая бумага, металлическая фольга. Электропроводящая бумага состоит из волокон целлюлозы, между которыми расположены частицы проводящего электроток материала. Отечественной промышленностью выпускается бумага с удельным поверхностным сопротивлением от нескольких десятков Ом до нескольких МОм. Высокоомные сорта бумаги образуются при добавлении в бумажную массу сажи, а в низкоомные — графита.

Методика испытания на моделях из электропроводящей бумаги и все необходимые приспособления разработаны в лаборатории моделирования и экспериментальных методов расчета ЛенЗНИИЭП. Метод отличается простотой задания граничных условий и не требует сложного оборудования.

[image]

С его помощью можно определить концентрацию напряжений возле отверстий (рис. 4.3). Для этого из электропроводящей бумаги вырезается контур, геометрически подобный исследуемой пластине с ромбовидным вырезом. К краям модели А А' и В В' подводится напряжение постоянного тока. С помощью делителя напряжений ЯР, вольтметра РУ, гальванометра 0 и щупа на бумаге находят точки равного потенциала. Соединяя их между собой, получают линии равных потенциалов а — а'. Построив систему линий, ортогональную к линиям эквипотенциального поля, получают силовые линии б — б', по густоте которых судят о концентрации напряжений в пластине.

Стержневые системы типа балок, ферм и т. п. могут моделироваться с помощью электрических сеток методом прямых аналогий. Рассмотрим принцип построения такой модели на примере изгибаемой балки (рис. 4.4). Реакции опор балки на двух опорах Ра и Рв определяются по формулам:

[image]

Так как уравнения электрической схемы аналогичны уравнениям опорных реакций балки, принятую электрическую схему можно рассматривать как схему-аналог балки.

 

Рис. 4.4. Моделирование изгибаемых балок:

а, б, в — схемы загрузки неразрезной балки; г — электрический аналог (модель) однопролетной балки; д •=* то же, многопролетной

 

Если в электрической схеме точки /х и /2 пропорциональны силам Рх и Р2\

[image]

а сопротивления пропорциональны длинам участков:

[image]

то для определения реакций опор балки достаточно измерить точки 1а и /д.

В приведенных выражениях: /т — переходный масштаб по току; /. — переходный масштаб по сопротивлению.

Определять реакции опор такой балки на электрической модели нецелесообразно, но такая схема может быть частью электрической модели более сложной стержневой системы.

Рассмотрим более сложный пример моделирования неразрезных балок на жестких опорах.

Как известно, неразрезную балку можно представить как совокупность статически определимых однопролетных балок с дополнительными моментами в местах сопряжения, равными по величине и противоположными по знаку. Причем, углы поворота концевых сечений для каждой однопролетиой балки, должны быть равны углам поворота сечений в соседних балках в местах сопряжений.

Для нагруженной балки на двух опорах (рис. 4.4, г) справедливы уравнения:

[image]

где Ма', Мв -—моменты в точках А и В; фл; фв— углы поворота сечений в точках_Л и В; Е^ — жесткость балки;

— длина пролета; Ма\ Мв — концевые моменты для той же балки при условии фл = Фв, то есть для случая жесткой заделки концов.

Рассмотрим электрическую схему четырехполюсника, приведенную на рис. 4.4, г (П- образная схема замещения).

По I закону Кирхгофа можно записать:

[image]

Сопоставляя уравнение моментов с уравнениями электрической цепи, убеждаемся, что при соблюдении пропорциональности между моментами и токами (Мл ~ /л; Мв ~ 1в), углами поворота и напряжениями (фл ~ С/л', ц>в ~Ув) эти уравнения будут аналогичны. Таким образом, П-образная схема электрического четырехполюсника, может служить схемой-аналогом изгибаемого стержня.

Для перехода от заданного стержня к его электрическому аналогу, нужно ввести переходные масштабы по току /т = /'/М' и по напряжению /н = 1/кк, где к — индекс узла; г — номер стержня.

Так как по закону Ома г — то переходной масштаб по

Е^

сопротивлению /, = /н//т, или /„ = т ——. Кроме того, знаки для переменных на концах А и В должны быть противоположными. Для моделирования неразрезной балки (рис.

г) необходимо соединить П-образные четырехполюсники в соответствии с заданной схемой соединения стержней (рис. 4.4, д). При этом равенства напряжений в точках соединения четырехполюсников устанавливаются автоматически. В соответствии с законом Кирхгофа обеспечивается равенство токов 1В — — /в и подобные ему равенства во всех точках соединения. Таким образом, для определения опорных моментов и углов поворота достаточно измерить токи и напряжения в схеме-аналоге. Серийно выпускаемые машины ЭМСС (электрические модели стержневых систем) содержат набор П- и Т-образных схем, из которых можно составлять аналоги различных стержневых систем.


Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:3045 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:6075 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:3182 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Промислово-геофізичні дослідження

Загальна характеристика. Геофізичні дослідження свердловин, або каротаж свердловин – це дослідження свердловин електричними, магнітними, радіоактивними, акустичними та іншими методами. Суть їх полягає в безперервному записуванні відповідних характеристик пластів вздовж стовбура...

19-09-2011 Просмотров:7434 Підземний ремонт свердловин

Определение показателей преломления.

Прежде чем перейти к описанию поведения света при его взаимодействии с анизотропными веществами, рассмотрим методы определения показателей преломления. Они одинаковы для изотропных и анизотропных веществ, только у последних показатели преломления...

13-08-2010 Просмотров:29521 Генетическая минералогия

Методы и средства проведения инженерного…

СИЛОВЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ При проведении испытаний к испытываемому объекту прикладывают статические или динамические нагрузки. Выбор способа нагружения, схемы и порядка загружения является важным этапом подготовки эксперимента, так как он существенно влияет на...

18-03-2013 Просмотров:4411 Обследование и испытание сооружений