Menu

Кинематический анализ геометрически нелинейных систем

Кинематический анализ геометрически нелинейных систем

Как будет показано ниже, расчетные схемы вантовых систем можно представить шарнирно-стержневыми моделями. При расчетах, особенно если они выполняются на ЭВМ путем в общем-то формальным, особое значение приобретает предварительный анализ структуры шарнирно-стержневой системы, так как очень часто только в результате трудоемкого расчета обнаруживается, что система изменяема или близка к изменяемой. Предварительный анализ' хотя и требует дополнительных расчетных действий, в итоге представляет информацию о свойствах системы, которая дает возможность судить о целесообразности дальнейшего статического расчета.

Кроме того, анализ шарнирно-стержневых систем расширяет наши представления о их свойствах и позволяет обоснованно ставить и решать задачи синтеза таких систем, включая нахождение оптимальной (по заданному критерию) конфигурации. Анализ структуры, основанной на кинематических свойствах систем, обычно проводится на базе аналитических критериев и оценок состояния.

Примем узлы произвольной пространственной шарнирно-стержне-вой системы за некоторую систему материальных точек. На положение этих точек наложим ограничения геометрического характера, которые, следуя терминологии аналитической механики [4], будем рассматривать как стационарные, конечные, идеальные, удерживающие (напряженные) связи.

Уравнения этих связей в общем виде можно представить как

[image]

где а = 1, 2, 3,..., т— число стержней (связей), включая опорные; I = 1, 2, 3,..., 3 п; п — число узлов (шарниров); х1— обобщенные координаты узлов . Уравнения связей представим разложением в степенной ряд (в окрестностях заданной конфигурации), первые и вторые члены которого удержим:

[image]

где Ьх1, Ьх1 — вариации обобщенных координат;

[image]

Коэффициенты ак, образуют якобиеву матрицу системы.

Примем бх' = \хи1, где ц — сколь угодно малая положительная величина; и1 — новая переменная, конечная по величине. Тогда уравнения связей примут вид:

[image]

Для мгновенно-жестких систем действительны следующие соотношения:[image]

где г — ранг якобиевой матрицы аа/, й — дефект этой матрицы.

Запишем уравнения связей так:

[image]

где[image]— матрица вращения[image]такая, что

[image]

[image]

[image]

В результате преобразования взамен выражения (11.1) получим систему уравнений:

Такое преобразование всегда возможно на основании соотношений (II.2).

Введем новые переменные[image] где[image]— матрица такая,

что после необходимой перенумерации переменных удовлетворяются соотношения

[image]

В результате преобразования, пренебрегая членами, содержащими 'множитель[image] при[image] получим систему уравнений:

[image]

Исследуем матрицы са2, /2, /2- Очевидно, что каждая связь, представленная квадратичной формой са2, /2, /2<7/2<?'2 = 0, может быть также представлена связями

[image]

если собственные числа матрицы са2, «2, /2 не различаются по знакам.

Связи е2<7г2 — собственные векторы, соответствующие отличным от нуля собственным числам этой матрицы; п\ — количество положительных собственных чисел.

В результате получим систему уравнений:

[image]

которую формально можно представить в виде:

[image]

где п2 — количество квадратичных форм, удовлетворяющих условию знакоопределенности.

Сформулируем предложения, позволяющие определить ранг изменяемости рассматриваемых систем.

Предложение 1. Если ранг матрицы ^ равен числу переменных (г ~ п), то система неизменяема во втором приближении и является мгновенно-жесткой системой первого ранга изменяемости.

Преобразования можно повторить и каждый раз дополнять по возможности систему новыми линейными уравнениями.

Предложение 2. Если ранг матрицы 0^,/ равен числу переменных (г = п) и а^ I получена после /? шагов, то система неизменяема в (/? + 1)-ом приближении и является мгновенно-жесткой системой; ранг изменяемости ее равен.

Полученному результату можно дать следующую физическую интерпретацию. В основу кинематического анализа положен принцип ожесточения реальных стержней системы. Каждый стержень шарнирно-стержневой системы сопротивляется удлинению. Если устремить его жесткость на растяжение-сжатие к бесконечности, то он может быть представлен связью, препятствующей изменению расстояния между его концами.

Каждый предварительно растянутый стержень, принадлежащий подсистеме, которая допускает устойчивое самонапряженное состояние, сопротивляется перекосу. Если устремить величину предварительного натяжения к бесконечности, то стержень можетбыть представлен связью, препятствующей перекосу его концов. Поэтому задачей приведенного анализа является определение подсистем, допускающих устойчивое самонапряженное состояние в тех случаях, когда для неизменяемости системы недостаточно только тех связей, которые препятствуют удлинению стержней. Как известно, количество независимых самонапряженных состояний системы или подсистем, допускающих самонапряжение, равно степени ее статической неопределимости (т — г). Эти подсистемы представлены квадратичными формами в системах (II.3) и (П.4). Знакоопределенности этих форм соответствует устойчивое самонапряжение. Линейным уравнениям, расширяющим систему, на каждом шагу соответствуют связи, препятствующие перекосу стержней. Их появление возможно при устремлении величины самонапряжения к бесконечности. Если эти связи увеличивают степень статической неопределимости системы, то возможно появление новых устойчивых ее самонапряженных состояний.

Таким образом, каждому шагу сопутствует устремление к бесконечности новых жесткостных характеристик системы, а это возможно в том случае, если прежние жесткостные характеристики системы соответствуют бесконечностям более высоких порядков. Разделение мгновенно-жестких систем по рангам изменяемости позволяет учитывать эти особенности. На рис. 11.4 представлены простейшие примеры систем первого, второго и третьего рангов.

Среди основных свойств шарнирно-стержневых систем можно выделить топологическую неизменяемость. Смысл этого понятия, по-видимому, можно связать со следующими утверждениями: геометрически неизменяемая система всегда неизменяема топологически;

[image]

Рис. 11.4. Мгновенно-жесткие системы первого (а), второго (б) и третьего (в) рангов изменяемости.

геометрически неизменяемая система геометрически неизменяема хотя бы в одной конфигурации узлов.

Следовательно, свойство топологической неизменяемости связано лишь со способом соединения узлов между собой стержнями и не зависит от конкрегного расположения узлов (конфигурации узлов) в пространстве.

Для анализа каждая шарнирно-стержневая система представляется графом так, что каждому узлу системы соответствует вершина графа, каждому стержню — ребро графа. При этом различают вершины свободные, соответствующие незакрепленным узлам системы, и вершины связанные, соответствующие узлам системы. Очевидно, что если добавить к системе стержни, попарно соединяющие закрепленные узлы, то рассматриваемые свойства системы не изменятся. В представляющий систему граф добавим соответствующие ребра и, таким образом, будем различать свободные и связанные ребра.

В дальнейшем будем различать одно-, двух- и трехмерные шарнир-но-стержневые системы в зависимости от размерности пространства, в котором они рассматриваются. Рассмотрим основные параметры системы и соотношения между ними.[image]

Здесь I — размерность пространства;

у' — количество всех узлов системы (вершин графа);

г/о—количество незакрепленных узлов (свободных узлов); Уз — количество закрепленных узлов (закрепленных вершин).

[image]

Здесь с' — количество всех стержней системы (ребер графа);

Со — стержни, соединяющие попарно узлы, из которых

хотя бы один незакрепленный (свободные ребра); Сз — стержни, соединяющие закрепленные узлы (закрепленные ребра). Количество связанных ребер будем в дальнейшем назначать так, чтобы выполнялось соотношение

[image]

и чтобы при этом образовалась цепь из связанных ребер и вершин графа. Степень статической неопределимости можно выразить формулой[image]

Важной характеристикой графа является, как известно, цикло-матическое число[image]

где к — число компонент связности графа.

В дальнейшем для простоты будем рассматривать системы, представленные связным графом (и = 1):

[image]

Для анализа системы можно воспользоваться следующими предложениями.

Предложение 3. Степень статической неопределимости неизменяемой системы больше или равна степени статической неопределимости любой ее части. Однако последнее не является конструктивным и должно быть дополнено.

Предложение 4. Одномерная система топологически неизменяема, если она представлена связным графом, имеющим хотя бы одну связанную вершину.

Предложение 5. Двухмерная система топологически неизменяема, если существует топологически неизменяемая одномерная система, где каждому стержню (ребру) двухмерной системы соответствует узел (вершина) одномерной системы; каждому закрепленному стержню (ребру) двухмерной системы соответствует закрепленный узел (вершина) одномерной системы; каждому контуру (независимому циклу) двухмерной системы соответствуют два свободных стержня (ребра) одномерной системы.

Для доказательства последнего предложения подставим соотношение (11.6) в (11.9) для одномерной системы

[image]

и, воспользовавшись соотношениями (11.7)(11.10), получим выражение

[image]

Сравнивая последние выражения, легко установить соответствие

[image] Учитывая предложение 3, предложение 5 можно считать доказанным.

Предложение 6. Трехмерная система топологически неизменяема, если существует топологически неизменяемая двухмерная система, в которой каждому стержню (ребру) трехмерной системы соответствует узел (вершина) двухмерной системы; каждому закрепленному стержню (ребру) трехмерной системы соответствует закрепленный узел (вершина) двухмерной системы; каждому контуру (независимому циклу) трехмерной системы соответствуют три свободных стержня (ребра) двухмерной системы.

Для доказательства этого предложения по аналогии с принятой схемой доказательств предложения 5 получим выражения:

[image]

Сравнивая их, устанавливаем соответствие:

[image]

Можно воспользоваться также нижеследующими предложениями, которые для краткости приведем без доказательств.

Предложение 7. Двухмерная система топологически неизменяема, если существует неизменяемая одномерная система, где каждому контуру (независимому циклу) двухмерной системы соответствуют узлы одномерной системы числом, равным числу стержней (ребер) контура, уменьшенному на два; каждому стержню (ребру) общему (смежному) для каждой пары контуров (независимых циклов) двухмерной системы соответствует свободный стержень одномерной системы; каждому закрепленному стержню в контуре (независимому циклу) двухмерной системы соответствует закрепленный узел (вершина) одномерной системы.

Предложение 8. Трехмерная система топологически неизменяема, если существует неизменяемая двухмерная система, в которой каждому контуру (независимому циклу) трехмерной системы соответствуют узлы двухмерной системы числом, равным числу стержней (ребер) контура, уменьшенному на единицу; каждому стержню (ребру) общему (смежному) для каждой пары контуров (независимых циклов) трехмерной системы соответствует свободный стержень двухмерной системы; каждому закрепленному стержню в контуре (независимому циклу) трехмерной системы соответствует закрепленный узел (вершина) двухмерной системы.

Мгновенно-жесткие системы являются, очевидно, топологически изменяемы. Для них справедливо следующее предложение.

Предложение 9. Для топологически изменяемой системы найдется хотя бы одна конфигурация узлов, в которой она будет обладать свойствами мгновенной жесткости, если каждый свободный узел (вершина) системы принадлежит связанному контуру, Контур — связный, если в нем есть закрепленный стержень.

[image]

Рис. 11.5. К топологическому анализу трехмерных (а, 6, в) и двухмерных (г) систем.

Таким образом, рассмотренные предложения 3—9 дают возможность построить алгоритм для ЭВМ, в котором по формальным правилам могут быть исследованы вопросы топологической неизменяе-' мости (изменяемости) системы.

Приведем результаты топологического анализа некоторых Байтовых систем.

Система, показанная на рис. 11.5, а, при переходе к двухмерной имеет три несвязные вершины. Двухмерная система топологически неизменяема и имеет шесть степеней свободы: 3x2 = 6.

Другая система (рис. 11.5, б) при переходе к одномерной имеет одну несвязную вершину и число степеней свободы, равное единице. Система, показанная на рис. 11.5, е, при переходе к двухмерной и одномерной также имеет по одной несвязной вершине. При этом число степеней свободы равно трем: 1 X 2 + 1 = 3.

Две несвязные вершины имеет система (рис. 11.5, г) при переходе к одномерной. Число степеней свободы здесь равно двум.

§ 3. Пологие гибкие нити

[image]

В качестве расчетной схемы гибкой нити будем принимать непрерывную шарнирную цепь или шарнирно-стержневую систему. В последнем случае нить моделируется в виде плоской ломаной линии, образованной стержнями. При этом внешняя нагрузка принимается в виде сосредоточенных сил, приложенных к узловым шарнирам.

Рис. 11.6. Равновесие элемента нити.

Рассмотрим равновесие гибкой однородной нити под воздействием произвольной нагрузки, находящейся вместе с нитью в одной плоскости (рис. 11.6). Выберем на этой плоскости систему прямоугольных координат ХОТ, и запишем уравнение равновесия элемента нити МЫ длиной из. Произвольная внешняя сила раскладывается по координатным осям. Точка элемента М в деформированном состоянии имеет координаты X!, а точка N — соответственно X + их, 2. +

+ иг. Взамен действия отброшенных частей нити по концам выделенного элемента действуют силы натяжения, направленные по касательным к нити в точках М и N.

[image]

Произведя необходимые преобразования, сокращение членов, а также отбросив величины высшего порядка малости, получаем

x<?г=0.

следующие уравнения равновесия гибкой нити:
й (гг, их \ , л й

[image]

В настоящей работе рассматривается в основном наиболее распространенный вид нитей в Байтовых покрытиях — пологие гибкие. Пологой принято считать такую нить, у которой до и после деформации углы наклона касательных в любой точке ее к оси координат, проходящей через две крайние точки нити или параллельной такой соединительной линии, представляют собой достаточно малые величины, что дает возможность считать 51П а с=; 1§ а, а сое к» 1.

Исходя из допустимой погрешности вычислений можно принять определенные соотношения стрелы провеса нити к ее пролету, при которыхпоследняя может считаться пологой. В вантовых покрытиях гибкие нити сотношением стрелы провеса к пролету x1

~- <С г- могут считаться практически пологими. При таких соотношениях погрешность приближенных формул незначительна и находится в пределах точности наших представлений о величинах реальных нагрузок, действующих на конструкции. Кроме того, гипотеза о пологости значительно упрощает расчетные формулы.

Рис. 11.7. Равновесие узла нити, представленной в виде шар-нирно-стержневой системы.

Усилие в нити Т можно выразить через его горизонтальную проекцию: [image]Вследствие пологости[image] Таким образом[image]

Величина Н — горизонтальная проекция усилия в нити — называется распором и для пологих нитей с достаточной степенью точности для расчета может отождествляться с усилием в нити. Следовательно, уравнения равновесия при непрерывной нагрузке для пологой нити, представляющей собой непрерывную шарнирную цепь, примут следующий вид:

[image]

Рассмотрим равновесие узла нити, представленной в виде шарнир-но-стержневой системы, под воздействием произвольной узловой нагрузки, находящейся вместе с нитью в одной плоскости. Силы, действующие на узел, показаны на рис. П.7.

Уравнения равновесия запишем в следующем виде:

[image]

[image]

 

или

[image]

[image]

 

Примем следующее обозначение:

[image]

 

[image]

[image]

[image]

Рассмотрим деформации элемента нити под действием произвольной нагрузки (рис. 11.8).

Точка М, имеющая начальные координаты х0, г0, получит вертикальное хю и горизонтальное и перемещения. Точка Л^ с начальными координатами х0 + йх0, г0 + йгй получит Рис. 11.8. Деформация элемента перемещения соответственно т + дхю нити, и и + Аи.

Таким образом, деформированное состояние элемента нити определяется следующими координатами: для точки М 0 + и, г0 + т) и для точки N ■.0 + йх0 + и + йи, г0 + йг0 + т + + дхю). При этом х — х0'-\- и и г = ги + хю.

Начальную длину элемента нити выразим через

[image]

Аналогично запишем и конечную деформированную длину элемента

[image]

из = У{йхй + йи)2 + (ёгр + йт)%. Произведем некоторые преобразования выражения конечной дли-

ны элемента нити

[image]

 

[image]

или с учетом выражения начальной длины элемента

[image]

Подкоренное выражение раскладываем в степенной ряд и удерживаем только два первых члена

[image]

Учитывая, что в пологих нитях йз0<=^ йх0, выражение конечной длины элемента нити представим в новом виде

[image]

Введем гипотезу о малости горизонтальных перемещений точек нити, т. е. будем считать, что в горизонтальном направлении нить деформируется, подчиняясь всем законам линейно-деформируемых

систем. В силу этого примем, что величиною можно пренебречь.[image]

Таким образом, окончательное выражение длины элемента кити после деформации примет вид:[image]

Определим относительное удлинение нити

[image]

или, учитывая выражение для с1з,

[image]

Как видим, удлинение элемента нити определяется относительно горизонтальной проекции, а не его длины. Определение удлинения нитей [23] исходя из их пролета может привести в крайнем случае

к возможной ошибке до 5,3% (для нитей с соотношением < у^-).

Физический процесс деформации нити, следуя закону Гука, можно описать следующими формулами:[image]

где Р — площадь поперечного сечения нити; Е — модуль упругости материала нити; о — нормальные растягивающие напряжения в нити.

Имея выражение величины относительного удлинения элемента нити, напишем уравнение, связывающее распор с перемещениями

[image]

 

 

[image]

[image]

[image]

[image]

Рассмотрим аналогичные деформации нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы. Для этого рассмотрим перемещения концов произвольного стержня п, п + 1 такой системы (рис. П.9).

После выкладок, аналогичных вышеприведенным, уравнение, связывающее распор с деформациями нити, представленной в виде системы, будет Нетрудно заметить, что все члены ряда, начиная со второго, пренебрежимо малы

по сравнению с первым. 

Аналогично этому для дифференциальной формы уравнений примем, что[image]

С учетом этого, уравнения связи распора с перемещениями в нити можно несколько изменить. Измененные уравнения приведены ниже.

Для расчета плоской пологой нити, представленной в виде непрерывной шарнирной цепи, уравнения в дифференциальной форме примут вид:

равновесия шарнирно-стержневой иметь вид

[image]

[image]

(11.16)

се

Сравним величины-г— и т—, где с =

[image]

+ Ли, можем записать -г— = —г—^-д— . Раскладывая в степенной ряд, получим

Рис. 11.9. Деформация элемента нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы.

геометрическое (11.13) и физическое (11.14).

Последние обычно объединяют в одно под названием уравнение деформации (11.15).

Для нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы, имеем уравнения:

равновесия деформации (физико-геометрическое) (11.16).

[image]

 

Не производя промежуточных выкладок, приведем формулы для расчета пространственной нити под действием произвольной нагрузки. При этом будем пользоваться пространственной системой прямоугольных координат 0ХУ2. Перемещения точек нити вдоль координатной оси V обозначим через V. Относительно оси X нить, по-прежнему, принимается пологой.

Для расчета пространственной пологой нити, представленной в виде непрерывной шарнирной цепи, имеем уравнения:

равновесия

[image]


деформации

[image]

Для нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы, запишем уравнения: равновесия

[image]

Нить под действием произвольной только вертикальной нагрузки.

В этом случае <?* — 0 и щг Ф 0 и уравнения равновесия (11.17) примут следующий вид:

[image]

Из первого уравнения следует, что Н = сопз1, и тогда второе преобразуется к следующему виду:

[image]

Обе части уравнения деформации (11.15) проинтегрируем подлине пролета нити /

[image]

[image]

 

где Д — полная величина деформации нити в горизонтальномт направлении и выражается интегралом ] .

[image]

После интегрирования по всей длине нити / деформации в горизонтальном направлении,естественно, выражаются через перемещения конечной и начальной точек нити

[image]

Представляет интерес сравнение фигур равновесия нити под воздействием вертикальной нагрузки, если рассматривать ее как пологую и не вводить гипотезу о пологости.

Рис. 11.10. Нить под действием равномерной нагрузки, распределенной по длине: а — пролета; б — нити.

Проинтегрировав уравнение равновесия (11.23) два раза, найдем фигуру равновесия нити, равномерно загруженной по пролету распределенной нагрузкой цг. Произвольные постоянные при интегрировании определим исходя из положения нити относительно системы координат по рис. 11.10, а. Полагая, что при х = 0 г — а, а также приняв, что

тт

а = —, получим уравнение фигуры равновесия

[image]

т. е. уравнение квадратной параболы, смещенной по оси г от начала координат на величину а.

Если при расчете не вводят гипотезу о пологости нити, равномерно распределенная нагрузка на единицу пролета подлине изменяется, т. е. нагрузка принимается равномерно распределенной не по длине пролета, а по длине нити (рис. 11.10, б). Тогда уравнение формы равновесия будет иметь вид

[image]

где а — смещение вершины кривой относительно начала координат

вдоль оси 2. При этом, как и прежде,[image]

Таким образом, форма равновесия представляет собой цепную линию. Разложив показательные функции уравнения цепной линии в степенные ряды и выполнив необходимые преобразования, получим уравнение цепной линии в виде следующего ряда:

[image]

 [image]

Нетрудно заметить, что первые два члена ряда представляют собой уравнение параболы второй степени, выведенное выше при рассмотрении фигуры равновесия нити при нагрузке, равномерно распределенной по ее горизонтальному пролету, л По аналогии с (11.17) уравнение равновесия для каждого узла нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы, будет иметь вид:

Рис. 11.11. уровнях.

Нить с опорами на разных

[image]

По аналогии с (11.24) выражение деформации можно записать так:

[image]

 

Нить с несмещаемыми опорами в горизонтальном направлении под действием вертикальной нагрузки. В этом случае горизонтальные смещения начальной и конечной точек равны нулю и, следовательно, Д *и = 0. Отсюда для нити, представленной в виде непрерывной шарнирной цепи, уравнения равновесия примут вид (11.23), а деформации

[image]

Для нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы, уравнения равновесия примут вид (11.25), а деформации

[image]

Нить с опорами на разных уровнях. Если перепад высот опорных точек нити небольшой, то расчет производится как для обычных нитей. При этом погрешность находится в пределах введенной гипотезы о пологости.

В случае значительного перепада высот опорных точек нити последнюю можно рассчитать как пологую относительно линии, соединяющей опорные точки (рис. П. 11). Для этого систему координат следует повернуть таким образом, чтобы ось Х1 была параллельна линии, соединяющей опорные точки. Используя приведенные формулы, соответствующие каждому конкретному случаю, определяют усилия и перемещения, величины которых затем преобразуют относительно первоначальной системы координат.

Нить с начальной длиной, равной пролету под действием произвольной горизонтальной нагрузки. В этом случае цхФ§\ цг0 и уравнения равновесия запишем формулами:

[image]

Так как рассматриваются пологие нити относительно принятой системы координат, то[image]и, следовательно, второе уравнение всегда удовлетворяется тождественно. Учитывая подобие форм нити до и после деформации, можно записать, что и[image]

Таким образом, напряженно-деформированное состояние пологой нити под действием произвольной горизонтальной нагрузки описывают уравнениями:

равновесия[image]

деформации[image]

По аналогии для нити, представленной в виде шарнирно-стержне-вой системы, запишем уравнения:

равновесия[image]

деформации[image]

Нетрудно заметить, что уравнения (11.29) и (11.30) характеризуют состояние элемента, нагруженного осевыми силами, каким в действительности и является пологая нить под действием горизонтальной нагрузки.

Учитывая, что величина усилия в нити не является постоянной, а изменяется по длине нити в зависимости от горизонтальной нагрузки, уравнения (11.29) и (11.30) записаны для деформации дифференциально малого элемента нити (стержня) и не проинтегрированы (просуммированы) для всей нити, как было выполнено ранее для других частных случаев.  Нить с предварительным натяжением под действием произвольной нагрузки. Предварительное натяжение можно рассматривать как начальное усилие в нити. Окончательное усилие в нити будет слагаться из начального предварительного натяжения и приращения усилия от деформации.

Таким образом, уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние предварительно напряженной нити под действием произвольной нагрузки будет иметь вид (11.17), а деформации

[image]

Для нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы уравнения: равновесия (11.18) и деформации

[image]

(11.32)

Нить при отсутствии нагрузки в пределах рассматриваемой длины. Рассмотрение такого частного случая представляет интерес с точки зрения сравнения расчетных схем нитей в виде непрерывной шарнирной цепи и в виде шарнирно-стержневой системы. В этом случае цх = 0; <?г = 0 и уравнение (11.23) примет вид

[image]

Если Н = 0, то величина[image]являющаяся для пологих нитей

кривизной, при отсутствии нагрузок может принимать значения, отличные от нуля, что свидетельствует о принятии нитью в пространстве (плоскости) любой формы. Впрочем, это очевидно из чисто физического смысла состояния ненагруженной нити. Не рассматривая такой тривиальный случай, перейдем к следующему возможному состоянию. Примем, что[image], тогда.[image] Равенство

нулю выражения кривизны нити свидетельствует, что фигура равновесия нити, естественно, представляет собой прямую линию. Поэтому можем записать, что

[image]

С другой стороны,[image]

откуда[image]

Это свидетельствует, что формы нити до и после деформации подобны и

[image]

[image]

Обе части уравнения деформации (11.15) проинтегрируем по длине некоторого участка нити п, п + 1, имеющего длину Дх.

Разделив обе части на Ах и приняв, что пп+1 ипЛи, получим уравнение деформации для нити, представленной в виде непрерывной шарнирной цепи при отсутствии нагрузки в пределах участка нити длиной Ах.

[image]

Как видим, это уравнение полностью совпадает с уравнением деформации (11.16), выведенным для- нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы с узловыми нагрузками. Такое совпадение уравнений свидетельствует о том, что принятие расчетной схемы нити в виде шарнирно-стержневой системы соответствует точному решению при отсутствии внеузловой нагрузки и рассмотрению нити как непрерывной шарнирной цепи.

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:5379 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:8485 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:5231 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Подливка оборудования бетонной смесью и …

Подливку оборудования выполняют не позднее 48 ч после проверки точности выверки оборудования в соответствии с требованиями СНиП 3.05.05-84. Подливаемые поверхности...

12-08-2009 Просмотров:22632 Монтаж компрессоров, насосов и вентиляторов

Режимы и методы спутниковых геодезически…

Спутниковая геодезическая аппаратура обеспечивает возможность работы в различных режимах. В режиме "Статика" одновременные измерения на двух или нескольких пунктах выполняются неподвижными приемниками. Один из приемников принимают за базовый. Положение остальных приемников...

13-08-2010 Просмотров:35978 Инженерная геодезия. Часть 2.

Характеристики процессов электрической р…

Характеристики электрической релаксации определяются с применением уравнений, описывающих изменения электрических свойств мерзлых пород в зависимости от частоты и температуры. Выше было показано (см. § 2 и 5 главы II), что коэффициент...

27-09-2011 Просмотров:6365 Электрические и упругие свойства криогенных пород