Menu

Инварианты напряженного и деформированного состояний грунтовой среды

Применение инвариантов напряженного и деформированного состояний в механике грунтов началось с появления и развития исследований грунтов в приборах, позволяющих осуществлять двух- и трехосное деформирование образцов в условиях сложного напряженного состояния. Ниже приводятся некоторые общие сведения из механики сплошной среды, связанные с понятием инвариантов, и дается краткая характеристика в основном тех из них, которые используются для описания поведения грунтов при статическом их нагружении.

В случае пространственной задачи напряженное состояние в любой точке сплошной среды полностью характеризуется нормальными а*, о у, о2 и касательными хху, ху2, х напряжениями. Совокупность этих напряжений, представленных в виде таблицы (матрицы), определяет тензор напряжений

[image]

 

Рис. 10.1. Разложение напряженного состояния при выделении шарового тензора и девиатора напряжений

Аналогичным образом и деформированное состояние в точке среды определяется симметричным тензором деформации через линейные е*, ег и угловые ухц, у,, у или главные деформации ех, г.л, г3:

[image]

 

Главные напряжения о1, сг2, а3 и главные деформации е1; е2, е3 не зависят от выбора координатной системы х, у, г и являются примерами наиболее простых инвариантных величин. В общем случае инвариантами тензоров называются их компоненты или комбинации компонентов, которые не меняются при изменении координатной системы. Главные напряжения и деформации как инварианты тензоров Ти и Гд обладают тем недостатком, что они не позволяют однозначно сравнивать одноименные неодинаковые тензоры. Например, при оценке деформированных состояний только сравнением величин ех, е2, е3 невозможно, в частности, установить, какое из этих состояний является более опасным с точки зрения возможного разрушения одного и того же материала. В связи с этим в различных разделах механики сплошной среды широко используются инварианты, образуемые из компонентов тензоров Тн и Тя.

При исследованиях напряженного и деформированного состояний принято тензоры напряжений и деформаций представлять суммой шарового тензора и девиатора. В случае напряженного состояния Тп = т1 тО„ или

[image]

 

Представление тензора Тн в виде (10.2) соответствует разложению рассматриваемого напряженного состояния на два (рис. 10.1), из которых первое является равномерным всесторонним сжатием интенсивностью сгср = (ах + ау + сгг)/3, а второе отвечает случаю, когда сумма нормальных напряжений равна нулю (ах — аср + ои

Аналогичным образом тензор деформаций может быть представлен суммой шарового тензора и девиатора деформаций Тд = Гд + + Од, которые через главные деформации е2, е3 записываются в виде

при этом

°ср = (°х + °2 4" сз)/ 3- (10.3)

где ву1—объемная деформация, а еср называется средней деформацией.

(10.4)

[image]

[image]

Шаровой тензор деформации Тд отвечает равномерному укорочению (удлинению) всех ребер элементарного кубика и характеризует объемную деформацию среды (рис. 10.2, а).

Девиатор деформации йя отвечает таким удлинениям (укорочениям) ребер элементарного кубика по направлениям главных деформаций (по направлениям 1,2,3 — рис. 10.2, б), при которых изменения объема не происходит, и характеризует изменение формы, под которым понимается отклонение от геометрического подобия, но при постоянстве объема среды.

Рис. 10.2. Деформированные состояния, отвечающие шаровому тензору деформации (а) и девиатору деформаций (б)

В отличие от шаровых тензоров любой из девиаторов 1)н или состоит из компонентов, которые имеют различные значения и непосредственное сопоставление девиаторов в различных точках среды становится затруднительным. С целью возможности такого сопоставления и количественной оценки любого девиатора в механике сплошной среды были предложены специальные инвариантные величины, образуемые из компонентов '1ц девиаторов. В частности, для оцен- ки степени формоизменения в данной точке среды применяются инварианты ег или Г, именуемые соответственно интенсивностью деформаций и интенсивностью деформаций сдвига. Эти величины с
точностью до числовых множителей пропорциональны деформации сдвига у о кт на октаэдрической площадке, которая одинаково наклонена к главным направлениям 1, 2, 3 (см. § 2.3). Из теории напряжений и деформаций известно, что

[image]

 

т. е. деформация сдвига на октаэдрической площадке пропорциональна геометрической сумме компонентов девиатора (арифметическая сумма компонентов всегда равна нулю).

Величины ег или Г определяются зависимостями

[image]

(10.5)

и позволяют однозначно сравнивать деформированные состояния в различных точках среды по величине деформации формы.

Для характеристики степени отклонения тензора напряжений от гидростатического (стг = а2 = а3) напряженного состояния применяют инварианты, аналогичные величинам ег или Г, а именно: интенсивность напряжений

[image]

 

[image]

 

Заметим, что аь и Т пропорциональны величине сдвигающего напряжения на октаэдрической площадке т0КТ, определяемого по зависимости (2.53).

Поскольку полная характеристика тензора напряжений или деформаций обеспечивается только тремя независимыми инвариантами, в механике грунтов помимо двух пар, приведенных выше инвариантов сгср, о; или Т, еср, е* или Г, в качестве третьих инвариантов приняты параметры Лоде р, и вида напряженного и деформированного состояний, выражения (2.56) для которых приводятся в§ 2.3.

Рассмотренные выше зависимости (10.3) — (Ю.7) и (2.56) опреде- деляют инварианты 0ср, или Т, р,7 и еср, 8; или Г, (.и через главные напряжения или деформации. В свою очередь, эти же зависимости позволяют получить выражения для главных напряжений и деформаций

через перечисленные инварианты. В частности, главные напряжения через инварианты аср, 'Г, р, выражаются следующим образом:

[image]

 [image]

В работах по механике грунтов формулы (10.8) находят применение при анализе и сопоставлении различных условий прочности грунтов. Например, условие Кулона (2.38) с учетом формул (10.8) записывается следующим образом:

(10.9)[image]

При решении некоторых, в том числе упругопластических задач плоской деформации удобными оказались инварианты напряжений

(10.10)[image]

называемые интенсивностью касательных напряжений при плоской деформации и средним давлением при плоской деформации, и инвариант деформаций.

 

 

и легко геометрически интерпретируется в координатах Тпл, оср.пл.

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:5105 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:8286 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:5083 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Факторы, влияющие на силу прихвата моноо…

Большие трудности могут возникать при извлечении из грунта моноопоры после завершения бурения скважины на море. Усилие (кН), необходимое для извлечения труб, зависит в основном от диаметра и длины погруженных в...

30-01-2011 Просмотров:4513 Морские буровые моноопорные основания

Виды внутренней отделки

К элементам внутренней отделки зданий относятся штукатурка, облицовка, лепные украшения, малярные и обойные работы. Элементы внутренней отделки имеют декоративное, защитное и санитарно-гигиеническое значение. Известково-песчаные растворы применяют при оштукатуривании каменных стен в...

01-04-2010 Просмотров:16758 Эксплуатация жилых зданий

Втискування плоского циліндричного інден…

Плоский циліндричний штамп втискується в пружний на півпростір силою Р, що діє по осі Z (рис. 20). Задача осесиметрична, тому її розв’язок дається в циліндричних гладжуаатах (задача Чаплигіна–Садовського). Розподіл тиску по...

25-09-2011 Просмотров:4034 Механіка гірських порід