Menu

Инварианты напряженного и деформированного состояний грунтовой среды

Применение инвариантов напряженного и деформированного состояний в механике грунтов началось с появления и развития исследований грунтов в приборах, позволяющих осуществлять двух- и трехосное деформирование образцов в условиях сложного напряженного состояния. Ниже приводятся некоторые общие сведения из механики сплошной среды, связанные с понятием инвариантов, и дается краткая характеристика в основном тех из них, которые используются для описания поведения грунтов при статическом их нагружении.

В случае пространственной задачи напряженное состояние в любой точке сплошной среды полностью характеризуется нормальными а*, о у, о2 и касательными хху, ху2, х напряжениями. Совокупность этих напряжений, представленных в виде таблицы (матрицы), определяет тензор напряжений

[image]

 

Рис. 10.1. Разложение напряженного состояния при выделении шарового тензора и девиатора напряжений

Аналогичным образом и деформированное состояние в точке среды определяется симметричным тензором деформации через линейные е*, ег и угловые ухц, у,, у или главные деформации ех, г.л, г3:

[image]

 

Главные напряжения о1, сг2, а3 и главные деформации е1; е2, е3 не зависят от выбора координатной системы х, у, г и являются примерами наиболее простых инвариантных величин. В общем случае инвариантами тензоров называются их компоненты или комбинации компонентов, которые не меняются при изменении координатной системы. Главные напряжения и деформации как инварианты тензоров Ти и Гд обладают тем недостатком, что они не позволяют однозначно сравнивать одноименные неодинаковые тензоры. Например, при оценке деформированных состояний только сравнением величин ех, е2, е3 невозможно, в частности, установить, какое из этих состояний является более опасным с точки зрения возможного разрушения одного и того же материала. В связи с этим в различных разделах механики сплошной среды широко используются инварианты, образуемые из компонентов тензоров Тн и Тя.

При исследованиях напряженного и деформированного состояний принято тензоры напряжений и деформаций представлять суммой шарового тензора и девиатора. В случае напряженного состояния Тп = т1 тО„ или

[image]

 

Представление тензора Тн в виде (10.2) соответствует разложению рассматриваемого напряженного состояния на два (рис. 10.1), из которых первое является равномерным всесторонним сжатием интенсивностью сгср = (ах + ау + сгг)/3, а второе отвечает случаю, когда сумма нормальных напряжений равна нулю (ах — аср + ои

Аналогичным образом тензор деформаций может быть представлен суммой шарового тензора и девиатора деформаций Тд = Гд + + Од, которые через главные деформации е2, е3 записываются в виде

при этом

°ср = (°х + °2 4" сз)/ 3- (10.3)

где ву1—объемная деформация, а еср называется средней деформацией.

(10.4)

[image]

[image]

Шаровой тензор деформации Тд отвечает равномерному укорочению (удлинению) всех ребер элементарного кубика и характеризует объемную деформацию среды (рис. 10.2, а).

Девиатор деформации йя отвечает таким удлинениям (укорочениям) ребер элементарного кубика по направлениям главных деформаций (по направлениям 1,2,3 — рис. 10.2, б), при которых изменения объема не происходит, и характеризует изменение формы, под которым понимается отклонение от геометрического подобия, но при постоянстве объема среды.

Рис. 10.2. Деформированные состояния, отвечающие шаровому тензору деформации (а) и девиатору деформаций (б)

В отличие от шаровых тензоров любой из девиаторов 1)н или состоит из компонентов, которые имеют различные значения и непосредственное сопоставление девиаторов в различных точках среды становится затруднительным. С целью возможности такого сопоставления и количественной оценки любого девиатора в механике сплошной среды были предложены специальные инвариантные величины, образуемые из компонентов '1ц девиаторов. В частности, для оцен- ки степени формоизменения в данной точке среды применяются инварианты ег или Г, именуемые соответственно интенсивностью деформаций и интенсивностью деформаций сдвига. Эти величины с
точностью до числовых множителей пропорциональны деформации сдвига у о кт на октаэдрической площадке, которая одинаково наклонена к главным направлениям 1, 2, 3 (см. § 2.3). Из теории напряжений и деформаций известно, что

[image]

 

т. е. деформация сдвига на октаэдрической площадке пропорциональна геометрической сумме компонентов девиатора (арифметическая сумма компонентов всегда равна нулю).

Величины ег или Г определяются зависимостями

[image]

(10.5)

и позволяют однозначно сравнивать деформированные состояния в различных точках среды по величине деформации формы.

Для характеристики степени отклонения тензора напряжений от гидростатического (стг = а2 = а3) напряженного состояния применяют инварианты, аналогичные величинам ег или Г, а именно: интенсивность напряжений

[image]

 

[image]

 

Заметим, что аь и Т пропорциональны величине сдвигающего напряжения на октаэдрической площадке т0КТ, определяемого по зависимости (2.53).

Поскольку полная характеристика тензора напряжений или деформаций обеспечивается только тремя независимыми инвариантами, в механике грунтов помимо двух пар, приведенных выше инвариантов сгср, о; или Т, еср, е* или Г, в качестве третьих инвариантов приняты параметры Лоде р, и вида напряженного и деформированного состояний, выражения (2.56) для которых приводятся в§ 2.3.

Рассмотренные выше зависимости (10.3) — (Ю.7) и (2.56) опреде- деляют инварианты 0ср, или Т, р,7 и еср, 8; или Г, (.и через главные напряжения или деформации. В свою очередь, эти же зависимости позволяют получить выражения для главных напряжений и деформаций

через перечисленные инварианты. В частности, главные напряжения через инварианты аср, 'Г, р, выражаются следующим образом:

[image]

 [image]

В работах по механике грунтов формулы (10.8) находят применение при анализе и сопоставлении различных условий прочности грунтов. Например, условие Кулона (2.38) с учетом формул (10.8) записывается следующим образом:

(10.9)[image]

При решении некоторых, в том числе упругопластических задач плоской деформации удобными оказались инварианты напряжений

(10.10)[image]

называемые интенсивностью касательных напряжений при плоской деформации и средним давлением при плоской деформации, и инвариант деформаций.

 

 

и легко геометрически интерпретируется в координатах Тпл, оср.пл.

Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:2842 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:5752 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:2923 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Байтовые сети произвольной структуры

Многообразие структур вантовых сетей, отличающихся иногда большой нерегулярностью, предопределяет необходимость более общего подхода при выводе уравнений напряженно-деформированного состояния их. В качестве основного элемента при рассмотрении напряженно-деформированного состояния произвольной пологой сети примем...

20-09-2011 Просмотров:3303 Вантовые покрытия

Загальні відомості про будову землі та о…

На сьогодні гірничі роботи проводять на глибинах до 1000-1500 м. В Європі є деякі копальні, глибина яких сягає близько 2000 м, в ПАР та Індії на окремих рудниках розробку провадять...

25-09-2011 Просмотров:4574 Механіка гірських порід

5.1. Сущность доминанты

В предшествующих главах мы рассмотрели основные моменты, связанные с созданием КГХ синтетическим путем и идеологией этого процесса, теперь настало время обратиться кратко к некоторым результатам этой деятельности, переходя на уровень...

03-03-2011 Просмотров:5412 Комплексные географические характеристики