Menu

Экстремальные принципы определения параметров вантовых сетей

Рассмотрим вантовую сеть, представленную мгновенно-жесткой шарнирно-стержневой системой.

Топология системы задана матрицей инценденций стержней и узлов Аа1, где а — 1, 2,..., т — число стержней; г = 1, 2 п — число узлов. Имеют место необходимые топологические признаки мгновенно-жесткой системы. Задана также конфигурация закрепленных узлов.

Определению подлежат:

х1, у', г1 — координаты узлов, определяющие конфигурацию системы; Уа — объемы стержней такие, при которых удовлетворяются условия прочности для линейно упругого материала.

Решение оптимально, если суммарный объем материала системы минимален.

Сформулируем и затем рассмотрим экстремальные принципы, которые могут быть положены в основу решения поставленных задач. При формулировании этих принципов были использованы идеи, изложенные в известных работах А. А. Чираса и относящиеся прежде всего к двойственному характеру экстремальных принципов в строительной механике [61].

I. Сумма взятых с весовыми коэффициентами длин стержней мгновенно-жесткой системы минимальна, если эта сумма представле на как функционал координат узлов, определяющих конфигурацию шарнирно-стержневой системы с недостающим числом связей.

II. Потенциальная энергия оптимальной шарнирно-стержневой системы, представленная как функционал распределения в стержнях (заданного условиями прочности) объема линейно упругого материала и как функционал кинематически допустимых смещений узлов, имеет максимальное из всех минимальных значений, соответствующих действительным для каждого распределения объема смещениям узлов.

Рассмотрим первый принцип.

Сумма длин стержней 1а, взятых с весовыми коэффициентами ка, может быть представлена как

[image]

[image]

причем

Сформулированный принцип утверждает, что для мгновенно-жесткой системы имеет место

[image]

или соответствующая система уравнений:

[image]

Проанализируем полученные выражения.

По определению мгновенно-жесткая система это — система, не допускающая смещений узлов при недостаточном числе абсолютно жестких связей — стержней. Если функция Ь имеет строгий минимум, а это значит, что система уравнений имеет единственное

решение, то, следовательно, полученные в результате этого решения координаты узлов системы с недостающими связями определят единственно возможную конфигурацию мгновенно-жесткой системы.

Система уравнений представляет собой уравнения равновесия узлов вантовой сети с заданными с точностью до постоянного множителя усилиями предварительного натяжения. Эти усилия, точнее, соотношения между ними, представлены коэффициентами ка. Следовательно, для определения конфигурации мгновенно-жесткой системы достаточно, чтобы были известны усилия преднапря-жения ее стержней 5а = ска.

Следуя Э. Н. Кузнецову, можно рассматривать функцию Ь как статический потенциал мгновенно-жесткой системы. Отсюда , если известны усилия в стержнях системы при действии внешних сил РХ1, РУ1, Р21, можно определить конфигурацию узлов системы в положении равновесия. Для этого достаточно функцию Ь сложить с потенциалом внешних сил [image]и

потребовать, чтобы

[image]

Для пологой вантовой сети имеют место соотношения: Тогда[image][image]

После разложения в ряд Тейлора для определения конфигурации пологой мгновенно-жесткой системы достаточно потребовать

[image]

[image]

или решить систему уравнений

Следует отметить, что коэффициенты ка, соответствующие величинам преднапряжений стержней вантовой сети, должны назначаться такими, чтобы квадратичная форма, минимум которой соответствует конфигурации пологой мгновенно-жесткой системы, была бы положительно определенной. Нетрудно видеть, что для этого достаточно, чтобы все коэффициенты ка были бы положительными. Требование положительной определенности квадратичной формы прибретает особый смысл, когда имеет место общий случай стремления части стержней увеличить либо сохранить свою длину.

В этом случае конфигурация мгновенно-жесткой системы может быть определена на основании принципа

[image]

при ограничениях:

[image]

Величины должны назначаться исходя из следующих соотношений. Если

то[image]

После подстановки значений ка и отбрасывания постоянной части получим

[image]

при условиях

[image]

[image]

или систему уравнении:

[image]

После введения множителей Лагранжа получим окончательно

[image]

Величины Яр соответствуют значениям усилий преднапряжения в стержнях, длина которых стается постоянной.

Рассмотрим второй принцип.

Потенциальная энергия для шарнирно-стержневой системы может быть записана так:

[image]

где Рх[, РуЬ Рг(внешние силы;

и1, V1, к/ — перемещения узлов; еа — деформация стержней. Имеют место соотношения:

[image]

Сформулированный принцип утверждает, что для оптимальной системы достигается

[image]

при ограничении[image]

Причем величина V такова, что выполняется условие тах |еа| •< < | епр |, где епр — предельная допустимая деформация для стержней системы. После введения множителя Лагранжа получим:

[image]

Если варьировать величиной V, то соответственно будет меняться величина Я. Покажем, что для соблюдения условий прочности достаточно, чтобы[image]

После подстановки значения % рассматриваемый принцип может быть представлен так:

[image]

В предположении выпуклости функции П после дифференцирования по переменным получим две группы соотношений:

[image]

Таким образом, все параметры могут быть определены в результате последовательного решения двух задач:

а) определить перемещения узлов, соответствующие максимуму работы внешних сил, при ограничениях на величины максимальныхпо модулю деформаций стержней, что при постоянном модуле упругости соответствует условиям прочности;

б) определить объемы стержней, соответствующие минимуму суммарного объема материала системы, при выполнении условий равновесия узлов системы с заданными величинами деформаций стержней, найденными при решении первой задачи.

Проанализируем полученные результаты.

В соответствии с рассматриваемым принципом искомое решение является седловой точкой функционала перемещений узлов и неотрицательных объемов стержней, которым представлена потенциальная энергия системы.

Очевидно, что каждому распределению заданного объема материала между стержнями системы, находящейся в положении равновесия, соответствует минимум потенциальной энергии. Среди допустимых распределений найдется такое, при котором максимальные деформации стержней будут минимальны, и поскольку полная энергия системы, находящаяся в положении равновесия, всегда отрицательна, этому распределению будет соответствовать максимум этой энергии. Понятно, что соответствующим подбором величины % можно получить такое значение V, при котором максимальные деформации стержней будут равны предельно допустимым значениям. Таким образом, оптимальной системе соответствует максимум потенциальной энергии среди всех минимальных значений, соответствующих действительным (для каждого распределения объема) перемещениям узлов. С другой стороны, функция Лагранжа, образованная из соотношений первой группы, совпадает с исходной функцией П, в которой переменные Уа играют роль множителей Лагранжа. Следовательно, решение первой задачи, где требуется удовлетворить условия прочности, не противоречит соотношениям второй группы, где минимизируется, суммарный-объем материала в стержнях системы при дополнительных условиях равновесия узлов системы.

Для линейно деформируемой системы отыскание оптимального решения сводится к задачам линейного программирования, которые с точностью до обозначений совпадают с известными формулировками подобных задач [37].

Рассмотрим эту задачу применительно к расчету Байтовой фермы.

[image]

Требуется найти при ограничении

[image]

где А — работа внешних сил Рь (/ = 1, 2, ..., п — 1) на перемещениях соответствующих узлов; шг — вертикальные перемещения г'-того узла;

8/ — относительное удлинение /-той нити от усилия предварительного напряжения; б,- — окончательное относительное удлинение /-той нити (/ = 1, 2);

е^Р = [-К МЕ — допускаемое относительное удлинение нитей. Выражение для олределения относительной деформации нити имеет вид (элементы высших порядков малости опущены):

[image]

где Ь — пролет нити;

Дгг — величина проекции {'-того участка на вертикальную ось до приложения внешней нагрузки; 1г — длина г-того участка. Это выражение — некоторая квадратичная форма. Исследование нелинейной части выполним на примере отдельной провисшей

нити (е° = 0), моделируемой тремя стержнями. При этом /х = /, =  /8 = /; Агг = Аг3 = Аг; Аг2 = 0. Ограничение по деформациям[image]приобретает вид

где относительная деформация нити

[image]

[image]

Границы области допустимых решений, описываемые выражениями

[image]

[image]

 

представляют собой эллипсы (рис. 1У.8). Очевидно, что увеличе- Рис. 1У.8. Область допустимых ре-ние числа узлов, изменение геомет- шений для нити. рических параметров и величин

преднапряжения не влияет на характер допустимой области решений.

Для вантовых ферм при различных значениях величины преднапряжения область, образуемая пересечением областей для каждой из нитей, может оказаться как выпуклой, так и невыпуклой.

[image]

Рис. 1У.9. Области допустимых решений для ферм.

Величина преднапряжения является свободным членом в выражении ограничения по деформациям и влияет на длину осей кривой. Следовательно, изменение предварительного напряжения меняет также-вид допустимой области решений. На рис. IV.9 показано две области, когда ограничения на деформации принимают соответственно предельные значения (е = 0, е = бпР). Для фермы с поясами одинаковой кривизны допустимая область решений всегда  выпукла при е° > -уе^,.

Анализ возможных допустимых решений для ферм позволяет сформулировать аналитический признак того или иного вида области. Приведем его без доказательства.

Если решение системы двух уравнений, описывающих деформации поясов фермы (одно из них приравниваем е°, а другое е^р — — е°), дает два действительных корня, исследуемая область невыпуклая. В других случаях область выпуклая.

Для ферм с поясами различной кривизны допускаемая область несимметрична относительно оси /—/ (см. рис. 1У.9). При этом может оказаться, что одна часть области — выпуклая, а другая — невыпуклая.

Рассмотрим часто встречающийся в практике проектирования случай, когда параметры оптимальной системы определяются при дополнительных ограничениях на величины смещений узлов или на соотношения между ними. Не вдаваясь в детали, укажем, что в конечном счете задача сводится к определению объемов стержней' системы при заданных величинах перемещений. Очевидно, что такая задача не всегда имеет решение. Сформулируем достаточные условия существования решения..

Решение имеет место, если найдутся такие 0 < ка •< 1, при которых перемещения, найденные в результате решения задачи

[image]

совпадают с заданными перемещениями.

[image]

После введения множителя Лагранжа получим:

[image]

Для понимания сути этого предложения обратимся к рассматриваемому принципу, изменив дополнительное ограничение на величину суммарного объема материала. Будем считать, что сумма объ-.емов стержней, взятых с весовыми коэффициентами, постоянная. 

Поскольку коэффициенты ка положительны, они определяют .необходимое увеличение объемов материала в стержнях системы для удовлетворения дополнительных ограничений на смещения узлов. В этом легко убедиться, если продифференцировать выражение для потенциальной энергии системы по всем переменным и сравнить с ранее полученными аналогичными соотношениями.

Покажем еще один способ получения функции Лагранжа в рас--сматриваемом принципе. Для этого будем искать минимум суммар-

ного объема материала (или сумму взятых с весовыми коэффициентами объемов стержней) при условии, что задана величина потенциальной энергии системы. Причем эта величина такова, что соблюдаются условия прочности и равновесия системы.

[image]

 

 

[image]

 

 

[image]

 

Разумеется, все вышеприведенные соображения не могут служить строгими доказательствами справедливости рассматриваемого принципа и являются лишь иллюстрациями к нему.

Перейдем теперь к отысканию параметров вантовой сети мини: мального объема. В начальном состоянии известны величины усилий предварительного напряжения 5x > 0. В соответствии с сформулированным принципом имеет место

[image]

 

Величины 5« должны быть назначены такими, чтобы во всех стержнях окончательные усилия были бы положительными и, следовательно, деформации е° + га > 0.

[image]

Обозначив задачи:  прийдем к следующей формулировке

[image]

Ограничения Уа >• 0 отброшены как несущественные вследствие соотношений Уа ~> У°а.

Далее введем АУа = Уа Уа и получим окончательно

[image]

 

Дифференцирование функции П по переменным вообще недопустимо из-за дополнительных ограничений А1/апреа) > У^еа, связывающих переменные Д1/а и и1, г/, т{. Исследуем эти ограни-

АУ чения. Обозначив ка = x  получим ограничения в виде

. Вследствие того что 0 •< ка •< 1, решение задачи нахождения

[image]

 

не противоречит решению, наиденному из

[image]

 

Таким образом, для определения параметров предварительно напряженной вантовой сети можно предложить следующий способ.

Из соотношений первой группы определяются знаки деформаций стержней (большее невозможно из-за неопределенности величин Ка). Для всех га > О назначаютсяи для всех

ер < 0 назначаются Д1/р = 0; а = 1, 2,[image]р1 = т\ + 1,.... т. После преобразования соотношений второй группы окончательно получим систему уравнений

[image]

в результате решения которых определяются параметры вантовои сети.

- Укажем теперь рекомендуемую последовательность определения параметров оптимальной Байтовой сети один раз статически неопределимой.

I. Определяется конфигурация вантовои сети при заданных усилиях преднапряжения и при действии внешних сил на основании принципа

[image]

II. Определяются перемещения узлов системы при переходе из нагруженного в ненагруженное состояние, а также объемы материала стержней вантовои сети на основании принципа

[image]

Эта рекомендация основана на следующих соображениях. Как правило, опорный контур находится в наиболее неблагоприятных условиях при действии расчетной нагрузки, поскольку усилия в вантах при этом достигают максимальных значений и неравномерно распределяются в системе. Предварительное назначение усилий в вантах нагруженной вантовои сети позволяет решить задачу прочности контура независимо от задачи прочности вантовои сети. Далее, если в нагруженном состоянии все стержни растянуты, то при переходе в ненагруженное состояние в стержнях не возникает сжимающих усилий и, следовательно, нет нужды в специальных приемах для учета односторонней работы стержней вантовои сети.

Такая последовательность расчета соблюдается многими авторами и впервые, по-видимому, была предложена Л. Г. Мухадзе [40],

 

Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:2842 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:5752 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:2923 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Мета і способи глушіння свердловин

Підготовка свердловин до ремонту передбачає їх глушіння, тобто створення умов для запобiгання вiдкритого фонтанування та викидів нафти i газу під час знiмання гирлового обладнання i пiднiмання труб iз свердловини. Глушіння фонтанних...

19-09-2011 Просмотров:3230 Підземний ремонт свердловин

Основные требования к приемке в эксплуат…

Приемка в эксплуатацию закопченных строительством новых жилых домов должна проводиться в соответствии с требованиями СНиП 3.01.04—87. Приемка жилых домов в эксплуатацию после КР независимо от их ведомственной принадлежности должна производиться...

13-02-2010 Просмотров:26795 Эксплуатация жилых зданий

Особенности динамического расчета вантов…

Особенности динамического расчета вантовых покрытий Деформативность, большой удельный вес временных нагрузок являются причинами повышенной чувствительности вантовых покрытий к динамическим воздействиям. Динамический расчет, сложный для обычных конструкций, еще больше усложняется для вантовых покрытий...

20-09-2011 Просмотров:4208 Вантовые покрытия