Menu

Динамика вантовых непологих систем произвольного вида

Динамика вантовых непологих систем произвольного вида

Составим выражение для кинетической энергии шарнирно-стерж-невой системы с массами, сосредоточенными в узлах

[image]

 

[image]

[image]

[image]

или в криволинейных координатах

Переходя в пространство конфигураций, получим 

 

[image]

 

Введем новые переменные

Тогда выражения для кинетической и потенциальной энергии примут вид:

Произведем еще одно преобразование.

Тензор преобразования Т( определим в результате решения характеристического уравнения[image]

где %1 — собственные числа; Т{ = ц°1\ <$ — собственный вектор, соответствующий собственному числу ^. После подстановки получим:

[image]

Если система находится в ненагруженном состоянии (^ = 0) в положении устойчивого равновесия, то, как известно, к/ > 0. Таким образом, функция Лагранжа будет иметь вид:

[image]

Функция Гамильтона Н определится после преобразования Лежан-Дра:[image]

 

Докажем следующее предложение: рассматриваемые шарнирно-стержневые системы в достаточно малой окрестности точки, соответствующей положению устойчивого равновесия, имеют периодические решения, разлагающиеся в ряды по степеням начальных значений ц = А1, и обладают периодом, разлагающимся в ряд по степеням А и обращающимся в -т— для А = 0.

Как видим, это предложение является пересказом утверждающей части известной теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений так называемых систем. Ляпунова. Следовательно, для доказательства достаточно показать, что рассматриваемые системы относятся к системам Ляпунова.

После преобразования к собственному времени т = ]/М получим функцию Гамильтона (первый интеграл системы)

[image]

 

очевидно, обладающую всеми свойствами первого интеграла систем Ляпунова, и канонические уравнения

[image]

 

которые также удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к системам Ляпунова, что и требовалось доказать
Рассмотрим теперь некоторые частные задачи, 

Задача определения свободных колебаний сводится к решению системы уравнений Лагранжа второго рода

[image]

или

[image]

при начальных условиях: I 0 <?/ = с"; & = Ь".

Для фактического построения решения используем алгоритм, изложенный в § 3 настоящей главы.

1. Решение с точностью до п(А1А1):

[image]

где

[image]

 

После подстановки результатов решения в исходные уравнения, отбрасывания членов, содержащих произведение двух и более А{, и приравнивания нулю коэффициентов при соз со,/ получим

[image]

Погрешность равна

[image]

2. Решение с точностью до 0(Л(-Л;-Л(г):

[image]

Для удовлетворения начальных условий необходимо определить $1к и Ь%и из уравнений:

[image]

После подстановки результатов в исходные уравнения, отбрасывания членов, содержащих произведения трех и более А[, и приравнивания НуЛЮ КОЭффиЦИеНТОВ При СОЗ СО/, СОЗ (<0;- + С0Й), С08 ((О/ —

— со/0 образуются уравнения:

[image]

Погрешность равна

[image]

После введения множителей имеем

[image]

3. Решение с точностью до 0гЛ/ЛйЛ/):

[image]

[image]

[image]

Из начальных условий имеем:

[image]

После подстановки их в исходные уравнения получим:

[image]

[image]

 

Дальнейшее уточнение решения нецелесообразно из-за громоздкости, тем более, что при выводе уравнений принятая точность соответствовала ^А^^кА^.

Задача определения установившихся вынужденных колебаний под действием периодической силы сводится к решению системы уравнений

[image]

Решение ищем в виде

[image]

После подстановки, приравняв нулю члены, содержащие соз паЛ, получим систему уравнений для вычисления коэффициентов А1п:

[image]

При рассмотрении этих уравнений видно, что при достаточно большом п Аща; 0. Это обстоятельство позволяет, задавшись точностью

[image]

—), ограничиться конечным числом уравнений.

Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:2871 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:5801 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:2955 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Эндогенные складки тектонического происх…

В зависимости от условий образования этой категории складчатости выделяются шесть типов складок: складки регионального смятия, облекания, гравитационного скольжения, приразрывные, складки, связанные с перемещением магмы в земной коре, и диапировые. ● Складки...

01-10-2010 Просмотров:5941 Геологическое картирование, структурная геология

Виды инженерного оборудования жилых здан…

Внутридомовые устройства водоснабжения и канализации. Сети водоснабжения состоят из магистральной линии, хозяйственных и пожарных стояков, разводящей линии, водоразборной и запорной арматуры (краны, бачки, вентили и т. п.). Разводка сети может быть...

01-04-2010 Просмотров:15348 Эксплуатация жилых зданий

Обоснование целесообразности бурения с м…

Морское буровое основание - элемент морской буровой установки (МБУ), на котором размещаются механизмы, оборудование и специальная аппаратура для выполнения комплекса работ по бурению скважин на море. К настоящему времени известно...

12-01-2011 Просмотров:5459 Морские буровые моноопорные основания