Menu

Поиск по сайту

Собрание уникальных книг, учебных материалов и пособий, курсов лекций и отчетов по геодезии, литологии, картированию, строительству, бурению, вулканологии и т.д.
Библиотека собрана и рассчитана на инженеров, студентов высших учебных заведений по соответствующим специальностям. Все материалы собраны из открытых источников.
 
 
 

Динамика вантовых непологих систем произвольного вида

Динамика вантовых непологих систем произвольного вида

Составим выражение для кинетической энергии шарнирно-стерж-невой системы с массами, сосредоточенными в узлах

[image]

 

[image]

[image]

[image]

или в криволинейных координатах

Переходя в пространство конфигураций, получим 

 

[image]

 

Введем новые переменные

Тогда выражения для кинетической и потенциальной энергии примут вид:

Произведем еще одно преобразование.

Тензор преобразования Т( определим в результате решения характеристического уравнения[image]

где %1 — собственные числа; Т{ = ц°1\ <$ — собственный вектор, соответствующий собственному числу ^. После подстановки получим:

[image]

Если система находится в ненагруженном состоянии (^ = 0) в положении устойчивого равновесия, то, как известно, к/ > 0. Таким образом, функция Лагранжа будет иметь вид:

[image]

Функция Гамильтона Н определится после преобразования Лежан-Дра:[image]

 

Докажем следующее предложение: рассматриваемые шарнирно-стержневые системы в достаточно малой окрестности точки, соответствующей положению устойчивого равновесия, имеют периодические решения, разлагающиеся в ряды по степеням начальных значений ц = А1, и обладают периодом, разлагающимся в ряд по степеням А и обращающимся в -т— для А = 0.

Как видим, это предложение является пересказом утверждающей части известной теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений так называемых систем. Ляпунова. Следовательно, для доказательства достаточно показать, что рассматриваемые системы относятся к системам Ляпунова.

После преобразования к собственному времени т = ]/М получим функцию Гамильтона (первый интеграл системы)

[image]

 

очевидно, обладающую всеми свойствами первого интеграла систем Ляпунова, и канонические уравнения

[image]

 

которые также удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к системам Ляпунова, что и требовалось доказать
Рассмотрим теперь некоторые частные задачи, 

Задача определения свободных колебаний сводится к решению системы уравнений Лагранжа второго рода

[image]

или

[image]

при начальных условиях: I 0 <?/ = с"; & = Ь".

Для фактического построения решения используем алгоритм, изложенный в § 3 настоящей главы.

1. Решение с точностью до п(А1А1):

[image]

где

[image]

 

После подстановки результатов решения в исходные уравнения, отбрасывания членов, содержащих произведение двух и более А{, и приравнивания нулю коэффициентов при соз со,/ получим

[image]

Погрешность равна

[image]

2. Решение с точностью до 0(Л(-Л;-Л(г):

[image]

Для удовлетворения начальных условий необходимо определить $1к и Ь%и из уравнений:

[image]

После подстановки результатов в исходные уравнения, отбрасывания членов, содержащих произведения трех и более А[, и приравнивания НуЛЮ КОЭффиЦИеНТОВ При СОЗ СО/, СОЗ (<0;- + С0Й), С08 ((О/ —

— со/0 образуются уравнения:

[image]

Погрешность равна

[image]

После введения множителей имеем

[image]

3. Решение с точностью до 0гЛ/ЛйЛ/):

[image]

[image]

[image]

Из начальных условий имеем:

[image]

После подстановки их в исходные уравнения получим:

[image]

[image]

 

Дальнейшее уточнение решения нецелесообразно из-за громоздкости, тем более, что при выводе уравнений принятая точность соответствовала ^А^^кА^.

Задача определения установившихся вынужденных колебаний под действием периодической силы сводится к решению системы уравнений

[image]

Решение ищем в виде

[image]

После подстановки, приравняв нулю члены, содержащие соз паЛ, получим систему уравнений для вычисления коэффициентов А1п:

[image]

При рассмотрении этих уравнений видно, что при достаточно большом п Аща; 0. Это обстоятельство позволяет, задавшись точностью

[image]

—), ограничиться конечным числом уравнений.

Оставьте свой комментарий

Оставить комментарий от имени гостя

0
  • Комментарии не найдены

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:7412 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:9930 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:6354 Грунты и основания гидротехнических сооружений