Динамика вантовых непологих систем произвольного вида

Составим выражение для кинетической энергии шарнирно-стерж-невой системы с массами, сосредоточенными в узлах

 

или в криволинейных координатах

Переходя в пространство конфигураций, получим 

 

 

Введем новые переменные

Тогда выражения для кинетической и потенциальной энергии примут вид:

Произведем еще одно преобразование.

Тензор преобразования Т( определим в результате решения характеристического уравнения

где %1 — собственные числа; Т{ = ц°1\ <$ — собственный вектор, соответствующий собственному числу ^. После подстановки получим:

Если система находится в ненагруженном состоянии (^ = 0) в положении устойчивого равновесия, то, как известно, к/ > 0. Таким образом, функция Лагранжа будет иметь вид:

Функция Гамильтона Н определится после преобразования Лежан-Дра:

 

Докажем следующее предложение: рассматриваемые шарнирно-стержневые системы в достаточно малой окрестности точки, соответствующей положению устойчивого равновесия, имеют периодические решения, разлагающиеся в ряды по степеням начальных значений ц = А¹, и обладают периодом, разлагающимся в ряд по степеням А и обращающимся в -т— для А = 0.

Как видим, это предложение является пересказом утверждающей части известной теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений так называемых систем. Ляпунова. Следовательно, для доказательства достаточно показать, что рассматриваемые системы относятся к системам Ляпунова.

После преобразования к собственному времени т = ]/М получим функцию Гамильтона (первый интеграл системы)

 

очевидно, обладающую всеми свойствами первого интеграла систем Ляпунова, и канонические уравнения

 

которые также удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к системам Ляпунова, что и требовалось доказать
Рассмотрим теперь некоторые частные задачи, 

Задача определения свободных колебаний сводится к решению системы уравнений Лагранжа второго рода

или

при начальных условиях: I — 0 <?/ = с"; & = Ь".

Для фактического построения решения используем алгоритм, изложенный в § 3 настоящей главы.

1. Решение с точностью до _п(А1А₁):

где

 

После подстановки результатов решения в исходные уравнения, отбрасывания членов, содержащих произведение двух и более А_{, и приравнивания нулю коэффициентов при соз со,/ получим

Погрешность равна

2. Решение с точностью до ₀(Л(-Л_;-Л(г):

Для удовлетворения начальных условий необходимо определить $1к и Ь%и из уравнений:

После подстановки результатов в исходные уравнения, отбрасывания членов, содержащих произведения трех и более А[, и приравнивания НуЛЮ КОЭффиЦИеНТОВ При СОЗ СО/, СОЗ (<0_;- + С0_Й), С08 ((О/ —

— со/0 образуются уравнения:

Погрешность равна

После введения множителей имеем

3. Решение с точностью до ₀(Л_гЛ_/ЛйЛ_/):

Из начальных условий имеем:

После подстановки их в исходные уравнения получим:

 

Дальнейшее уточнение решения нецелесообразно из-за громоздкости, тем более, что при выводе уравнений принятая точность соответствовала ^А^^кА^.

Задача определения установившихся вынужденных колебаний под действием периодической силы сводится к решению системы уравнений

Решение ищем в виде

После подстановки, приравняв нулю члены, содержащие соз паЛ, получим систему уравнений для вычисления коэффициентов А_1п:

При рассмотрении этих уравнений видно, что при достаточно большом п Аща; 0. Это обстоятельство позволяет, задавшись точностью

—), ограничиться конечным числом уравнений.