Динамика вантовых непологих систем произвольного вида
Динамика вантовых непологих систем произвольного вида
Составим выражение для кинетической энергии шарнирно-стерж-невой системы с массами, сосредоточенными в узлах
или в криволинейных координатах
Переходя в пространство конфигураций, получим
Введем новые переменные
Тогда выражения для кинетической и потенциальной энергии примут вид:
Произведем еще одно преобразование.
Тензор преобразования Т( определим в результате решения характеристического уравнения
где %1 — собственные числа; Т{ = ц°1\ <$ — собственный вектор, соответствующий собственному числу ^. После подстановки получим:
Если система находится в ненагруженном состоянии (^ = 0) в положении устойчивого равновесия, то, как известно, к/ > 0. Таким образом, функция Лагранжа будет иметь вид:
Функция Гамильтона Н определится после преобразования Лежан-Дра:
Докажем следующее предложение: рассматриваемые шарнирно-стержневые системы в достаточно малой окрестности точки, соответствующей положению устойчивого равновесия, имеют периодические решения, разлагающиеся в ряды по степеням начальных значений ц = А1, и обладают периодом, разлагающимся в ряд по степеням А и обращающимся в -т— для А = 0.
Как видим, это предложение является пересказом утверждающей части известной теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений так называемых систем. Ляпунова. Следовательно, для доказательства достаточно показать, что рассматриваемые системы относятся к системам Ляпунова.
После преобразования к собственному времени т = ]/М получим функцию Гамильтона (первый интеграл системы)
очевидно, обладающую всеми свойствами первого интеграла систем Ляпунова, и канонические уравнения
которые также удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к системам Ляпунова, что и требовалось доказать
Рассмотрим теперь некоторые частные задачи,
Задача определения свободных колебаний сводится к решению системы уравнений Лагранжа второго рода
или
при начальных условиях: I — 0 <?/ = с"; & = Ь".
Для фактического построения решения используем алгоритм, изложенный в § 3 настоящей главы.
1. Решение с точностью до п(А1А1):
где
После подстановки результатов решения в исходные уравнения, отбрасывания членов, содержащих произведение двух и более А{, и приравнивания нулю коэффициентов при соз со,/ получим
Погрешность равна
2. Решение с точностью до 0(Л(-Л;-Л(г):
Для удовлетворения начальных условий необходимо определить $1к и Ь%и из уравнений:
После подстановки результатов в исходные уравнения, отбрасывания членов, содержащих произведения трех и более А[, и приравнивания НуЛЮ КОЭффиЦИеНТОВ При СОЗ СО/, СОЗ (<0;- + С0Й), С08 ((О/ —
— со/0 образуются уравнения:
Погрешность равна
После введения множителей имеем
3. Решение с точностью до 0(ЛгЛ/ЛйЛ/):
Из начальных условий имеем:
После подстановки их в исходные уравнения получим:
Дальнейшее уточнение решения нецелесообразно из-за громоздкости, тем более, что при выводе уравнений принятая точность соответствовала ^А^^кА^.
Задача определения установившихся вынужденных колебаний под действием периодической силы сводится к решению системы уравнений
Решение ищем в виде
После подстановки, приравняв нулю члены, содержащие соз паЛ, получим систему уравнений для вычисления коэффициентов А1п:
При рассмотрении этих уравнений видно, что при достаточно большом п Аща; 0. Это обстоятельство позволяет, задавшись точностью
—), ограничиться конечным числом уравнений.
Комментарии
- Комментарии не найдены
Оставьте свой комментарий
Оставить комментарий от имени гостя