Menu

Байтовые системы со многими нелинейными параметрами

Байтовые системы произвольных структур в общем случае характеризуются многими нелинейными параметрами, так как усилия в нитях могут быть различными. Такие системы в общем случае не дают возможности получить решение в замкнутом виде и решаются различными численными методами.

Среди численных методов решения вантовых систем рассмотрим метод многоступенчатого нагружения и специальный, основанный на свойствах вантовых систем,— метод приведения нагрузки к равновесной.

Метод многоступенчатого нагружения. Будем исходить из уравнений (11.52) — (П.54), (11.57), описывающих статическую работу Байтовой сети произвольной структуры.

Пусть для некоторой нагрузки Рх, Ру, Рг известно решение, т. е. найдены перемещения {и = иг; V = ьг\ т = гх), соответствующие этой нагрузке.

Если принять, что при изменении нагрузки Рх, Ру, Рг на бесконечно малые величины йРх, йРу, йРг перемещения также изменятся на бесконечно малую величину йи, йь, дно, а величины дополнительных усилий изменятся соответственно на дН, то уравнения (11.52) (11.54), (11.57) примут вид:

[image]

При пренебрежении квадратами и кубами приращений перемещений и усилий как величинами высших порядков малости уравнения примут вид:

[image]

В результате сокращения в правых и левых частях равных выражений система будет выглядеть следующим образом:

[image]

[image]

 

В случае, когда вантовая сеть образована нитями, неподвижно закрепленными на контуре, уравнения имеют другой вид:

[image]

За исходное положение может быть принято любое, в том числе и ненагруженное состояние вантовой сети, когда нагрузка Рх = — Рд = Рг ~ 0, а следовательно, гх = 0 и Н = //„.

Решение системы нелинейных уравнений может быть получено с точностью до величин высших порядков малости, если прикладывать нагрузку бесконечно малыми порциями, считая каждое предыдущее состояние за исходное и решая каждый раз систему линейных уравнений.

Однако для практических расчетов вантовое покрытие можно загружать не бесконечно малой, а достаточно малой нагрузкой конечной величины, как это делается в известном способе конечных разностей, когда бесконечно малые величины в дифференциальных уравнениях заменяются малыми конечными величинами.

Таким образом, решение системы нелинейных уравнений сводится к решению рекуррентных систем линейных уравнений, т. е. к повторному решению системы линейных уравнений с меняющимися коэффициентами.

При решении систем нелинейных уравнений методом многоступенчатого нагружения очень важным этапом является выбор количества шагов или ступеней приложения внешней нагрузки. Дать конкретные рекомендации по выбору, количества шагов расчета в общем случае затруднительно, так как они зависят от особенностей каждой системы: степени нелинейности, характера внешней нагрузки и т. д.

При обычной часто встречающейся нелинейности системы внешнюю нагрузку достаточно разбить на несколько частей, чтобы получить достоверный результат решения.

С другой стороны, метод многоступенчатого нагружения, ввиду огромного количества вычислений, объем которых увеличивается с увеличением количества ступеней приложения нагрузки, целесообразен только при применении современных вычислительных машин. В этой связи количество ступеней нагружения может быть принято достаточно большим (в разумных пределах) и, таким образом, проблема выбора шага в определенной степени отпадает.

Вместе с тем заметим, что наиболее правильно шаг вычислений принимать переменным в процессе счета и размер его регулировать, исходя из условия заданной погрешности на каждом шаге. По сути такой процесс приведет к тому, что размер шага на первом этапе расчета будет значительно меньшим, чем на последующих. Принимая одинаковый размер шага для всего процесса счета, тем самым предопределяют погрешность решения, различную для всех шагов и наибольшую по величине на первых шагах.

Практика применения метода многоступенчатого нагружения для расчета вантовых покрытий показывает, что наиболее употребительный диапазон ступеней от 10 до 100, причем дальнейшее увеличение количества ступеней существенных поправок к результату не дает.

Пример 5. Определить перемещения узлов и усилия в нитях вантовой системы под воздействием вертикальной сосредоточенной силы Р5 = 1 т (рис. Ш.4). Начальная геометрия задана следующими аппликатами узлов:

[image]

Расстояние между узлами равно 5 м. Площади поперечных сечений всех нитей Р е= 2,0 см2. Модуль упругости материала нитей Е ■= 2 • 106 кг/см2. Усилия предварительного натяжения всех нитей Но = 2 Т.

Данный пример будем решать методом многоступенчатого нагружения, для чего внешнюю нагрузку Ръ = 1 Т разобьем на пять равных частей, т. е. будем рассматривать пять ступеней загружения вантовой системы. Количество ступеней выбрано произвольным и, преследуя учебные цели примера, небольшим. Внешняя нагрузка на каждой ступени Р§ = 0,2 Г.

1. В соответствии с выражением (111.22) составляем для узлов 4, 5, 8 и 9 уравнения равновесия на первой ступени нагружения:

[image]

для узла 4 (с учетом значений начальных аппликат узлов, расположенных на недеформируемом контуре)

для узлов 5, 8, 9 по аналогии

[image]

 

3. Значения усилий в нитях и приращения их, вычисленные выше, подставляем в уравнения равновесия и после некоторых преобразований получаем следующую систему линейных уравнений:

[image]

Находим корни данной системы уравнений:

[image]

Таким образом, в результате приложения первой ступени нагрузки узлы 5 и 8 переместились вниз, а узлы 4 и 9 — вверх.

4. Определяем усилия в нитях после первой ступени загружения:

[image]

где 21 — перемещения узлов на первой ступени;

[image]

 

Аналогично определяем усилия для других нитей. Приведем окончательный результат:

[image]

Таким образом, первый шаг расчета закончен. Второй и все последующие шаги зыполняются аналогично первому. 

При этом следует помнить, что исходная геометрия для каждого последующего шага определяется на основании решения предыдущего шага. Результат решения на каждом шаге приведен в табл. III.6.

 

 

 

 

 

 

Таб

лица

Ш.6

 

Перемещения, м

Усилия, т

Номер шага (ступени)

И)4

и»»

ЙУ8

а>9

«1-11

«2—12

«3-6

«7—10

1 . 2 3 4 5

—0,0203 —0,0183 —0,0145 —0,0115 —0,00945

0,02336 0,02136 0,01755 0,01448 0,01237

0,0193 0,0173 0,0136 0,0106 0,00859

—0,0203 —0,0183 —0,0145 —0,0115 —0,00945

2,142 2,383 2,659 2,935 3,199

1,832 1,792 1,808 1,840 1,874

2,320 2,765 3,260 3,765 4,266

1,984 2,071 2,198 2,329

2,454

2

—0,074

0,0891

0,0694

—0,074

 

 

 

 

[image]

Путем проверки равновесия любого узла в деформированном состоянии легко убедиться, что усилия и перемещения определены с достаточной степенью точности. Для сравнения приведем окончательный результат расчета этой же сети на ЭВМ. поинимая 100 циклов загоужения:

[image]

Таким образом, окончательный результат расчета: песемешения узлов

Метод приведения нагрузки к равновесной является приближенным методом решения, позволяющим сравнительно быстро и точно определить перемещения и усилия. Он основан на том, что под равновесную нагрузку расчет вантовых систем можно производить, пренебрегая нелинейными членами уравнений, причем точность решения будет такой же, как при расчете обычных строительных конструкций.

Покажем, что если нагрузка по своему характеру не является равновесной, то расчет вантовой сети можно свести к расчету некоторой другой вантовой сети на равновесную нагрузку, выполнив сравнительно несложные формальные преобразования. Метод приведения нагрузки к равновесной проиллюстрируем на примере континуальных перекрестных сетей, состоящих из двух семейств нитей.

Предположим, что начальное состояние вантовой сети определяется аппликатами г0 и соответствующими усилиями предварительного натяжения в нитях #° и Ну. Некоторое промежуточное деформированное состояние этой же сети будет определяться уже другими аппликатами гх — г0 + щ и соответствующими усилиями Нцх) = = Нх + Нцх) и Нцу) = щ + Н1Ш).

По аналогии окончательное деформированное состояние сети определяется аппликатами г2 = гх + щ и усилиями в нитях

Н2(х) = Нцх) + Ь,2(х) И #20/) = Нцу) + Н2(у).

Таким образом, окончательные аппликаты и усилия б Байтовой сети можно поелставить в следующем вилё:

[image]

Подставим эти выражения в уравнение равновесия (11.30)

[image]

или

[image]

[image]

 

Будем считать, что промежуточное состояние вантовои сети, определяемое аппликатами гг = г0 + щ, вызвано действием расчетной нагрузки при условии, что усилия в нитях до и после нагру-жения остаются равными величинам предварительного натяжения, т. е. промежуточное уравнение равновесия будет иметь вид

[image]

 

Вместе с тем,. учитывая начальное состояние предварительно напряженной вантовои сети

[image]

можем записать следующее выражение:

[image]

Подставим выражение (111.31) в уравнение (111.28), одновременно учитывая (111.30). После некоторых преобразований получаем

[image]

Таким образом, получили уравнение равновесия вантовои сети, определяемой исходными аппликатами г под действием нагрузок-невязок, значение которых определяется правой частью уравнения (III.32). При помощи его легко найти значение перемещения щ.

При этом легко заметить, что для этой системы невязки являются равновесной нагрузкой, а величины кцх) и Нцу) в данном

случае являются коэффициентами пропорциональности. Следовательно, нелинейными членами в уравнениях можно было бы пренебречь. Однако величины прогибов т1 определяли при рассмотрении Байтовой сети, усилия в нитях которой не изменяются по мере загруже-ния ее полной нагрузкой д2. Степень податливости такой системы может быть достаточно большой, перемещения ш1 — значительные и невязки, определяемые правой частью уравнения (111.32), будут намного превышать величины заданных действительных нагрузок. Иначе говоря, величины перемещений, определяемые на первом и втором этапах, необходимо свести к одному масштабу.

Если вспомогательную вантовую сеть, условие равновесия которой описывается уравнением (111.26), загрузить нагрузкой <7г» измененной в р раз (р<72). то определяемые перемещения будут иметь также соответствующее выражение тхр.

Тогда окончательные аппликаты будут г2 = г0 + и^р + Щ, а уравнение равновесия (111.28) несколько изменится

[image]

[image]

К левой части последнего выражения добавляем

[image]

Произведем некоторые преобразования, одновременно учитывая, что щ определяется из уравнения (111.29),

Одновременно некоторые члены (111.33) умножим и разделим на параметр р

[image]

преобразуем к виду

[image]

 

Правая часть уравнения является невязкой нагрузки и обозначается через xy

Как и прежде, нагрузка в виде невязок является равновесной для вантовой сети, находящейся в положении гх. Члены в квадратных скобках определяются после первого этапа расчета и являются своеобразными коэффициентами пропорциональности.

Пренебрегая нелинейными членами, разрешающее уравнение равновесия (111.34) примет вид

[image]

 

Полные усилия в нитях, согласно (11.32), выражаются следующим образом:

[image]

[image]

[image]

Согласно принятым обозначениям этого:

С учетом

[image]

[image]

Выполнив преобразования, получаем:

В выражениях усилий нелинейными членами относительно искомых перемещений щ пренебрегаем. Тогда усилия Нц^, Н^^ определяются следующим образом:

[image]

Параметр р может быть найден из условия равенства нулю суммарной работы невязок на соответствующих перемещениях

[image]

где С — область вантовой сети. Для рассматриваемых сетей это условие можно записать иначе

[image] (111.38)

Получаемое таким образом уравнение является нелинейным относительно параметра р и решение его трудностей не вызывает.

Метод приведения нагрузки к равновесной является приближенным. Для получения более точного результата процесс решения необходимо повторять до тех пор, пока действительные невязки не будут отвечать заданной точности. Во многих случаях метод приведения нагрузки к равновесной является одним из этапов итерационного быстросходящегося процесса.

 

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:5007 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:8195 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:5015 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Геологические процессы в грунтах

В механике грунтов под реологическими понимают процессы деформирования скелета грунта, протекающие во времени. Развитие во времени объемных деформаций в водонасыщенных грунтах в значительной мере определяется процессом отжатия или всасывания воды...

25-08-2013 Просмотров:7008 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Геоморфологический уровень вулканизма

Геоморфологический уровень вулканических излияний определяется гипсометрическим положением фундамента вулканической области. Каждая региональная область вулканизма характеризуется определенным геоморфологическим уровнем, являющимся одним из факторов, обусловливающих интенсивность вулканизма. Другими факторами, определяющими интенсивность вулканизма, являются...

19-08-2010 Просмотров:5183 Структурная вулканология

Типы вулканизма в различных регионах

ВУЛКАНИЗМ, СВЯЗАННЫЙ С ЭПИГЕОСИНКЛИНАЛЬНЫМ ОРОГЕНЕЗОМ Вулканизм на стыке континентов и океанов (талассократонов) Структурные условия вулканических поясов геосинклинально-орогенных областей рассматриваются в западной части Тихого океана. Условной границей между геосинклинально-орогенным вулканическим поясом и областью...

19-08-2010 Просмотров:10180 Структурная вулканология