Menu

Байтовые системы с одним нелинейным параметром

Байтовые системы с одним нелинейным параметром — это системы, решение которых сводится к нелинейному уравнению с одним неизвестным. К ним относят отдельные нити (системы из отдельных несвязанных в совместной работе нитей) и сети определенных структур. В качестве нелинейного параметра обычно принимается величина усилия в нитях.

Пологие гибкие нити. Для покрытий одной из основных нагрузок является вертикальная. Напряженно-деформированное состояние гибкой нити при действии этой нагрузки описывается уравнениями равновесия

[image]

Последовательно интегрируя уравнение равновесия с учетом условий на опорах нити, получим следующие выражения:

[image]

 

где z — поперечная сила для условной прямолинейной балки, шарнирно опертой в точках подвеса; М — изгибающий момент для этой балки («балочный» момент); г — ордината нити, соответствующая «балочному» моменту. С учетом того, что т = г г0, а также выражения (III. 1), уравнение деформации после преобразований нетрудно привести к виду

[image]

[image]

Приняв обозначения:

= $0 — / (где 50 — начальная длина нити), последнее выражение после несложных преобразований приводится к общему уравнению третьей степени относительно усилия в нити, загруженной произвольной вертикальной нагрузкой:

[image]

Величина жесткости нити на растяжение может изменяться от О до с». Отбросив тривиальное решение нити с нулевой жесткостью, рассмотрим нить, имеющую ЕР = <х>. Нить с такой жесткостной характеристикой называется нерастяжимой и в определенном смысле является абстракцией. Изменение формы нерастяжимой нити происходит только за счет кинематических перемещений. Вполне понятно, что усилия в нитях, определенные без учета деформаций, дают преувеличенные значения и тем большие, чем меньше стрелки. Однако в ряде случаев расчет нити в предположении ее нерастяжимости полезен для ориентировочных расчетов и первого приближения в определении площадей поперечных сечений.

Разделив (II 1.3) на А = оо, для расчета нерастяжимой нити получим т~

[image]

Если при этом 50 = /, знаменатель последнего уравнения равен нулю и усилие в нити, таким образом, даже от незначительной вертикальной нагрузки равно бесконечности.

Выведем уравнение, связывающее начальную длину нити, ее пролет и стрелу провисания.

Уравнение фигуры равновесия такой нити запишем в виде квадратной параболы с началом координат в вершине ее

[image]

откуда

[image]

[image]

С другой стороны, при х~~2 имеем вполне определенную ординату-стрелу /. Подставляя эти значения в уравнение фигуры равновесия, находим

[image]

Тогда а длина нити получит следующее выражение:

[image]

Выполнив интегрирование в указанных пределах и удвоив вторую часть выражения, для определения длины нити получим

[image]

Если 50 < /, то нить находится под воздействием усилия предварительного напряжения Н0. Тогда с учетом того, что

[image]

уравнение (III.3) можно привести к такому виду:

[image]

Если 50 = /, нить является горизонтальной (прямолинейной), не испытывает начальных напряжений и воспринимает внешнюю нагрузку только за счет своих деформаций. В этом случае (1 = 0 и общее уравнение для расчета нити (II 1.3) преобразуется в следующее:

[image]

Интегралы типа \ (}2с1х можно вычислять, перемножая балочные эпюры поперечных сил по методу Верещагина или Симпсона.

Одними из первых авторов, исследовавших гибкую нить под действием произвольной нагрузки, являются Р. Н. Мацелинский [35, 36] и В. К. Качурин [23].

В том случае, когда нить имеет опорные точки на разных уровнях, расчет ее можно производить, как указывалось в главе II, относительно-вспомогательной системы координат (см. рис. 11.11). Это необходимо производить лишь в том случае, когда перепад высот достаточно велик. Вертикальная нагрузка раскладывается соответственно на действующую нагрузку вдоль нити и нормальную относительно соединительной линии опорных точек. В связи с тем, что нагрузка, действующая вдоль нити, обусловливает изменение усилия в нити по длине, такая нить не может быть решена как система с одним нелинейным параметром Н и должна решаться более общими методами, изложенными ниже. Вопросы расчета гибкой нити с опорами на разных уровнях развиты в работе А. Я. Дривин-га [16].

Пример 1. Определить усилие и форму нити под действием нагрузки, распределенной вдоль пролета по закону треугольника ц = 0,5 т/м. Пролет нити 40 м, начальная длина 41 м. Нить принимается нерастяжимой (рис. III.1).

[image]

Определяем характеристику нагрузки

[image]

и разницу между начальной длиной и пролетом нити

Рис. III. 1. К примеру 1 и 2.

|л= 41—40= 1 м. Усилие в нити

[image]

Вычисление ординат, определяющих форму нити под нагрузкой, производим в соответствии с (II 1.2) в отдельных точках через 5 м по длине пролета. Результат приведен в табл. III.1.

Таблица III. 1

 

 

Величины

К о.

ЕС О

Ч со

Точки нити

1

2

3

4

5

6

7

8

9

«Балочные» изгибающие моменты

Ординаты деформированной нити

тм м

0 0

16,440 1,233

31,317 2,349

43,069 3,231

50,133 3,761

50,948 3,822

43,95 3,297

27,577 2,069

0

С

Пример 2. Определить усилие и форму нити, заданной условиями примера ' (см. рис. III. 1) с учетом продольных деформаций. Материал нити — арматурная сталь периодического профиля 0 25 мм (Р = 4,91 см2); модуль упругости Е = = 2-10 кг/см2.

Жесткостная характеристика нити на растяжение

[image]

Характеристику нагрузки и разницу между начальной длиной и пролетом нити определяем по аналогии с примером 1. Известные и найденные значения подставляем в уравнение (III.3):

[image]

[image]

Корень данного уравнения, являющийся величиной усилия в нити, Н = = 12,98 т.

Таблица III. 2

 

Точки нити

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ординаты деформированной нити 

0

1,267

2,413

3,318

3,862

3,925

3,386

2,125

0

Используя значения «балочных» изгибающих моментов, определенных в примере 1, найдем ординаты нити, сдеформированной в результате кинематических перемещений и упругих удлинений. Результат приведен в табл. III.2.

Байтовые сети. Байтовые сети приводятся к решению нелинейного уравнения с одним неизвестным лишь в том случае, когда соотношения между усилиями во всех нитях сети в общем случае остаются величиной постоянной. К таким сетям относятся сети шестиугольной структуры (рис. 1.19).

Рассмотрим задачу нахождения усилий и перемещений в таких системах.

Будем считать, что концы нитей вантовой сети закреплены на не-смещаемом опорном контуре в вертикальной и в горизонтальной плоскостях. Под действием вертикальной нагрузки, произвольной для- каждого узла, напряженно-деформированное состояние сети будет описываться уравнениями (11.54) и (11.58).

Для данной структуры уравнение равновесия (11.54) для каждого узла будет иметь вид:

[image]

где гпаппликата рассматриваемого узла в деформированном состоянии; г\п, %2п, гзп — аппликаты узлов, примыкающих к рассматриваемому; К — расстояние между узлами сети. Перемещения узлов закрепления на опорном контуре равны нулю и, таким образом, исключаются из рассмотрения. Неизвестными являются аппликаты всех внутренних узлов в деформированном состоянии и величина усилия в нитях.

Учитывая, что усилие во всех элементах сети является величиной постоянной, ее можно перенести в правую часть уравнений, и аппликаты определять в функции от усилия, т. е. аппликаты после решения системы линейных уравнений равновесия будут представлены в виде

[image]

где к — числовой коэффициент.

Напомним, что аппликаты деформированной'поверхности равны начальным аппликатам сети плюс перемещения, т. е.

[image]

[image]

По аналогии с этим где

[image]

Перепишем уравнение деформации (11.58), заменив выражение Дш и выполняя суммирование по всем стержням сети т,

[image]

Выполним некоторые преобразования и приведем его к виду

[image]

Обозначим

[image]

и уравнение деформации перепишем в следующем виде:

[image]

Подставим в него решения аппликат, выраженные в функции от Я

[image]

После некоторых преобразований уравнение принимает вид

[image]

Определив величину усилия в элементах сети, нетрудно найти истинные аппликаты деформированной поверхности и затем перемещения.

[image]

Рие. 111.2. К примеру 3.

Пример 3. Определить перемещения узлов и усилие в элементах сети, представленной на рис. III.2, под действием вертикальных сосредоточенных сил Рз = 2т; Р5 = 1,5т; Р6 = Зт, приложенных к узлам 3, 5, 6. Расстояние между узлами  = 2 м. Материал сети — арматурная сталь периодического профиля 0 25 мм (Р = 4,91 слг2); модуль упругости Е = 2 X ХЮ6 кг/см2. Исходная геометрия определяется аппликатами:

[image]

[image]

Усилие предварительного напряжения Но = 0. Составляем уравнения равновесия для шести внутренних узлов сети:

Применяя метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса), находим значения последних:

[image]

Некоторые вычисления приводим в табл. Ш.З.

Таблица III.3

 

 

Я

Дг0

Стержни

М

Дг^, и'

Аг20

—• м

дь

дь*

Д&2

К

3—1

2,0

0,5

0,25

0,125

3,375

11,39

5,695

5—3

2,0

0

0

0

—0,876

0,767

0,3835

6—3

2,0

0

0

0

0,250

0,0625

0,03125

5—2

2,0

0,5

0,25

0,125

2,499

6,245

3,1225

7—5

2,0

0

0

0

— 1,374

1,888

0,944

8—6

2,0

0

0

0

—2,126

4,5198

2,2599

6—4

2,0

0,5

0,25

0,125

3,625

13,12

6,56

9—7

2,0

—0,5

0,25

0,125

—1,125

1,2656

0,6328

10—7

2,0

0

0

0

—0,250

0,0625

0,03125

10—8

2,0

0

0

0

—0,624

0,3894

0,1947

11—8

2,0

—0,5

0,25

0,125

—1,499

2,247

1,1235

12—10

2,0

-0,5

0,25

0,125

—0,875

0,7656

0,3828

т 1

. 24,0

 

 

0,750

 

 

21,3612

 

Последние материалы

Заключение (Грунты)

При построении курса учитывалась необходимость его использования для различных гидротехнических специальностей и специализаций. В качестве основной части для студентов всех гидротехнических специальностей следует считать обязательным прочтение гл. 1—7. В гл. 8...

25-08-2013 Просмотров:4889 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Представления о решении задач нелинейной механики грунтов

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов...

25-08-2013 Просмотров:8079 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Прочность грунтов при сложном напряженном состоянии

Для сред и материалов, обладающих сплошностью, предложено много различных условий прочности. Для оценки прочности грунтов наиболее широкое распространение получило условие Мора—Кулона (2.38), не содержащее промежуточного главного напряжения а2 и тем...

25-08-2013 Просмотров:4921 Грунты и основания гидротехнических сооружений

Еще материалы

Разрушение конструкций и массивов взрыво…

Обрушение зданий и сооружений взрывом производится на их основание или в заданном направлении (направленное разрушение). В заданном направлении обрушаются, как правило, высотные здания и сооружения...

31-07-2009 Просмотров:14329 Реконструкция промышленных предприятий.

Геодезические методы

Геодезические методы успешно применяются при определении деформаций, осадок, кренов, а иногда и для наблюдения за трещинами. Используются методы инженерной фотограмметрии и инженерной геодезии. Фотограмметрическим методом определяются координаты точек сооружения измерением на...

19-03-2013 Просмотров:8993 Обследование и испытание сооружений

Спосіб прямокутних координат

Спосіб прямокутних координат застосовують в основному при наявності на площадці або в цеху промислового підприємства будівельної сітки, у системі координат якої задане положення всіх головних точок й осей проекту. Розбивку проектної...

30-05-2011 Просмотров:6534 Інженерна геодезія