Байтовые системы с одним нелинейным параметром — это системы, решение которых сводится к нелинейному уравнению с одним неизвестным. К ним относят отдельные нити (системы из отдельных несвязанных в совместной работе нитей) и сети определенных структур. В качестве нелинейного параметра обычно принимается величина усилия в нитях.

Пологие гибкие нити. Для покрытий одной из основных нагрузок является вертикальная. Напряженно-деформированное состояние гибкой нити при действии этой нагрузки описывается уравнениями равновесия

Последовательно интегрируя уравнение равновесия с учетом условий на опорах нити, получим следующие выражения:

 

где z — поперечная сила для условной прямолинейной балки, шарнирно опертой в точках подвеса; М — изгибающий момент для этой балки («балочный» момент); г — ордината нити, соответствующая «балочному» моменту. С учетом того, что т = г — г₀, а также выражения (III. 1), уравнение деформации после преобразований нетрудно привести к виду

Приняв обозначения:

= $₀ — / (где 5₀ — начальная длина нити), последнее выражение после несложных преобразований приводится к общему уравнению третьей степени относительно усилия в нити, загруженной произвольной вертикальной нагрузкой:

Величина жесткости нити на растяжение может изменяться от О до с». Отбросив тривиальное решение нити с нулевой жесткостью, рассмотрим нить, имеющую ЕР = <х>. Нить с такой жесткостной характеристикой называется нерастяжимой и в определенном смысле является абстракцией. Изменение формы нерастяжимой нити происходит только за счет кинематических перемещений. Вполне понятно, что усилия в нитях, определенные без учета деформаций, дают преувеличенные значения и тем большие, чем меньше стрелки. Однако в ряде случаев расчет нити в предположении ее нерастяжимости полезен для ориентировочных расчетов и первого приближения в определении площадей поперечных сечений.

Разделив (II 1.3) на А = оо, для расчета нерастяжимой нити получим ^т~

Если при этом 5₀ = /, знаменатель последнего уравнения равен нулю и усилие в нити, таким образом, даже от незначительной вертикальной нагрузки равно бесконечности.

Выведем уравнение, связывающее начальную длину нити, ее пролет и стрелу провисания.

Уравнение фигуры равновесия такой нити запишем в виде квадратной параболы с началом координат в вершине ее

откуда

С другой стороны, при х~~2 имеем вполне определенную ординату-стрелу /. Подставляя эти значения в уравнение фигуры равновесия, находим

Тогда а длина нити получит следующее выражение:

Выполнив интегрирование в указанных пределах и удвоив вторую часть выражения, для определения длины нити получим

Если 5₀ < /, то нить находится под воздействием усилия предварительного напряжения Н₀. Тогда с учетом того, что

уравнение (III.3) можно привести к такому виду:

Если 5₀ = /, нить является горизонтальной (прямолинейной), не испытывает начальных напряжений и воспринимает внешнюю нагрузку только за счет своих деформаций. В этом случае (1 = 0 и общее уравнение для расчета нити (II 1.3) преобразуется в следующее:

Интегралы типа \ (}²с1х можно вычислять, перемножая балочные эпюры поперечных сил по методу Верещагина или Симпсона.

Одними из первых авторов, исследовавших гибкую нить под действием произвольной нагрузки, являются Р. Н. Мацелинский [35, 36] и В. К. Качурин [23].

В том случае, когда нить имеет опорные точки на разных уровнях, расчет ее можно производить, как указывалось в главе II, относительно-вспомогательной системы координат (см. рис. 11.11). Это необходимо производить лишь в том случае, когда перепад высот достаточно велик. Вертикальная нагрузка раскладывается соответственно на действующую нагрузку вдоль нити и нормальную относительно соединительной линии опорных точек. В связи с тем, что нагрузка, действующая вдоль нити, обусловливает изменение усилия в нити по длине, такая нить не может быть решена как система с одним нелинейным параметром Н и должна решаться более общими методами, изложенными ниже. Вопросы расчета гибкой нити с опорами на разных уровнях развиты в работе А. Я. Дривин-га [16].

Пример 1. Определить усилие и форму нити под действием нагрузки, распределенной вдоль пролета по закону треугольника ц = 0,5 т/м. Пролет нити 40 м, начальная длина 41 м. Нить принимается нерастяжимой (рис. III.1).

Определяем характеристику нагрузки

и разницу между начальной длиной и пролетом нити

Рис. III. 1. К примеру 1 и 2.

|л= 41—40= 1 м. Усилие в нити

Вычисление ординат, определяющих форму нити под нагрузкой, производим в соответствии с (II 1.2) в отдельных точках через 5 м по длине пролета. Результат приведен в табл. III.1.

Таблица III. 1

 

Величины

К о. ЕС О Ч со

Точки нити 1 2 3 4 5 6 7 8 9

«Балочные» изгибающие моменты Ординаты деформированной нити

тм м

0 0

16,440 1,233

31,317 2,349

43,069 3,231

50,133 3,761

50,948 3,822

43,95 3,297

27,577 2,069

0 С

Пример 2. Определить усилие и форму нити, заданной условиями примера ' (см. рис. III. 1) с учетом продольных деформаций. Материал нити — арматурная сталь периодического профиля 0 25 мм (Р = 4,91 см²); модуль упругости Е = = 2-10 кг/см².

Жесткостная характеристика нити на растяжение

Характеристику нагрузки и разницу между начальной длиной и пролетом нити определяем по аналогии с примером 1. Известные и найденные значения подставляем в уравнение (III.3):

Корень данного уравнения, являющийся величиной усилия в нити, Н = = 12,98 т.

Таблица III. 2

 

Точки нити	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ординаты деформированной нити	0	1,267	2,413	3,318	3,862	3,925	3,386	2,125	0

Используя значения «балочных» изгибающих моментов, определенных в примере 1, найдем ординаты нити, сдеформированной в результате кинематических перемещений и упругих удлинений. Результат приведен в табл. III.2.

Байтовые сети. Байтовые сети приводятся к решению нелинейного уравнения с одним неизвестным лишь в том случае, когда соотношения между усилиями во всех нитях сети в общем случае остаются величиной постоянной. К таким сетям относятся сети шестиугольной структуры (рис. 1.19).

Рассмотрим задачу нахождения усилий и перемещений в таких системах.

Будем считать, что концы нитей вантовой сети закреплены на не-смещаемом опорном контуре в вертикальной и в горизонтальной плоскостях. Под действием вертикальной нагрузки, произвольной для- каждого узла, напряженно-деформированное состояние сети будет описываться уравнениями (11.54) и (11.58).

Для данной структуры уравнение равновесия (11.54) для каждого узла будет иметь вид:

где г_п — аппликата рассматриваемого узла в деформированном состоянии; г\п, %2п, гзп — аппликаты узлов, примыкающих к рассматриваемому; К — расстояние между узлами сети. Перемещения узлов закрепления на опорном контуре равны нулю и, таким образом, исключаются из рассмотрения. Неизвестными являются аппликаты всех внутренних узлов в деформированном состоянии и величина усилия в нитях.

Учитывая, что усилие во всех элементах сети является величиной постоянной, ее можно перенести в правую часть уравнений, и аппликаты определять в функции от усилия, т. е. аппликаты после решения системы линейных уравнений равновесия будут представлены в виде

где к — числовой коэффициент.

Напомним, что аппликаты деформированной'поверхности равны начальным аппликатам сети плюс перемещения, т. е.

По аналогии с этим где

Перепишем уравнение деформации (11.58), заменив выражение Дш и выполняя суммирование по всем стержням сети т,

Выполним некоторые преобразования и приведем его к виду

Обозначим

и уравнение деформации перепишем в следующем виде:

Подставим в него решения аппликат, выраженные в функции от Я

После некоторых преобразований уравнение принимает вид

Определив величину усилия в элементах сети, нетрудно найти истинные аппликаты деформированной поверхности и затем перемещения.

Рие. 111.2. К примеру 3.

Пример 3. Определить перемещения узлов и усилие в элементах сети, представленной на рис. III.2, под действием вертикальных сосредоточенных сил Рз = 2т; Р₅ = 1,5т; Р₆ = Зт, приложенных к узлам 3, 5, 6. Расстояние между узлами  = 2 м. Материал сети — арматурная сталь периодического профиля 0 25 мм (Р = 4,91 слг²); модуль упругости Е = 2 X ХЮ⁶ кг/см². Исходная геометрия определяется аппликатами:

Усилие предварительного напряжения Но = 0. Составляем уравнения равновесия для шести внутренних узлов сети:

Применяя метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса), находим значения последних:

Некоторые вычисления приводим в табл. Ш.З.

Таблица III.3

 

Я Дг0 Стержни М

Дг^, и'

Аг20 —• м

дь

дь*

Д&2 К

3—1	2,0	0,5	0,25	0,125	3,375	11,39	5,695
5—3	2,0	0	0	0	—0,876	0,767	0,3835
6—3	2,0	0	0	0	0,250	0,0625	0,03125
5—2	2,0	0,5	0,25	0,125	2,499	6,245	3,1225
7—5	2,0	0	0	0	— 1,374	1,888	0,944
8—6	2,0	0	0	0	—2,126	4,5198	2,2599
6—4	2,0	0,5	0,25	0,125	3,625	13,12	6,56
9—7	2,0	—0,5	0,25	0,125	—1,125	1,2656	0,6328
10—7	2,0	0	0	0	—0,250	0,0625	0,03125
10—8	2,0	0	0	0	—0,624	0,3894	0,1947
11—8	2,0	—0,5	0,25	0,125	—1,499	2,247	1,1235
12—10	2,0	-0,5	0,25	0,125	—0,875	0,7656	0,3828
т 1	. 24,0			0,750			21,3612