К таким системам в основном относятся вантовые фермы, напряженно-деформированное состояние которых рассмотрено в §7 главы II.

Все члены уравнения (11.59) разделим на N и представим в следующем виде:

где М₆ — «балочный» изгибающий момент;

ф — поперечная сила, соответствующая «балочному» моменту. Напомним, что вертикальные перемещения можно выразить через конечные и начальные ординаты точек поясов хю = г — г₀.

С учетом этого уравнение (11.60) после некоторых преобразований примет вид

Учитывая, что начальные параметры Л^ и г₀ обычно являются исходными данными, примем обозначение

и выражение суммарного усилия в поясах фермы

В выражении изгибающего момента (11.61) вертикальные перемещения также заменим разностью между конечными и начальными ординатами

Аналогично вышеприведенному выражению для суммарного усилия дадим обозначение и примем выражение изгибающего момента от действия усилий в поясах

С учетом (111.10) выражения (Ш.12) и (111.13) преобразуются:

Следует отметить, что величина ■— = сош! и выносится за знак интеграла. Обозначим величины:

 

С учетом обозначений перепишем последние выражения:

Все члены (111.15) разделим на к

5 Заметим, что величина -г- = сопб.

Выполнив некоторые преобразования последнего выражения, получим

 

После некоторых преобразований получаем следующее уравнение пятой степени относительно суммарного усилия в поясах (Ьепмы:

Анализ знаков коэффициентов А_г — Л₈ показывает, что данный полином имеет одно положительное значение корня.

При помощи выражения (111.16) определяем изгибающий момент М от действия усилий в поясах фермы. Зная соотношения

 

вычисляем действительные усилия в поясах ферм Н_г и Н_г.

Пример 4. Определить вертикальные перемещения узлов и усилия в поясах вантовой фермы под действием вертикальной сосредоточенной силы Р_ь = 4 т (рис. Ш.З). Пролет фермы — 40 м. Площади поперечных сечений поясов: /ч (нижний пояс) = 6 см²; г₂ (верхний пояс) = 4 см². Модуль упругости материала поясов Е = 2 - 10^е кг/см². Усилия предварительного натяжения.

 

Узлы поясов фермы в исходном состоянии располагаются по кривым, представляющим собой две одинаковые квадратные параболы, равноотстоящие от линии опорных точек. Длины распорок: Н₂ = 2,625 м; Ы = 4,50 м; А₄ = 5,625 м; Н_& — 6,0 м и далее симметрично. При вычислениях размерность сил принимаем в т (Ю^-2).

1. Результаты вычисления расстояний от нейтральной оси к осям поясов, статических моментов инерции сечений фермы и начальных изгибающих моментов приводим в табл. III.4.

2. Некоторые дальнейшие вычисления производим в табл. II 1.5.

3. Используя результаты вычислений, приведенных в табл. 1П.4 и III.5, определяем условные изгибающие моменты от действия усилий предварительного натяжения:

 

и далее симметрично.

4. Определяем суммарное усилие в ферме от предварительного натяжения

Таблица III.5

 

га

Участки фермы

Л ч АЛ Д2„ Д22 АЛ2 АЛАг0 АЛДг„ г. 9 Д/г* <? <ЭДй м ж2 м Т т/м

1	1—2	0	0	2,625	0,2625	0,0689	6,89	0,689	0,1378	0,0138	1,378	—0,02	—0,0525
2	2—3	2,625	0,262	1,875	0,1875	0,0351	3,515	0,3515	0,0703	0,007	0,703	—0,02	—0,0375
3	3—4	4,5	0,45	1,125	0,1125	0,0126	1,265	0,1265	0,0253	0,0025	0,253	—0,02	—0,0225
4	4—5	5,625	0,562	0,375	0,0375	0,0014	0,14	0,0141	0,0028	0,00028	0,028	—0,02	—0,0075
5	5—6	6,00	0,6	—0,375	—0,0375	0,0014	0,14	0,0141	0,0028	0,00028	0,028	0,02	—0,0075
6	6—7	5,625	0,5625	-1,125	—0,1125	0,0126	1,265	0,1265	0,0253	0,0025	0,253	0,02	—0,0225
7	7—8	4,5	0,45	—1,875	—0,1875	0,0351	3,515	0,3515	0,0703	0,007	0,703	0,02	—0,0375
8	8—9	2,625	0,262	—2,625	—0,2625	0,0689	6,89	0,689	0,1378	0,0138	1,378	0,02	—0,0525
9	т 2 I	0	0						0,4725	0,04725	4,725		—0,24

§ Примечание. Длина всех участков фермы % = 5 м; для узлов 1 — 80²К = 0,002 г²  м.

5. Вычисляем условное суммарное усилие в ферме от предварительного натя
жения

6. Используя вычисления, произведенные в табл. Ш.4 и Ш.5, запишем величины О, В, С, а также к, 1₂ и к:

7. Производим вычисление коэффициентов уравнения (111.17) при степенях
неизвестного:

четвертой

третьей

второй

первой

Свободный член уравнения

Таким образом, получаем уравнение пятой степени относительно суммарного усилия в ферме

Действительный корень этого уравнения

8. При помощи выражения (111.16) определяем величину изгибающего момента
от действия суммарного усилия /V

Аналогично определяем величины изгибающих моментов для узлов 3, 4, 5:

Мз = 0,0783 -Т.ж, М_й = 0,09792 т-м; М₅= 0,10444 Г.л и далее симметрично.

9. Определяем усилия в поясах" фермы:

 

Таким образом, усилия в поясах фермы увеличились. Увеличение растяжения в верхнем поясе фермы объясняется характером внешней нагрузки и, как следствие, уменьшением кривизны верхнего пояса.

10. При помощи выражения (111.11) определяем перемещения узлов фермы.

Предварительно определяем изгибающие «балочные» моменты в соответствующих узлах фермы:

и далее симметрично.

и далее симметрично.

Перемещения определяются как разница между конечными г и начальными г₀ аппликатами (см. табл. III.5):

и далее симметрично.

Проверив равновесие узлов фермы, легко убедиться, что расчет произведен правильно.