Многообразие структур вантовых сетей, отличающихся иногда большой нерегулярностью, предопределяет необходимость более общего подхода при выводе уравнений напряженно-деформированного состояния их.

В качестве основного элемента при рассмотрении напряженно-деформированного состояния произвольной пологой сети примем нить с границами от узла до узла. Под действием произвольной нагрузки такая нить, вполне естественно, должна быть рассмотрена в пространстве.

и в соответствии с (11.20) уравнение деформации

Рис. 11.16. К расчету вантовых сетей произвольной структуры.

Относительно системы координат ОХУ_гЪ_и расположенной таким образом, что ось Х_ь проходит через проекции конечных точек нити на горизонтальную плоскость, для некоторой нити г запишем уравнения равновесия (11.19):

Теперь остается рассмотреть равновесие узлов произвольной вантовой сети, образованной нитями. Количество нитей, сходящихся в узле, а также их ориентация относительно некоторой постоянной системы прямоугольных пространственных координат 0ХУ2. могут быть произвольными. В системе координат XYZ. направление оси 2. принимается таким же, как в подвижной системе координат 0Х_гК2_г, зависящей от положения произвольного направления нити.

Проекция произвольной г'-той нити К, К + 1 на плоскость ХОУ показана на рис. 11.16. Длину горизонтальной проекции данной нити обозначим через 1₍, а угол наклона оси X,- к оси X в плоскости ХОУ—через в 1,-. Угол наклона проекции усилия в нити на плоскость ХОУ к оси X обозначим через в,-. Предположим, что точка К, наряду с другими аналогичными точками произвольных нитей, принадлежит некоторому узлу сети.

Условие равновесия в плоскости ХОУ выразится следующими уравнениями:

где у — разностный оператор для узла;

к

Р_х, Ру — внешняя узловая нагрузка на сеть.

Учитывая, что и-тая нить полога относительно своей оси Х, имеем:

 

Функции суммы двух углов можно представить следующим образом:

или, учитывая вышеприведенные соотношения для г'-тои нити,

Таким образом, уравнения равновесия в плоскости ХОУ можно записать так:

Рассмотрим равновесие этого же узла относительно оси 2 (см, рис. 11.16). Уравнение равновесия имеет вид

где Р(- — угол наклона проекции усилия в нити к оси Х{\

Р_г — внешняя узловая нагрузка. Учитывая, что нить полога относительно оси Х_1} можем записать следующие выражения:

и, таким образом, уравнение равновесия в вертикальной плоскости примет вид

Таким образом, уравнения (11.46) — (11.51) описывают напряженно-деформированное состояние любой вантовой сети и охватывают все частные случаи, рассмотренные в предыдущих параграфах. Рассмотрим частный случай, когда распределенная нагрузка отсутствует, т. е.

Из уравнения (11.46) следует, что Н — сопз!.

Уравнение (11.47) принимает вид

откуда следует, что

Так как усилие нити не может быть равно нулю, остается принять

Уравнение (11.48) принимает вид (здесь и ниже в уравнениях относительно системы координат ОХ.-КД индекс г опущен):

откуда

Из приведенных выкладок следует, что нить в плане и вертикаль-аой плоскости в данном случае представляет собой прямую линию. Эднако это очевидно и из чисто физического смысла существования яйти с усилием без наличия поперечной распределенной нагрузки.

Проинтегрируем обе части уравнения (11.49) по длине нити /

 

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности и определим его значения:
-

 

 

Найденные значения интегралов подставим в уравнение деформации, разделив правую часть на /

Нелинейностью в работе вантовой сети от горизонтальных смещений пренебрегаем, поэтому последний член этого уравнения исключается. Тогда

 

Это уравнение деформации записано относительно системы координат 0Х_гК..2_;. Для получения аналогичного уравнения относительно системы координат 0ХУ2 воспользуемся известными формулами преобразования одной системы координат в другую:

 

Подставим эти значения в уравнение деформации нити

Учитывая, что уравнения равновесия для узлов сети несколько изменяются. Запишем уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние произвольной вантовой сети под действием.произвольной внешней узловой нагрузки: уравнения равновесия для узлов сети

уравнение деформации для нитей

 

В случае действия предварительного натяжения, уравнение (11.55) несколько изменяется:

 

где Я₀ — величина усилия предварительного натяжения.

Если сеть представляет собой существенно нерегулярную структуру, в узлах которой пересекается более двух нитей, уравнение деформации (11.55) или (11.56) является окончательным. При этом под нитью подразумевается по сути один стержень от узла до узла.

Если в узле пересекаются не более двух нитей, уравнение (11.56) можно записать для всей нити, представляющей собой плоскую ломаную линию, образованную стержнями.

Принимая во внимание постоянство распора по длине каждой нити, просуммируем распоры всех стержней последней

 

а также, то, что нить в плане является плоской, можем записать

где Ь_с — длина всей 1-тои нити;,

А*х, Д*#₀ — разность между координатами конечной и начальной точек нити; т—количество стержней в нити. Кроме того, сумма деформации всех участков нити в горизонтальном направлении вдоль осей X и V выражается через перемещения конечной и начальной точек нити

С учетом изложенного выше уравнение деформации примет вид:

Если, к тому же, концы нитей закреплены на несмещаемом опорном контуре, уравнения примут вид: равновесия (11.54), деформации

 

Количество уравнений (11.54) должно соответствовать количеству узлов в вантовой сети; уравнений (11.58) — количеству нитей.