Задача расчета оптимальной вантовой сети шестиугольной структуры

Уравнение для определения усилия в сети при расчете по заданным напряжениям примем в виде (111.50). По-прежнему Ак — разность значений неизвестных к_г системы А к = Р. (А — матрица условий равновесия узлов; к = (к_1г к₂,..., к„); Р — (Р_1г Р₂,..., Р_п) — вектор-столбец внешних сил; п — количество внутренних узлов сети).

С другой стороны, статическая особенность сети шестиугольной структуры может быть выражена как

где гю_г — перемещения узлов сети, I = 1, 2 п.

Уравнение (111.50) с учетом (1У.26) после преобразований может быть представлено в таком виде:

Начальная поверхность сети, определяемая вектором г₀ = (г₀\, ²о2> г₀₃,..., 2_0П), инвариантна относительно величины усилия предварительного напряжения. Поэтому коэффициентявляется интегральной характеристикой начальной геометрии поверхности.

Рис. IV.6. К определению опти мальных параметров сети шее тиуголыгой структуры.

Значения коэффициентов к_г зависят от количества и качества внешней нагрузки, и, таким образом, величина т— может трактоваться как интегральная характеристика внешней нагрузки. С другой стороны, учитывая (1У.26) и используя аналогию с гибкой нитью, к_г может рассматриваться как величина, соответствующая значению изгибающего момента в узлах некоторой пространственной системы. Размерность величин к₁ — в т - м.

Таким образом, данная задача формулируется так: по заданной начальной геометрии поверхности сети, внешнему воздействию и физическим характеристикам материала вант определить параметры сети так, чтобы она удовлетворяла условиям прочности и жесткости при минимальной площади поперечного сечения вант. Иначе: найти

при ограничениях:

где [Я₀], [#], [т] — предельные значения соответственно усилия предварительного напряжения, расчетного сопротивления материала вант, перемещений, заданные условиями задачи.

Как видим, (1У.30)—(1У.37) описывают задачу нелинейного программирования с нелинейной функцией цели и смешанными ограничениями. Анализ функции цели (IV.30) показывает, что она является выпуклой, и, таким образом, решение сводится к поиску условного минимума Р при выполнении ограничений (1У.31)—(1У.37).

Из уравнения (1У.41) следует, что Н_г = / (хю, Я, Л^₀). Поэтому целевую функцию (1У.38) можно привести к другому, но более сложному виду. Однако это также усложняет алгоритм поиска оптимальных параметров.

Ограничение (IV.45) формулирует требование о невыключении из работы напрягающего пояса фермы.

Не помещая результатов исследования данной задачи, ограничимся рассмотрением численного примера.

Рис. IV.?. К примеру 7.

Пример 7. Используя данные примера 4 в части геометрических параметров фермы и внешней нагрузки, требуется определить оптимальные параметры фермы при следующих ограничениях: 0 < [-№„] < 30_т; 0 <

Опуская процесс решения, который выполнен на ЭВМ по программе, реализующей метод конфигураций, приведем окончательные результаты:

перемещения щ = —8,89 см; ХРв = —5,18 см; о>₄= 11,11 см; И7_Б = 40 см и далее симметрично. Геометрическая трактовка решения данного примера показана на рис. IV.7.

Определение оптимальных параметров фермы при втором случае напряженно-деформированного состояния принципиальных трудностей не представляет, однако математическая модель несколько усложняется.