Плоский циліндричний штамп втискується в пружний на півпростір силою Р, що діє по осі Z (рис. 20).

Задача осесиметрична, тому її розв’язок дається в циліндричних гладжуаатах (задача Чаплигіна–Садовського). Розподіл тиску по площі круга описується рівнянням

(85)

(а – радіус штампа).

Проаналізувавши формулу (85), бачимо, що при r = 0

(86)

а якщо r = a, то p = ¥.

Тобто розподіл напружень на площі контакту нерівномірний: мінімальні напруження p=0,5p_c мають місце в центрі, максимальні (на контурі контакту) досягають безмежної величини (p_c– середній тиск). Остання обставина в дійсності неможлива, оскільки величина напруження обмежена межею текучості для пластичних порід і межею міцності для крихких порід.

Експериментальними роботами Шрейнера Л.А. та ін. Встановлено, що розподіл напружень на площі контакту нерівномірний лише на початку втискування, пізніше його можна прийняти як рівномірно розподілений, тобто

(87)

Переміщення штампа для випадку нерівномірного розподілу тиску визначають за формулою

(88)

а при рівномірному розподілі:

(89)

де m – коефіцієнт Пуассона;

Е – модуль Юнга.

Барон Л.І. проаналізував напружений стан пружного півпростору при втискуванні жорсткого штампа для умови рівномірного розподілу напруження по площадці контакту.

Під штампом розташована область І усестороннього стиску, обмежена поверхнею s_x = 0 (рис. 20). Розміри цієї області визначаються радіусом площадки контакту і коефіцієнтом Пуассона. Область І усестороннього стиску оточена областю ІІ, де одне з головних напружень більша за нуль (розтягуюче). Область ІІ знизу обмежена поверхнею s_y = 0. Далі розташована область ІІІ, де s_x >0 і s_у >0.

На поверхні контакту усі головні напруження рівні між собою (має місце рівномірний усесторонній стиск). З віддаленням від поверхні контакту стискуючі напруження зменшуються, особливо s_x і s_y , які на деякій глибині переходять в розтягуючі. Однак величина розтягуючих напружень не перевищує 10% від величини нормального тиску. Оскільки боковий тиск практично завжди менший за гірський, із збільшенням глибини рівномірний стиск змінюється на нерівномірний усесторонній стиск (s_z¹s_{x, y}). Як результат, виникають дотичні напруження. Вони спочатку зростають, досягаючи максимуму на глибині, що дорівнює радіусу штампа, а потім зменшуються, прямуючи до нуля.

Таким чином, при втискуванні плоского циліндричного штампа гладжуачоішими місцями зародження тріщин і руйнування є: на поверхні периферійна зона контакту, а в масиві – область на глибині, рівній радіусу індентора.