Способы уравнивания теодолитных ходов постоянного съемочного обоснования на настольных клавишных машинах

В зависимости от сложности системы теодолитных ходов их уравнивают как одиночный ход или как систему с одной узловой точкой, либо как систему ходов.

При уравнивании теодолитных ходов применяют способ эквивалентной замены (проф. А. С. Чеботарева); способ узлов или способ полигонов (проф. В. В. Попова) или метод наименьших квадратов. Опытом и расчетами установлено, что в сетях с незначительным числом пунктов и в сетях простых по своей конструкции, уравнительные вычисления выгодно вести средствами обычной вычислительной современной техники. Сложные и громоздкие сети надо уравнивать строгим методом наименьших квадратов с использованием ЭВМ, который имеет неоспоримое преимущество перед приближенными способами.

Перед уравниванием теодолитных ходов необходимо проверить журналы измерения углов и сторон теодолитного хода и нанести

па их значение схему (рис. 7.6).

На схеме условными знаками показывают точки поворота проложенных теодолитных ходов (поворотные, створные и висячие), и все пункты полигонометрии, имеющиеся на данной территории углы наклоны сторон хода к горизонту, а также данные компарнрования мерных приборов или определенный коэффициент дальномера. Обработку угловых и линейных измерений теодолитных ходов начинают с заполнения ведомости вычислений ^значениями измеренных горизонтальных углов правых или левых по ходу, а не их дополнения, и сторон хода.

7.4.1. Вычисление одиночного теодолитного хода (см. рис. 7.6). Пример вычисления приведен в табл. 7.10.

Пол ученная"! в этом ходе угловая невязка /(1 сопоставляется с допусти-

Если при вторичном контроле угловая невязка осталась недопустимой, то выполняют контрольные измерения углов хода независимо от первых измерений, обращая особое внимание на центрировку теодолита и вех.

Полученную угловую невязку в теодолитном ходе, если она допустима, распределяют с обратным знаком на все его углы поровну, после чего вычисляют дирекционные углы по формуле:

при левых углах хода а„+1 = а„ + р—180°; (7.15)

при правых углах хода а„+1 —а„+180°—р. (7.16)

Контролем является получение дирекционного угла линии, к которой привязан ход. В противном случае допущена ошибка, и тогда сначала следует проверить вычисление дирекционных углов, а затем правильность найденной невязки и поправок в утлы.

После определения углов вычисляют приращения координат. При вычислении приращения координат на счетах пользуются таблицами [1 ], а при вычислении на счетах, счетных машинах, арифмометрах и калькуляторах пользуются таблицами [41].

Приращения вычисляют до сантиметров, а знаки определяют в зависимости от дирекционных углов, как показано в табл. 7.11.

После получения приращений подсчитывают отдельно сумму приращений по оси х и по оси у, а также длину хода.

Здесь следует сличить полученную с допустимой длиной хода, не превышающей 800 м, предусмотренной Инструкцией СП 212—73.

Невязки в приращениях координат определяют по каждой оси по формулам:

/*= 2 Ах—(Л'кон —*нач); (7.17)

ftJ — 2 Дг/—(г/кон—-z/нач) (7.18)

и вычисляют абсолютную fs и относительную Fs невязки по формулам

h = + и (7.19)

[s]

Относительная невязка Fs не должна быть более —5— L, а абсо-

2000

лютная — не более 0,25 м; длина хода L не должна превышать 800 м.

Если невязка fs меньше или удовлетворяет указанному допуску, то невязки fx и fy распределяются на каждое приращение пропорционально длине стороны хода по формулам:

б Xl=s—I*L-t [»]

бг/£ = _М, (7.20)

[«]

где бxi и бtji — поправки соответственно в приращения координат х и у.

Если в теодолитном ходе невязка в дирекционном угле окажется выше допустимой, тогда следует полагать, что ошибочно измерены несколько длин сторон или углов.

Уравнивание системы теодолитных ходов с одной узловой точкой. При уравнивании системы теодолитных ходов часто применяют способ эквивалентной замены (проф. А. С. Чеботарева). Идея способа заключается в том, что ряд ходов системы с несколькими узловыми точками заменяется одним эквивалентным ходом, в результате чего получается один одиночный ход, эквивалентный всей системе. После того как составлена и проверена схема теодолитных ходов, ходы нумеруют по порядку и выписывают в ведомость. Так, для системы теодолитных ходов с одной узловой точкой ходы нумеруют с таким расчетом, чтобы последний ход имел наибольшую длину. В пашем случае это будет ход от узловой точки 15 к триангуляционному пункту «Новая» (рис. 7.7). Вначале подсчитывают эквивалент двух ходов z-y и z2 (табл. 7.12) по определению дирекцион-ного угла направления Шпиль башни — 15.

Для первого хода с числом углов 3 находят дирекциоиный угол, равный 30Г19,5' с весом 1/3 = 0,33; для второго хода, имеющего

4 угла, получают дирекциоиный угол 301°16,4' весом—-—^=0,25 ;

71 + 1

за приближенное значение принимают дирекциоиный угол 301°15,0' и подсчитывают рАа, где р — вес дирекционного угла, а Да — уклонение от приближенного значения. Соответственно получают рДах = 0,33 X 4,5 = 1,5 и рАаг = 0,25 X 1,4 = 0,35; дирекциоиный угол, полученный по ходу, эквивалентному ходам zt и гъ который обозначают через z1/2, имеет п + 1 углов, получаемых по формуле (л + 1)1-г =-—-= 1,7 и определяется

Рис. 7.7. Схема системы теодолитных ходов с одной узловой точкой

Pi + P 2 0,58

равным 0,58

К этому ходу Zi. 2 присоединяют ход z3, имеющий 5 углов, а следовательно, одиночный ход, эквивалентный всей данной системе ходов, имеет 6,7 углов. Угловая невязка данного эквивалентного хода будет равна /„ = 30Г18,2'—30Г19.0' = -0,8', которая, естественно, должна распределяться на 6,7 углов поровну. Для хода z3 поправка равна — 0,6, а для хода Zi. 2 = + 0,2. Таким образом, уравненный дирекционный угол получают дважды: ЗОГ'18,2' + 0,2 = 301 °18,4' по ходу г1л и 301°19,0'—0,6 = 30Г18.4' по ходу z3. Теперь уже можно определить невязки по ходам гъ как 301°19,5'—30Г18.4' = + 1,1' и z2 = 30Г16.4'—301°18,4' = = — 2,0', которые распределяются поровну соответственно на три и четыре узла.

В результате данная система распадается на ряд самостоятельных одиночных ходов, имеющих определенные угловые невязки; остается только сравнить их с допустимыми, которые указываются в ведомости вычислений (см. табл. 7.12). Уравнивать можно также методом узлов и методом полигонов, разработанными проф. В. В. Поповым. Применяя метод узлов для уравнивания полигона, приведенного на рис. 7.7, выписывают полученные по каждому ходу дирекционные углы узловой стороны и число углов, с помощью которых был получен этот дирекционный угол. Затем вычисляют

веса этого дирекционного угла по формуле после чего

ГЦ 1

вычисляют величины отклонений от приближенного, произвольно взятого угла (в табл. 7.12 этот дирекционный угол равен 121°19,0') и затем определяют окончательный дирекционный угол стороны 15 — Шпиль башни как среднее по формуле

_„ Д«х/>1 + Aaa/?g+ А«зРз п on

«•15—шпиль башни—"'от i j >

Pi + Pi + Рз

как показано в табл. 7.13.

В случае метода полигонов составляют нормальные уравнения. Для полигона г2, г3 и полигона гг, z3; в них ход z3 — общий. Получают уравнения

4k1 + 5{k1 + k2)—2,6 = 0; • 9&i—5&2—2,6' =0;

3£а + 5 (k2—ki)—0,5 = 0; 8^—5^—0,5'= 0.

Эти уравнения решают по схеме Гаусса (см. табл. 7.14) и получают поправки в углы для каждого хода.

К двум последним методам следует обращаться в крайнем случае, когда применение эквивалентной замены затруднительно. Теперь, после распределения невязок поровну на каждый угол, вы-

in —- +.0,97=0,84 Vl.27 б„= [P^Aal ^ °''¹⁸³ =—0.617; a=I21°I9,0' — 0,617'=I2I'18,383': ^a IP] 783

m= 1/ ^ ^al = j- 0,74 — + o,86; где /«„ — потребность дирекинонного угла,

' R—q 2 ' .

б^ — поправка к принятому дирекциовному углу, т — средняя квадратическая погрешность измеренного угла, R — число ходов, равное 3, a q — число узлов, равное 1.

Таблица 7.14

числяют дирекционные углы, по сходимости последнего дирекцион-иого угла с определенным ранее убеждаются, что они вычислены верно (см. табл. 7.12).

Далее заполняют графу «длин сторон», в которую вписывают горизонтальные проложения (т. е. стороны, исправленные за компарирование, за превышения (углы наклона) и температуру, если последняя отличается па величину более от температуры компарнрования), после чего вычисляют приращения. При вычислении рекомендуется пользоваться полученными дирекциоииыми углами, а не румбами, так как это ведет к дополнительным вычислениям и, как следствие, к возможным ошибкам.

Во избежание многих ошибок практика вычислительных работ показала, что всегда следует стремиться к тому, чтобы вычитание заменить сложением. Так, для определения приращения Ах по ди-рекциоииому углу а в пределах 90—180° или 270—370°, например,

cos 125°15,3' = — sin (120^с15,3' + 100° + 10^;;) - —sin 35°15,3'; sin 125=15,3'= + cos35°15,3'; cos317 18,2' = = -I-sin (317^а 18,2' — 300° +30°)= + sin 4748,2'; sin 317° 18,2' = —cos4?°i8,2',

Эти равенства могут быть определены мнемоническим правилом: для нахождения приращений Ах и Ду по заданному дирекцион-ному углу а необходимо прибавить к числу десятков дирекцион-ного угла столько единиц, сколько сотен в заданном дирекционном угле а, а остальные цифровые величины оставить без изменения. При прибавлении нечетных единиц Дх определяется по синусу, а Ду — по косинусу; при четном числе — наоборот.

По получении приращений подсчитывают координаты узловой точки и периметр хода до узловой точки. Порядок вычислений остается прежний, а именно: имея координаты, полученные по

1000

ходам гх и у0, пользуясь весами, которые следует принять как-,

I^s]

определяют вероятнейшее значение координат узловой точки по формуламPi + Pi) Pi + Pi

где xa и t/o — приближенное значение координат узловой точки.

Рекомендуется за х0 и у0 принимать координаты, полученные по одному из ходов с наименьшим их значением.

Пользуясь суммой весов рг + р2, определяют длину хода, им эквивалентного. Так, для данного примера рх + Рг = 5,21 (см. табл. 7.13), чему соответствует эквивалентный ход длиной 192 м. Прибавляя длину хода z3, получают эквивалентный ход, периметр которого равен 759 м, т. е. система хода сведена к одиночному ходу.

Так как длина всего хода оказалась меньше 800 м — максимальной длины, предусмотренной инструкцией СП 212—73, то следует продолжить уравнивание этого хода, т. е. определить невязку хода путем сравнения координат, получая их по ходу z3 и ходу 21i2. Невязка в эквивалентном ходе но оси х, равна + 1 см, и по оси у — 19 см.

Распределяя невязку пропорционально длинам ходов, получают поправки для хода z3, равными соответственно — 1 и — 14 см и для хода Z],о равными 0 и — 5 см, которые определяют окончательные координаты узловой точки, а именно — 404,21 и + 437,08. Распределив пропорционально длинам сторон полученную поправку с обратным знаком, определяют координаты промежуточных точек в каждом ходе. Контролем служат координаты узловой точки, вычисления которых по каждому ходу должны дать одну и ту же величину.

Следует также произвести оценку точности каждого хода, подсчитывая как абсолютную погрешность fs = 1/11+ fy , так и относительную Fs= которые не должны превышать предельной величины, а относительная Fs не может быть более 1 : 2000.

В рассмотренной системе с одной узловой точкой 15 можно подсчитать, как это делалось для углов, погрешность определения координат узловой точки. Она получится /„ = ± 4,8 см и fy = = ± 5,8 см, Д = ± 7,5 см (табл. 7.15).

Таблица 7.15

т, = Y-~⁼ \/Щ- ~ а/зЭТ* = 15,4 см

погрешность координат узловой fx — '2,8:^/0,143 — ± 4,8 см;

fs~ ± 7,5 см

fy = 15,4 VoTT43 = ± 5,8 см.

7.4.3. Уравнивание с и с т е м ы теодолитных ходов с тремя узловыми точка м и. По схеме (рис. 7.8) намечают порядок уравнивания, для чего подсчитывают длину эквивалентного хода, имеющего непосредственную связь по крайней мере с двумя твердыми пунктами, т. е. подсчитывают эквивалент ходов zJ и z2, ze и z-i и получают эквивалентные ходы соответственно длиной 248 и 290 м; учитывая длину примыкающих ходов г:1 и zr„ находят эквивалентные ходы длиной 666 и 662 м, что меньше длины хода z7.

Таким образом, следуя указаниям, изложенным при уравнивании системы ходов с одной узловой точкой, следует наметить такой порядок уравнивания: узловая точка 103, потом 107 и, наконец, 110 (табл. 7.16).

Приступая к уравниванию, подсчитывают дирекционные углы узловой линии 103 — Громоотвод, получаемые по ходам zx и z2; определяют число углов п, необходимых для вычисления дирек-

Рис. 7.8. Схема системы теодолитных ходов с тремя узловыми точками

ционного угла; находят веса по формуле р — — и получают эквивалентный дирекциоиный угол Zi. 2 (в нашем примере 49°09,0', графа 2 табл. 7.17); определяют сумму весов 0,50 (графы 3 и 4), прибавляя к полученному эквивалентному дирекционному углу сумму углов по ходу z2, находим дирекциоиный угол линии 107 — Угол дома, полученный по ходу zT. 2 + z3, равный 141°44,9' и имеющий 4 угла (по эквиваленту zL.2 2 угла и по ходу z3 3, графа 2, строки 3 и 4).

Определяя точно таким же образом дирекциоиный угол этой линии по ходу находим эквивалентный дирекциоиный угол, заменяющий ходы zu z2, z3 и zx, обозначая это определение символом Zi.2.3.4, по весам определяем дирекциоиный угол (в нашем примере 141°45,7') с числом углов 1,9.

Прибавляя к нему углы по ходу z5, находим дирекциоиный угол линии 110— Колокольня по ходам Zi.2.3.4-h z5 и zG, получим 76°58,3' и 76°56,0'. Так же определяем эквивалентный дирекциоиный угол ходов zu z2, z3, z4, z5 и z0, равный 76°56,9', и, сравнивая его с ди-рекционным углом, полученным по ходу z7 (76°54,Г), определяем невязку эквивалентного хода уравниваемой системы, состоящей всего из 2,4 -+- 4,0 = 6,4- угла. Распределяя полученную невязку (в нашем случае + 2,8) на все углы поровну, найдем окончательный дирекциоиный угол линии 110 — Колокольня, равный 76°54,1' + 1,8' или 76°56,9' — 1,0' = 76°55,9'.

Так как по ходу Zj.2.3.4 -j- zr> получен дирекциоиный угол 76°58,3', а окончательный получен 76°55,9', то имеем поправку, равную — 2,4, которая должна быть распределена на 5,9 угла, и, таким образом, ход Zi.2.з.4 должен получить поправку — 0,8', и ход z-a — поправку 1,6' (графа 5 табл. 7.17).

Подобным же образом поступают и с дирекционным углом линии 107 — Угол дома. Так, он определился как 6°18,6'—0,8', а следовательно, ход z4 должен получить поправку — 1,3', а ход Zj.2 + г3 поправку 0,0. Это говорит о том, что окончательный дирекциоиный угол линии 103 — Громоотвод будет равен 42°09,0' и поправки дирекционных углов ходов zx и z2 будут соответственно + 1,1' и — 1,Г (графа 5).

После распределения угловых невязок по ходам и вычисления дирекционных углов всех линий системы находят приращения Дх и А у и определяют их суммы по ходам отдельно для Дх и Д у.

Определяют координаты х и у точки 103 по ходам гг и z2 и находят среднее весовое ее значение х12 = 8,572 и у12 — 9,469, принимая за вес величину, обратную длине хода (в приведенном примере [sx] = 607 м и = —— = 1,64; fs2] = 419 м и р2 = —¹— =

[S[l " f2j

=,2,39. По сумме весов (4,03, графа 9) определяют периметр эквивалентного хода, равен он 248 м. К нему прибавляют длину 418 м хода zо, получают длину хода Z].2 + z3 равную 666 м, а также координаты точки 107 : х = 9,892 м и у — 4,269 м. Затем по ходу z4 находят координаты этой же точки х = 9,82 м и у = 4,20 м, берут весовое среднее и находят х = 9,841 м и у — 4,221 м; прибавляют сумму приращений по ходу z5 получают координаты точки 110 : х = 0,381 м у = 9,721 м с длиной 200 + 372 м. Одновременно вычисляют координаты точки 110 по ходу z8 : х = 0,41 м и у — 9,80 м с периметром 448 м, берут весовое из ходов Z\.2.3.4 + z5 и zc, получают координаты по ходу г1ЛшЗА.ЬЛ : х = 0,396 м и у = =9,764 м (графы 6 и 7 табл. 7.17) и периметр 262 м; сравнивая эти координаты с координатами по ходу z-,, получают невязки fx = = + 0,096 м и /,, = •+ 0,114 м, которые относят к эквивалентному ходу всей системы длиной 972 м.

Распределяя пропорционально длинам ходов невязки fx и fy (см. табл. 7.16), найдем окончательное значение координат точки 110 : х = 0,370 ми у = 9,733 м, а отсюда и иевязки по ходам:

т р = дj-Mi = 0,70 = =h0,83

Для 2i.2.3.4.r,.4х = 26 и f,j = — 31; для zefx = — 40 и fu = — 67 и для Zi,2.3.4 z-Jx = — \ \ и fy = + 12.

Следовательно, невязки по ходу z6 будут fx — — 7; f,, = + 8; а по ходу [гi.2.s.4f.v = — 4 и /у = + 4 (графы 10 и 11) и таким образом получают окончательные координаты точки 107 : х — = 9,837 ми у = 4,225 м.

Поступая подобным же образом, находят все остальные невязки и вычисляют окончательное значение координат точки 103 : х = 8,561 м и у = 9,453 м.

В качестве примера приведено уравнивание системы с тремя узловыми точками (см. рис. 7.8) при другом порядке вычисления, из которого видно, что эквивалентный ход с наибольшим периметром соответствует первому варианту (см. табл. 7.17).

Для оценки точности системы теодолитных ходов приведенных на рис. 7.8, составим табл. 7.18 для определения средней квадра-тической погрешности угла.

Оценка точности системы теодолитных ходов по осям координат х и у приведена в табл. 7.19.

2) на каждой узловой точке теодолитного хода принимают какой-либо дирекциоиный угол за его приближенное значение и, пользуясь измеренными углами, находят дирекциониые углы по ходам, не привязанным к исходным дирекционным углам полигоно-метрии;

3) каждому полученному дирекционному углу приписывают

вес / равный —, где п — число \тлов данного хода; п

4) подсчитывают произведения р8, где б — отклонение от приближенного дирекционного угла, и находят сумму р и р8 на каждой станции;

5) решают нормальные уравнения по схеме Гаусса и находят поправки к приближенным дирекционным углам, а затем и невязки /р по всем ходам данной системы;

6) производят оценку точности измерения угла и передачи на дирекциоиный угол узловой точки.

Составление уравнений системы ходов (см. рис. 7.8 и табл. 7.21), вычисление невязок по ходам приведено в табл. 7.20, а решение уравнений — в табл. 7.21.

Для определения средней квадратической погрешности определения координат точки ПОрешают следующие уравнения (табл. 7.22).

Уравнивание теодолитных ходов способом полигонов. После проверки полевых журналов угло-

T а б л и ц а 7.23

вых и линейных измерений и составления схемы системы теодолитных ходов с указанием углов в каждом из них приступают к уравниванию.

Уравнивание системы теодолитных ходов способом полигонов производят в такой последовательности.

1. Руководствуясь схемой ходов, подсчитывают невязки углов в каждом полигоне.

2. По этим данным составляют нормальные уравнения.

Так, например, обозначив т1 поправку в угол свободного (ие смежного) хода первого полигона (см. рис. 7.8), через т2 — поправку в угол свободного хода второго полигона, будем иметь для системы, изображенной на рис. 7.8, следующие уравнения

8/?ii—im2—4m4 + 2,2 = 0;

1 от2—4 nix—4 т3 — 3 +

-г 2 2 = 0-

I —' 1 —'

-3/^4—2,8 = 0; -3 т2—4ffii +

3) Эти уравнения решают методом исключения неизвестных по схеме Гаусса, как это показано в табл. 7.23, и получают поправки в углы для каждого хода (табл. 7.24).