Поставленная задача формулируется следующим образом: по заданному внешнему воздействию, расстоянию между опорами (пролету) и физическим характеристикам материала нити определить оптимальные физические и геометрические параметры ее так, чтобы нить обладала достаточной прочностью и жесткостью при минимальной затрате материала. Примем, что минимальной затрате материала соответствует наименьшая теоретическая площадь поперечного сечения нити. Цель достигается при удовлетворении заданных ограничений по начальным стрелкам провеса, прогибам, напряжениям и начальным усилиям.

Провисшая нить. Предполагая, что нить под действием собственного веса принимает форму квадратной параболы со стрелкой /, начальные ординаты узлов выражаются так:

где х_ь — абсцисса г-того узла нити.

С учетом (111.2), (ГУЛ), (ГУ.2) из уравнения (III.48) после преобразований получим следующие зависимости:

Обозначения см. в гл. III.

Уравнение (IV.3) в невырожденной форме описывает семейство гипербол (рис. IV. 1, а), так как квадратичная форма его является неопределенной. Собственные значения характеристической матрицы имеют различные знаки.

Рис. IV.!. Графики зависимостей }, ш, /?, Н_а для гибкой нити.

Условия-ограничения, накладываемые на геометрическую схему и вертикальные перемещения узлов нити, примем в виде /<[/], Щ < [и>]. Это всегда возможно, если исходить из желаемого очертания нити и требований жесткости.

Таким образом, в терминах математического программирования поставленная задача формулируется так: найти

Целевая функция (IV.6) описывает нецентральную вырожденную поверхность второго порядка — гиперболический цилиндр. Причем каждому значению напряжения # соответствует определенный уровень (слой) целевой функции. Образующие, перпендикулярные к линии наибольшего ската,— прямые линии, направленные под углом 45° к оси хю (/). Геометрическая интерпретация задачи без учета (IV. 11) для положительных значений хю дана на рис. 1У.2.

Для выбора метода поиска оптимальных параметров представляет интерес анализ возможных решений.

1. Если значение Я, найденное по (1У.З) при /==[/] и хю_г = [хю\, удовлетворяет условию (IV. 11), то ограничение (IV. 10) не существенно и оптимальные параметры будут: [/], [гю], Н (рис. ГУ.З, а).

2. Если значение гю_и вычисленное по (1У.4) при / = [/] и Н = = [/?], удовлетворяет условию (ГУ.8), то решение будет: [/], [/?], гю (рис. 1У.З, б). В частном случае возможны такие параметры: [/], [/?], [Щ (рис. 1У.З, е).

3. Допустим, что решение находится на границе гю и, таким образом, варьируется только [ к В- Приняв во внимание характер зависимости / от 7? при фиксированном значении гю (см. рис. IV. 1, б) и

продифференцировав (IV.6) по /, получим уравнение для определения /:

Рис. IV.2. К задаче синтеза провисшей нити.

(IV. 13)

Далее при / и [гю] по (1У.З) можно определить 7?. Возможны такие решения: /, Я, [т\ (рис. IV.3, г); /', [/?], [гю] (рис. 1У.З, д, ё).

Струна. Геометрия схемы, естественно, не варьируется, и задачу о струне лишь условно можно отнести к задаче синтеза.

Учитывая, что Я = x, из (111.49) можно получить такие выражения:

Задача формулируется так: найти

при ограничениях

Рис. IV.3. Возможные решения задачи о гибкой нити.

Целевая функция (IV. 17) представляет собой вогнутую гиперболическую поверхность. Учитывая характер зависимости /? от ш (см. рис, IV. 1, в), решение всегда находим на границе рассматриваемой области (рис. IV Л). 

Рис. ГУ.4. К задаче «синтеза» струны.

Рис. IV.5. Общий случай области допустимых решений.

Прямолинейная нить без предварительного напряжения. Задача отличается от предыдущей лишь тем, что ограничения (IV.20), (1У.21), (IV.23) должны быть заменены одним

Очевидно, что решения могут быть такими.

Для провисшей нити область допустимых значений независимых параметров располагается в первой и второй координатных четвертях (рис. 1У.5), причем 135° •< у x< 0°, если исходить из следующего уравнения, эквивалентного (1У.З) :

В общем случае к изложенным задачам применимы многие методы. Наиболее эффективным является метод конфигураций [56]. Установлено, что базовую точку в начале поиска следует принимать на пересечении ограничений (1У.7) и (IV. 11). Решение отыскивается с точностью е — малой положительной величины, равной шагу поиска.