Аналогично расчету любой статически неопределимой системы расчет вантовых систем обычно начинается с назначения жесткост-ных характеристик — сечений вант и усилий предварительного напряжения, являющихся также своеобразной характеристикой жесткости покрытия. Сразу правильно задаться жесткостями не удается и поэтому ванты в итоге либо перенапряжены, либо недо-напряжены. Однако сечения вант желательно принимать такими, чтобы возникающие в них напряжения были равны расчетному сопротивлению материала или в общем случае заданному напряжению.

Известно, что для растянутых элементов площадь поперечного сечения определяется так:

где Н — усилие в ванте;

Л? — заданное напряжение.

Многие расчетные уравнения, рассмотренные в предыдущих параграфах, составлены относительно усилий в вантах. Поэтому для расчета по заданным напряжениям не представляет труда в них учесть уравнение (111.47) и, таким образом, исключить величину р. Рассмотрим применение такого подхода к расчету некоторых систем.

Пологая провисшая гибкая нить. Будем исходить из уравнения (III.3). С учетом уравнения (111.47) после некоторых преобразований оно принимает необходимый нам вид:

Уравнение для расчета гибкой нити по заданным напряжениям можно получить в другом виде [24 ].

Предварительно-напряженная струна. Исходное уравнение (II 1.5) с учетом уравнения (111.47) после преобразования можно привести

к следующему виду:

При Н₀ = 0 это уравнение упрощается.

Сеть шестиугольной структуры. Наряду с конструктивной особенностью сети шестиугольной структуры — равнопрочностью элементов расчет по заданным напряжениям для таких сетей дает возможность получить оптимальные площади поперечных сечений вант.

Пользуясь тем же приемом, что и при выводе уравнений для отдельных нитей, уравнение (III.8) можно привести к виду:

Все обозначения оговорены в § 2 настоящей главы.

Таким образом, составив и решив систему уравнений равновесия (III.7) и затем квадратное уравнение (111.50), определяем усилие в вантах и перемещения узлов сети.

Байтовые фермы. За исходные примем уравнения:

равновесия

Обозначения см. § 7 гл. II. В уравнении (111.51) учтем, что

где N = Н₁ + Я₂ — суммарное усилие в поясах фермы. Разделим все члены уравнения (111.55) на N и представим в виде

откуда

С учетом (111.54) перепишем уравнение (III.52):

В зависимости от количества и качества внешней нагрузки, действующей на Байтовую ферму, сечения поясов будут определяться либо усилиями предварительного напряжения Н₀₁, Н₀₂, либо окон-яательными усилиями Н_ъ Я₂. Поэтому рассмотрим два случая напряженно-деформированного состояния вантовых ферм.

Случай 1. Я_х> Я₀₁ иЯ_г> #₀₂, т. е. окончательные усилия в поясах фермы в результате действия нагрузки стали больше соответствующих усилий предварительного напряжения.

Примем, что

учтем в уравнениях (111.58) и (III.53). Тогда

где ^ — заданное напряжение в поясах. Соотношения (111.59), а также выражения

Подставив в уравнения (111.60), (111.61) правую часть выражения (111.56), после некоторых преобразований получаем:

Преобразуем уравнения (111.62), (111.63) и одновременно учтем, что #₂ = N—Н_х. Тогда

Случай 2. Н_г > Н_оъ но #₂ < #₀₂, т. е. окончательное усилие в одном из поясов фермы (напрягающем) в результате действия нагрузки меньше соответствующего усилия предварительного напряжения.

Очевидно, что

Опуская выкладки, аналогичные первому случаю, приведем окончательные два уравнения, нелинейные относительно усилия в несущем поясе Я* и суммарного усилия /V:

где Л₇ = Я₀₂ (Л₂ — 2); Л₈ = Я₀₂Л₄; А_д = Н₀₂А_&; Л₁₀ = Н₀₂ • А_в.

Таким образом, напряженно-деформированное состояние Байтовых ферм с заданными напряжениями в поясах для двух рассматриваемых случаев описывается соответственно системами уравнений (111.64) и (111.65).

Решения для Н_х будем искать в виде полиномов. Для удобства организации вычислений в процессе преобразования и совместного решения систем (111.64) и (111.65) раздельно для каждого случая вводим дополнительную систему рекуррентных обозначений.

Случай 1

Разрешающий полином имеет вид

Коэффициенты полинома (111.66) являются результатом суммирования членов соответствующих строк табл. ШЛО. Суммарное усилие определяется из выражения, полученного при совместном решении системы уравнений (111.64):

Случай 2

Разрешающий полином имеет вид

Коэффициенты полинома являются результатом суммирования членов соответствующих строк табл. 111.11. Суммарное усилие определяется однозначно из следующего выражения, полученного при совместном решении системы (111.65):

Аппликаты узлов вантовой фермы в деформированном состоянии в обоих случаях определяются в соответствии с выражением (111.57).

Таким образом, расчет вантовой фермы по заданным напряжениям в поясах сводится к вычислению рекуррентной последовательности коэффициентов и решению полинома (111.66) или (111.68), в зависимости от случая напряженно-деформированного состояния.

Особый интерес представляет вопрос исследования количества положительных решений рассматриваемых полиномов. Ограничимся здесь лишь замечанием, что даже при получении нескольких положительных корней во внимание принимается тот, который удовлетворяет условию N — Н_х > 0, т. е. невыключению из работы напрягающего пояса фермы.

Основываясь на приведенных уравнениях, изложим метод расчета вантовых ферм по заданным напряжениям и перемещениям.

В случае, когда Н_х > Н₀₁ и #₂ <С #₀₂, примем, что

Тогда из уравнений (111.62) и (111.63) получим

где

Таблица III.11

Прдолжение табл. 111.11

2₂ — окончательная аппликата узла, вертикальное перемещение которого ограничивается; Мб, Ы — соответственно балочный момент и высота распорки (подвески) в месте этого узла.

• К аналогичному результату придем и в случае напряженно-деформированного состояния, при котором Н_г> Н₀₁ и Я_а>Я₀₂.

Таким образом, расчет вантовых ферм по заданным перемещениям сводится к вычислению коэффициентов и решению полиномов третьей степени, определению напряжения в несущем поясе (/?_х) и суммарного усилия в поясах фермы по формуле /V = А_1г —А₁₂Н_г. Окончательные аппликаты узлов определяются в соответствии с уравнением (111.57) *.

* Вопросы исследования корней полиномов, назначения границ параметров исследованы аспирантом Н. М. Г р а б о м.