Стержень произвольной шарнирно-стержневой Байтовой системы в положении устойчивого равновесия задан векторомв

декартовой системе координат*

В деформированном состоянии стержень представлен вектором

Обозначим далее:

х_а и л:р — радиусы-векторы;

и_а и щ, — векторы смещений узлов конца и начала стержня; 1'а.р и 4ф — конечная и начальная длины стержня.

Из геометрических соотношений следует, что

где 6(_У- — единичный тензор. Обозначим

После подстановки и преобразования получим

Вектор разности смещений узлов стержня Аи_ар представим в виде суммы двух взаимно ортогональных векторов Дт_ар и Дп_ар:

где

После подстановки получим

Разложим выражение е_ар в ряд Тейлора, удерживая только первые члены. Величиной (Лт_ар)² можно пренебречь по сравнению с (/_ар, Ат_ар), если учесть, что условия прочности реальных стержней допускают лишь малые удлинения вдоль оси

Деформация стержня в первом приближении зависит линейно от

удлинения вдоль оси и нелинейно от перекоса оси стержня.

Введем еще ряд обозначений:

Ра$ — площадь поперечного сечения стержня;

5_ар — усилие в стержне;

о о_ар — начальное напряжение;

Сар — дополнительное напряжение, вызванное деформацией стержня.

Вектор усилия в стержне определится через

полная работа

или, формально обозначив

Рассмотрим переход от декартовой системы координат к криволинейным координатам. Криволинейные координаты будут введены, если задать дифференцируемую однозначно определенную векторную функцию от аффинных координат % = % {х¹, х², х³), для которой существует обратная однозначная векторная функция х = — X (ЭС\ %², %³). В таком случае переменные у}, %², %³—криволинейные координаты. Векторы локального репера обозначим через ЛГ/.

Переход от аффинного репера к локальному и обратно осуществляется по формулам:

где

Из условия обратимости следует, что— символ Кронекера).

Обозначим черезсоответственно ковариантные и контрвариантные составляющие вектора смещения узла а в криволинейных координатах.

Выразим векторычерез криволинейные координаты:

Фактически криволинейные координаты можно задать различными способами: векторной функцией от трех параметров

двухвалентным тензором как аналитической функцией точки М (х¹, х², х³) в декартовой системе координат х\ (М); локальным репером дискретно в каждом узле системы

Если обозначить тогда

Деформация стержня в криволинейных координатах будет иметь вид

Потенциальная энергия упругих сил шарнирно-стержневой системы

Здесь и в дальнейшем а, |3 = 1, 2, ..., т (т — число узлов в системе). Потенциальная энергия внешних сил

Полная потенциальная энергия системы

После подстановки значения е„р и некоторых преобразований можно получить следующее выражение для потенциальной энергии:

Для перехода в пространство конфигураций произведем перенумерацию, поставив каждой паре индексов в выражении для потенциальной энергии в соответствие один индекс:

Наличие в этом выражении отличного от нуля члена а$ противоречит условию равновесия системы в ненагруженном состоянии. Для удовлетворения этого требования необходимо, чтобы величины начальных напряжений и координаты узлов удовлетворяли уравнение ау = 0 или

Так как рассматриваются именно такие системы, то выражение для потенциальной энергии окончательно примет вид

Поскольку решение задачи статики эквивалентно определению координат ^ стационарной точки для потенциальной энергии в пространстве конфигураций, уравнения статики примут вид:

Рассмотрим имеющий большое распространение частный случай шарнирно-стержневой системы, когда узлы расположены на координатной поверхности.

Векторы выразим в координатах локального репера:

Найдем скалярный квадрат вектора Дя_а(5:

Предположим, что п¹_а -> 0, п_а -> 0, т« -> 0. Это значит, что вектор Ап_а мало отличается от нормали к плоскости векторов х₁ и х₂, а вектор т_а почти лежит в этой плоскости. Произведя преобразования и пренебрегая п_а и Па по сравнению с п_а, получим:

Деформация зависит нелинейно только от компонент смещений, нормальных к поверхности, на которой расположены узлы. Дальнейшие выкладки аналогичны вышеприведенным.

Рассмотрим мгновенно-жесткие системы первого ранга изменяемости и один раз статически неопределимые. Число независимых связей меньше числа переменных (т <С п); ранг якобиевой матрицы г = щ— 1. К таким системам относятся, например, прямые нити, двухпоясные безраскосные фермы, неплоские Байтовые сети, состоящие из двух семейств нитей. Потенциальная энергия таких систем может быть представлена как

где С^аа — жесткость стержня на растяжение — сжатие; е_а — деформация преднапряжения; Р₍ — внешние силы. Упругая деформация стержня

Введем обобщенные стержни с помощью преобразования

Здесь Ур — тензор в пространстве с метрикой 0°™ (1/аС^аа, ]/$, = = 6^Р ) такой, что

В результате получим:

Введем новые переменные с( — У)и>, где V) — матрица такая, что после необходимой перенумерации переменных удовлетворяется соотношение

После преобразования получим:

Следует обратить внимание на то, что в квадратичных формах члены, содержащие переменные д^п, приравнены к нулю. Это допущение

не является достаточно строгим и должно рассматриваться как первое приближение, хотя для его обоснования можно сослаться на результаты кинематического анализа.

Таким образом, переменные разделены и выражение для потенциальной энергии имеет следующий вид:

где <2_С = УР.

Одновременно с разделением переменных произошло и разделение внешних сил. Физический смысл такого преобразования заключается в разделении внешней нагрузки на равновесную и неравновесную.

Равновесная нагрузка может быть воспринята без существенного изменения начальной конфигурации узлов системы. Восприятие неравновесной нагрузки сопряжено с сущетвениыми изменениями начальной конфигурации.

При решении задачи статики в первом приближении примем, что вторые члены в выражениях для Е_а\ равны нулю. Тогда потенциальная энергия