~~ ---^ Тетрагональная 4/ттт

Кубическая тЗт

Ромбическая ттт

Рис. 3.12 Элементы симметрии голоэдрических классов семи кристаллографических систем Значение символов, расположенных под рисунками, объясняется в разд 3.7

Рис. 3.12 Продолжение

(г) Вид (б) справа

Рис. 3.13 Сравнение структур галита и пирита.

3.3.1 Закон постоянства двугранных углов

Чтобы уверенно определить симметрию неизвестных минералов или описать в полной мере все грани известных, необходимо точно измерить углы между гранями. Способы измерения углов рассматриваются разделом тригонометрии, называемым гониометрией. На основе многочисленных измерений, выполненных на множестве образцов, был установлен закон постоянства двугранных углов. Этот закон утверждает, что в любых двух кристаллах одного и того же вещества углы между соответствующими гранями, измеренные в плоскости, перпендикулярной к ребру между ними, всегда одинаковы. Эти углы, а не относительные размеры граней, имеют фундаментальное значение в измерениях кристаллов.

Причина такого постоянства углов между соответствующими гранями легко выясняется при рассмотрении двух обстоятельств: 1) форма и размер элементарной ячейки одинаковы во всех кристаллах данного химического соединения и зависят от пространственного расположения атомов в структуре и 2) каждая внешняя грань кристалла параллельна плоскостям эквивалентных атомов или атомных групп, располагающихся в решетке. Имеется бесконечное множество таких плоскостей, но если в некоторых из них атомы редки, то в других они характеризуются плотным распределением. Плоскостям с большей плотностью атомных узлов свойственно образовывать наиболее часто встречающиеся грани в кристалле. Это положение, известное как правило Браве, иллюстрирует рис. 3.14, на котором в двух измерениях показана плоская сетка. На ней эквивалентные узлы, имеющие одинаковую величину отношения а к Ъ в повторяющихся ячейках, соединены прямыми линиями. Можно видеть, что линии, у которых эти отношения представлены простыми целыми числами, имеют большее число узлов на единицу длины.

Если теперь линии различных значений этих отношений на рис. 3.14 принять за проекции кристаллографических граней, то станет очевидным, что угол между какой-либо одной из граней и осями х, у зависит от длин a и b сторон ячейки. Следовательно, двугранные углы, определяемые в ходе измерений данной решетки, должны быть постоянны.

3.3.2 Закон рациональности отношений параметров

На рис. 3.15 в трехмерном изображении представлен кристалл с принятыми нами обозначениями. На отдельных схемах, отмеченных цифрами 1, 2 и 5, в трех видах показана решетка ромбического типа P, у которой параметры ячейки а, b и c вдоль осей х, у и z находятся в соотношении a : b : с = 0,75 : 1 : 1,5.

На эти сечения решетки нанесены проекции плоскостей с различными простыми отношениями, например 1:1, 1:2 и т.д., выраженными в единицах длин a, b и c вдоль осей координат. Все выбранные плоскости имеют сравнительно высокую плотность узлов решетки. Схемы 1A, 2А и

Рис. 3.14 Плоская сетка и двугранные углы.

ЗА представляют собой увеличенные изображения одной элементарной ячейки, на которых приведены проекции тех же самых плоскостей. Следует уяснить два момента.

1. При данном отношении повторяющихся размеров а, 6 и с (какими бы ни были абсолютные значения их длин) наклоны различных плоскостей остаются постоянными. В соответствии с законом постоянства двугранных углов они будут одинаковыми для всех кристаллов данного вещества (которые всегда имеют одинаковую решетку). Это обстоятельство приводит к представлению об осевом отношении, т. е. об отношении повторяющихся отрезков кристаллографических осей (у нас 0,75:1:1,5), которое для каждого конкретного вещества является строго определенным.

2. В любом данном кристаллическом веществе наклоны всех возможных граней (т.е. их положения в пространстве) будут находиться в простых отношениях друг с другом, если судить по отсекаемым ими отрезкам на осях х, у и z. Эти отрезки всегда будут кратны установленной единице измерения по каждой оси. Подобная регулярность называется законом рациональности отношений параметров, который опирается на представление об упомянутой единице измерения вдоль каждой оси. Эта единица измерения является, в сущности, повторяющимся по данной оси отрезком решетки. Если определены единицы измерения по осям, то наклоны всех граней кристалла будут характеризоваться простыми соотношениями с размерами ребер элементарной ячейки, а положение самих граней может быть установлено по отсекаемым ими отрезкам осей.

На схеме 4 рис. 3.15 показан кристалл, ограниченный плоскостями, проекции которых приведены на разрезах решетки 1-3. Кристалл имеет также ряд граней l,l',l" и Г", которые пересекают все три оси в отношении х : у : z = 1 : 1 : 1. Каждый желающий может на основе приведенных выше сведений построить аналогичным образом плоскую сетку на диагональной плоскости элементарной ячейки, содержащей ось z и нанести на нее проекции этих граней.

Решетка кристалла, изображенного на рис. 3.15, построена по нашему собственному выбору. Значе-

ния углов между его гранями можно определить посредством повторяющихся отрезков в решетке известной симметрии и отношения осей a : b : с. На рис. 3.16 показан способ измерения нормальных¹ двугранных углов с помощью прикладного гониометра. Эти углы всегда отмечаются при измерениях кристаллов. На основе подобных измерений были определены углы в кристалле, показанном на рис. 3.15; перечень замеренных углов приведен в табл. 3.2.

В действительности кристаллографам-морфологам приходилось совершать действия, обратные только что описанным. До использования дифракционных методов измерялись углы (с помощью прикладных или отражательных гониометров — Ред.) между имеющимися у кристалла гра-

Рис. 3.16 Прикладной гониометр.

нями с целью установления симметрии и определения отношения осей. Теперь исследователи редко используют старые приемы, так как они позволяют получать информацию только о внешней симметрии кристаллов. В настоящее время минералоги и кристаллографы применяют рентгеновские и другие дифракционные методы для установления внутренней симметрии минералов (см. гл. 4). Проявляемая кристаллом внешняя симметрия по сути представляет собой отображение симметрии пространственного расположения атомов в элементарной ячейке. Как мы видели, внешняя симметрия не позволяет установить тип решетки, т.е. определить, является ли она примитивной, объемно- или гранецентрированной. Но существуют также внутренние элементы симметрии, которые включают в себя сопровождаемые смещением повороты (винтовые оси) или отражения с последующим смещением (плоскости скольжения). Внешне эти элементы симметрии проявляются только как поворотные оси или зеркальные плоскости. Внутренняя симметрия кристаллов кратко описывается в разд. 3.8.