В главах II и III было показано, что для мгновенно-жестких систем первого ранга изменяемости и один раз статически неопределимых возможны линейные преобразования, в результате которых в в первом приближении происходит разделение переменных. Одна группа переменных как бы образовывает подсистему, деформация элементов которой определяется линейной формой обобщенных перемещений, соответствующих деформации от так называемого равновесного воздействия. Они образуют формы колебаний, которые будем называть равновесными. Вторая группа переменных относится к подсистеме, деформация элементов которой определяется квадратичной формой обобщенных перемещений,

соответствующих деформации от так называемого неравновесного воздействия. Образованные формы колебаний в дальнейшем будем называть неравновесными.

Выражение потенциальной энергии после приведения к нормальным координатам будет иметь вид:

где п — количество обобщенных перемещений;

п — количество перемещений, образующих неравновесные формы.

Выражение кинетической энергии после приведения к нормальным координатам в предположении, что массы сосредоточены в узлах системы, будет иметь вид

Как видим, переменные разделяются на две группы. Образуем соответственно две функции Лагранжа:

Уравнение Лагранжа, соответствующее второй функции Ь_л, можно привести к виду обычных линейных дифференциальных уравнений:

где Р/ (0 — обобщенные внешние силы.

Решение последних уравнений нетрудно получить методами, известными в динамике линейных систем.

Рассмотрим решения некоторых задач динамики подсистем, представленных первой функцией Лагранжа Ь_и.

Свободные колебания системы. Произведем преобразование Ле-

жандраи рассмотрим функцию Гамильтона:

Движение системы описывается уравнениями:

Из анализа этих выражений следуют очевидные выводы о свойствах рассматриваемых систем:

1. Не только равновесные, но и неравновесные формы свободных колебаний не зависят от амплитуд и во время движения являются постоянными.

2. Если некоторые обобщенные координаты и соответствующие им импульсы в начальный момент времени равны нулю, то они остаются равными нулю и во время движения системы.

Отмеченные свойства во многих случаях позволяют ограничиться одной или несколькими формами колебаний, т. е. для получения приближенного решения можно воспользоваться уравнениями:

при 1

После подстановки и соответствующих преобразований можно получить (с точностью до обозначений) известное уравнение Дуф-финга

решение которого выражается через эллиптические функции Яко-би:

После подстановки в уравнение Дуффинга получим такие соотношения:

Для получения более точного решения необходимо одновременно рассматривать большее количество форм. Для этого произведем некоторые несложные канонические преобразования. В качестве производящей выберем такую ^функцию:

Преобразования приводят к следующим уравнениям: <?=2Р,<?,;

Р, ₊ р2 ₊ ^(<2_{0 +} ф)2 _{= 0};

Первая группа уравнений имеет решение:

Вторая группа представляет собой уравнения Рикатти, приближенным решением которого является выражение

При величине ф₀ + Ф, значительно отличной от нуля, что имеет место также в рассматриваемой задаче, решение дает вполне удовлетворительное приближение.

После подстановки значения Р_ь в выражение для ф/ имеем

или, переходя к тригонометрическим функциям,

Учитывая, чтополучим одно нелинейное уравнение относительно

Если обозначить х (1) = 1^ф₀ + Ф, можно записать:

Таким образом, произошло разделение переменных, и решение задачи свелось к интегрированию одного нелинейного дифференциального уравнения первого порядка. Для решения с успехом могут применяться различные численные методы.

В качестве примера рассмотрим струну, на которой на равных расстояниях по длине расположены сосредоточенные массы. Все исходные, характеристики системы приняты равными единице.

Потенциальную энергию системы можно выразить так:

После преобразования к нормальным координатам имеем

где

Тогда

Система дифференциальных уравнений движения в нормальных координатах имеет вид:

где

Численное решение получено по методу Эйлера при следующих начальных условиях:

На графике (рис. У.4), отражающем результаты расчета *, можно проследить амплитудную и частотную модуляцию свободных колебаний рассмотренной системы.

Параметрический резонанс. Эта задача возникает при уточнении первого приближения, которое сводится к следующему. Вначале решается задача о колебаниях по равновесным формам. Величина начальных напряжений ц% при колебаниях по неравновесным формам вычисляется с учетом усилий, возникающих от колебаний по равновесным формам, т. е.

Второе приближение и состоит в учете величины цЛ Функция Гамильтона в этом случае может быть представлена так:

Разделение переменных можно выполнить по методу, изложенному при рассмотрении задачи о свободных колебаниях. В первом приближении нелинейными членами пренебрегают. Тогда

Движение по каждой неравновесной форме разделяется и описывается уравнением Хилла

Рис. УЛ. Свободные колебания системы с тремя степенями свободы.

Флаттер. Это явление связано с динамической неустойчивостью неравновесных форм деформации вантовых систем, находящихся в ламинарном потоке ветра.

Известно, что величина ветровых нагрузок зависит от геометрии покрытия. При существенном изменении начальной геометрии при деформациях по неравновесным формам величины ветровых нагрузок зависят от перемещений узлов системы, т. е. ш₁ = од («^ ^₂,,., ..., д„). При этом достаточно учесть линейную зависимость

где V — скорость ветра; Ш} — постоянные коэффициенты.

Следовательно, задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений

Если принять, что Ц1 — периодическая функция от времени с частотой со, то задача сводится к определению критических значений двух параметров: со — частоты колебаний и V — критической скорости ветра, при которых возможны неустойчивые формы равновесия (со = 0) или движения (со Ф 0).

В первом приближении линеаризованную систему можно принять такой:

и определять критические значения со и V для системы

Эту задачу сравнительно несложно решить на ЭВМ, поскольку требуется найти собственные значения (со³ при фиксированном значении

- или наоборот) матрицы

Вынужденные колебания. Для определения движения системы при установившемся режиме вынужденных колебаний необходимо найти частное решение системыуравнений

При этом предполагается, что функции Р_{ (со, I) и обобщенные координаты Ць (со, I) являются периодическими с частотой со.

Определим характер внешних сил Р/ (со, I), при котором возможны гармонические колебания системы $ = Л,- соз со/.

Подставим это решение в систему исходных уравнений

В результате получим соотношения:

из которых можно определить Л/ и Ф. Тогда

Как видим, характер внешних сил незначительно отличается от гармонического. Для практических расчетов, когда характер внешних сил определяется весьма приближенно, эти соотношения с достаточной полнотой описывают вынужденные колебания вантовых систем.

Полученное решение может быть также использовано для приближенного решения задачи о свободных колебаниях. Выражение для

квадратов частот имеет вид

Замкнутого решения (с использованием элементарных функций) задачи о вынужденных колебаниях нет. Решение обычно отыскивают в виде бесконечных рядов. Попытки представить решение в виде тригонометрического ряда (см., например, § 3 настоящей главы) приводят к необходимости решения бесконечной системы нелинейных уравнений. Вычисление значений тригонометрических функций связано с громоздкими выкладками и не всегда рационально. Наиболее удобным является применение степенных рядов.

Периодические функции внешних воздействий представим в виде знакопеременных степенных рядов и для простоты ограничимся

рассмотрением четных функций с периодом Т — —. Систему приведем к собственному времени т =  

я

Решение будем отыскивать в виде

Тогда

где

и т. д.

Приравнивая члены при одинаковых степенях, получим бесконечную систему уравнений (см. табл. У.1). Матрица этой системы имеет квазидиагональную структуру.

Для определения неизвестных воспользуемся дополнительными соотношениями:

Величина к выбирается так, чтобы выполнялось требование ц М = = -^-) = 0, соответствующее условию, при котором частоты коле-

баний системы и изменения внешних сил совпадают. Во многих случаях, например при Р₍ = Ра соз I, Р_ы = Р% — Рц = Ры---, величина к имеет такие границы

Используя дополнительные соотношения, можно получить систему с треугольной матрицей коэффициентов (см. табл. У.2). Из нее следует рекуррентная последовательность систем уравнений

и т. д.

Таким образом, решение задачи в итоге сводится к решению одного кубического уравнения относительно Ф₀ и затем к решению линейных уравнений для определения Ф₂, Ф₄ и т. д.